2021年人教版高中数学选择性必修第二册课时分层作业5《等差数列的前n项和公式》(含解析)

课时分层作业(五)　等差数列的前n项和公式(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项的和S10＝(　　)A．138　B．135　　　C．95　　　D．23C　[∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋a4＝4，,a3＋a5＝10，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝2，,a1＋3d＝5，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－4，,d＝3，))∴S10＝10a1＋eq\f(10×9,2)×d＝－40＋135＝95.]2．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a12＝a7＋6，则S11＝(　　)A．99B．33C．198D．66D　[因为a1＋a12＝a7＋6，所以a6＝6，则S11＝eq\f(11a1＋a11,2)＝11a6＝11×6＝66，故选D.]3．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为(　　)A．765B．665C．763D．663B　[由题意得，所有被7除余2的数构成以2为首项，公差为7的等差数列，∴2＋(n－1)×7<100，∴n<15，∴n＝14，S14＝14×2＋eq\f(1,2)×14×13×7＝665.]4．现有200根相同的钢管，把它们堆成三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为(　　)A．9B．10C．19D．29B　[钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200.∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．]5．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布．现在一月(按30天计算)共织390尺布，记该女子一月中的第n天所织布的尺数为an，则a14＋a15＋a16＋a17的值为(　　)A．55B．52C．39D．26B　[由题意可得{an}为等差数列，a1＝5，∴S30＝30×5＋eq\f(30×29,2)d＝390，解得d＝eq\f(16,29)，∴a14＋a15＋a16＋a17＝a1＋13d＋a1＋14d＋a1＋15d＋a1＋16d＝4a1＋58d＝4×5＋58×eq\f(16,29)＝52.]二、填空题6．已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋eq\f(1,2)(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．27　[由a1＝1，an＝an－1＋eq\f(1,2)(n≥2)，可知数列{an}是首项为1，公差为eq\f(1,2)的等差数列，故S9＝9a1＋eq\f(9×9－1,2)×eq\f(1,2)＝9＋18＝27.]7．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝________.－10　[设该等差数列的公差为d，根据题中的条件可得3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3×2＋\f(3×2,2)·d))＝2×2＋d＋4×2＋eq\f(4×3,2)·d，整理解得d＝－3，所以a5＝a1＋4d＝2－12＝－10.]8．已知等差数列{an}满足a1＝32，a2＋a3＝40，则{|an|}前12项之和为________．304　[因为a2＋a3＝2a1＋3d＝64＋3d＝40⇒d＝－8，所以an＝40－8n.所以|an|＝|40－8n|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(40－8n，n≤5，,8n－40，n＞5，))所以前12项之和为eq\f(5×32＋0,2)＋eq\f(7×8＋56,2)＝80＋224＝304.]三、解答题9．等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.(1)求数列的通项公式；(2)若Sn＝242，求n.[解]　(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d.则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a10＝a1＋9d＝30，,a20＝a1＋19d＝50，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝12，,d＝2，))∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.(2)由Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242，得方程242＝12n＋eq\f(nn－1,2)×2，即n2＋11n－242＝0，解得n＝11或n＝－22(舍去)．故n＝11.10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a8＝1，S16＝0，当Sn取最大值时求n的值．[解]　法一：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a8＝a1＋7d＝1，,S16＝16a1＋\f(16×15,2)d＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝15，,d＝－2，))则Sn＝－n2＋16n＝－(n－8)2＋64，则当n＝8时，Sn取得最大值．法二：因为{an}是等差数列，所以S16＝8(a1＋a16)＝8(a8＋a9)＝0，则a9＝－a8＝－1，即数列{an}的前8项是正数，从第9项开始是负数，所以当n＝8时，Sn取得最大值．11．(多选题)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题中正确的是(　　)A．若d＜0，则数列{Sn}有最大项B．若数列{Sn}有最大项，则d＜0C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn＞0D．若对任意n∈N*，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列ABD　[显然Sn对应的二次函数有最大值时d＜0，且若d＜0，则Sn有最大值，故A，B正确．又若对任意n∈N*，Sn＞0，则a1＞0，d＞0，{Sn}必为递增数列，故D正确．而对于C项，令Sn＝n2－2n，则数列{Sn}递增，但S1＝－1＜0，故C不正确．]12．(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn且满足S2019＞0，S2020＜0，对任意正整数n，都有|an|≥|ak|，则下列判断正确的是(　　)A．a1010＞0B．a1011＞0C．|a1010|＞|a1011|D．k的值为1010AD　[由等差数列{an}，可得S2019＝eq\f(2019a1＋a2019,2)＞0，S2020＝eq\f(2020a1＋a2020,2)＜0，即：a1＋a2019＞0，a1＋a2020＜0，可得：2a1010＞0，a1010＋a1011＜0，∴a1010＞0，a1011＜0，∴A正确B错误．又等差数列{an}为递减数列，且a1010＋a1011＜0，∴|a1010|＜|a1011|，∴C错误．而对任意正整数n，都有|an|≥|ak|，则k的值为1010.故D正确．故选AD.]13．(一题两空)设Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则d＝________，a5＝________.－2　－1　[由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋d＝6a1＋\f(6×5,2)d，,a1＋3d＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝7，,d＝－2，))所以a5＝a4＋d＝1＋(－2)＝－1.]14．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．2000　[假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为S＝9×20＋eq\f(9×8,2)×20＋10×20＋eq\f(10×9,2)×20＝2000(米)．]15．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}为等差数列，a1＝12，d＝－2.(1)求Sn，并画出{Sn}(1≤n≤13)的图象；(2)分别求{Sn}单调递增、单调递减的n的取值范围，并求{Sn}的最大(或最小)的项；(3){Sn}有多少项大于零？[解]　(1)Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝12n＋eq\f(nn－1,2)×(－2)＝－n2＋13n.图象如图．(2)Sn＝－n2＋13n＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(13,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(169,4)，n∈N*，∴当n＝6或7时，Sn最大；当1≤n≤6时，{Sn}单调递增；当n≥7时，{Sn}单调递减．{Sn}有最大值，最大项是S6，S7，S6＝S7＝42.(3)由图象得{Sn}中有12项大于零．