第六章曲率选美汇总

第六章曲率选美第六个回文国家叫做曲率选美国，代号606,简称606国。这个国家与曲线寻亲国一样崇尚回文的几何美，甚至以回文曲线的曲率大小作为审美的主要 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 。每年都举行美男美女竞选，大事张扬，尉为奇观。本章先简单介绍几何学的斜率和曲率的概念，再引入回文曲线的曲率。因为回文曲线只是折线，在折点处曲率不存在，所以回文率纯属虚构。6-1斜率与曲率6-1-1直角三角形平面上有2边互相垂直的三角形叫直角三角形，如下图:（图6-1直角三角形）在图6-1中，直角三角形OAB的2边AB和OB互相垂直，均叫直角边；角B是直角，角O和A是锐角；对锐角0而言：AB叫对边，OB叫邻边，OA叫斜边。定理1:如果2个直角三角形有1锐角重合且对边平行，那末这2个直角三角形相似。定理2：2个相似直角三角形对应边成比例。6-1-2直线的斜率平面上直线的斜率是反映直线相对于水平线的倾斜程0BD度的比率，见下图：（图6-2直线的斜率）在图6-1中，0C是已知直线，A和C是0C上任2点；0D是水平线，AB与CD均垂直于0D，因而AB与CD平行。由定理1,直角三角形OAB与OCD相似。由定理2，(6-1)AB/OB=CD/OD公式（6-1）是说，不管点A或C在直线0C上何处,相似三角形OAB与OCD中锐角0的对边与邻边之比为定值，这个定值反映了直线0C相对于水平线0D的倾斜程度。用t°c表示这个定值，叫做直线0C的斜率。6-1-3坐标与斜率利用上章引入的平面坐标系，我们可以把直线的斜率定义为横坐标与纵坐标的比率。见下图：（图6-3坐标与斜率）(6-2)在图6-3中，L是过原点的直线，A是直线L上任点，其坐标为（x,y）;那末，直线L的斜率是：tL=y/x同样，斜率tL之值与A点在L的何处无关。尽管不同位置的A点，坐标（x，y）的值不同，但比值y/x不变。6-1-4曲线的曲率曲率是数学名词，是反映平面曲线在一点上的弯曲程度大小的比率。它在机械、建筑、交通等多方面有着广泛的应用。直线是特殊的曲线。在上段我们知道，直线上任何一点的斜率相等，直线是等斜率的“曲线“。反过来说，曲线的斜率是变化的。由此，可以把曲率理解为：“曲率是斜率变化的速率。”6-2数字曲率6-2-1数字曲率与曲率回文曲線的数字曲率是数字曲线的曲率，其背景、构思与几何上的曲率是相同的。但有3点不同：（1）离散与连续。数字曲线由离散的点列联结而成；几何曲线由连续的点组成。（2）局部与整体。几何曲率反映几何曲线在一点的弯曲程度，是局部的；数字曲率是考虑整条数字曲线的弯曲程度，是全局的。（3）有限与无限。数字曲线由有限个整数格点组成，谈论一点的曲率是没有意义的。几何曲线由无限多的、密集的点组成，其弯曲程度是无限变化的。6-2-2数字曲率的范围本章讨论的数字曲率，限定在以下范围之内：（1）数字曲率只讨论线状回文曲线的曲率，不讨论点状回文曲线的曲率；（2）数字曲率只讨论水平线、单峯曲线和单谷曲线的曲率，不讨论W型曲线、M型曲线和锯齿型曲线的曲率；（3）数字曲率只讨论右半段回文曲线的曲率，不讨论左半段回文曲线的曲率范围（3）是固因为回文曲线左右对称，讨论回文曲线的曲率只须考虑左半段或右半段曲线。6-2-3数字曲率的数值本章讨论的数字曲率，其数值不是计算得出，而是参照几何学上的曲率逐一规定。其要点是：（1）数字曲率从0开始，最小为0；（2）数字曲率绝对值的大小反映整条数字曲线弯曲的程度；（3）数字曲率的数值有正负，反映整条数字曲线弯曲的方向。以上3点，将在6-7节详细介绍。6-2-3数字曲率的种类回文曲线的数字曲率的有以下几种分类：（1）回文曲线右半段为线段的曲率与回文曲线右半段为折线的曲率（0次或1次回文曲线的曲率与2次或3次回文曲线的曲率），见6-3节及6-4节；（2）奇回文曲线的曲率与偶回文曲线的曲率（尖回文曲线的曲率与驻回文曲线的曲率），见6-5节；3）向上凹的回文曲线的曲率与向下凹的回文曲线的曲率（正曲率与负曲率），见6-6节6-3半线段曲线6-3-1右半段为线段的数字曲线上章说过，数字曲线是联结数字点列的折线，而数字点列由一些整数格点组成。数字曲线的右半段是指：当数字点列的项数n是奇数时，是第（n+1）12项至第n项（即含中点）的联线；当数字点列的项数n是偶数时，是第n/2+1项至第n项（即含右中点）的联线。因而：若N是p位自然数，p是奇数；则反映N的数字点列的右半段是{Nt}，t=（p+1）/2、（p+3）/2、---、p（6-3a）若N是p位自然数，p是偶数；则反映N的数字点列的右半段是{Nt}，t=2p+1、2p+2、---、p（6-3b）数字点列（6-3a）或（6-3b）反映的是以自然数N的数字顺序t为自变量，以N的数位数字Nt为因变量的离散函数的右半段。右半段为线段的数字点列是离散的，其规律性可以从对应的连续坐标关系得出。包括0次關係和1次關係：（1）对应的连续坐标关系是y=c,c为任意常数；則p位数字点列的右半段，1三cW9,当p为奇数是Nt=c;t=（p+1）12、（p+3）/2、——、p（6-4a）当p为偶数是Nt=3;t=2p+1、2p+2、—、p（6-4b）（2）对应的连续坐标关系是y=x+c,c为任意常数，則p位数字点列的右半段，0三cW8,當p为奇数是Nt=t+c;t=(p+1)/2、(p+3)/2、——、p(6-5a)当p为偶数是(6-5b)Nt=t+c;t=2p+1、2p+2、—、p对应地，离散的数字点列的右半段（6-4a）或（6-4b）叫做0次的；（6-5a）或（6-5b）叫做1次的。例如：连续坐标关系y二3及y=x的图像都是直线。如下图:（图6-4直线关系）代数式y=3或y=x的次数是指x的最高次数。y=3是0次式（因为x0=1，省略掉），y=x是1次式（x1=x）6-3-20次曲线的右半段0次关系是指形如y=c的代数式，c任意为常数。在数字曲线的情况下，c只能取数字值1-9，N的位数p三3。0次关系数字曲线簡稱0次曲线，均为水平線段，它們的右半段也都是水半线段。这类曲线有9个水平，每个水平都有无限多条水平线段。以下列出的是整条水平線段（不是右半段）：111、1111、---，直至位数p无限大；222、2222、---，直至位数p无限大；999、9999、---，直至位数p无限大。整条0次曲线的图形如下:1——23（圖6-50次曲線）»t6-3-31次曲线的右半段右半段上升的1次关系是指形如y=x+c的代数式，在数字曲线的情况下是Nt二t+c,0三匚8,3三pW191次关系数字曲线简称1次曲线，均为单谷（V型或U型）曲线或单峯（倒V型或倒U型）曲线。它们的右半段都是线段。以下列出的是整条的单谷（V型）奇曲线：101、212、323、---、989等，9条3位曲線；21012、32123、---、98789等，8条5位曲線；3210123、---，等,7条7位曲線；432101234---，等,6条9位曲線；54321012345---，等,5条11位曲線；6543210123456---，等,4条13位曲線；765432101234567、---，等,3条15位曲線；87654321012345678---，等,2条17位曲線；及1条19位曲線9876543210123456789共45条奇曲線。不难列出对应的45条单谷（U型）偶曲线（中间重复），参看6-5节；以及单峯（倒V型或倒U型）曲线，参看6-6节。190——6-3-40次和1次曲线右半段的特征0次曲线只有1个类型，其右半段的特征比較易見，就是：（1）0次曲线右半段是水平線段；（2）0次曲线右半段相邻2位数字之差皆为0；（3）0次曲线右半段互相平行。整条1次曲线虽有V型、U型、倒V型、倒U型4种，但其右半段只有2种：向上斜线段（V型及U型）与向下斜线段（倒V型及倒U型）。实际上都是斜线段1种。由此，1次曲线右半段有如下特征：（1）1次曲线右半段是斜線段；（2）1次曲线右半段相邻2位数字之差（以大减小）都是1；（3）同型的（例如V型）1次曲线右半段互相平行。6-4半折线曲線6-4-1右半段为折线的数字曲线从上节可知，当表示坐标y与x关系的代数式是x的0次或1次式时，其图像都是直线。只是0次关系的图像是水平线，1次关系的图像是斜直线。那末，何种情况下，坐标y与x关系的图像才是曲线？答案是：当坐标y与x关系的代数式是x的2次式或2次以上时，它们的图像才是曲线。进一步的问题是：除了0次和1次的数字曲线，如何判断2次或2次以上数字曲线的次数？这可从6-4-4的“0次和1次曲线右半段的特征”的第（2）条引伸出来。从“0次曲线右半段相邻2位数字之差皆为0”与“1次曲线右半段相邻2位数字之差（以大减小）都是1”得出如下结论：當数字曲线右半段相邻2位数字之差相等，它的图像是线段。當数字曲线右半段相邻2位数字之差不等，它的图像是折線。数字曲线的右半段有2次曲线和3次曲线2种。6-4-22次曲线的右半段整条2次数字曲线也有V型、U型、倒V型、倒U型4种，但其右半段只有1种：2次曲线，包括上升的2次曲线和下降的2次曲线。上升的2次关系，连续关系为y=x2+c（c是任意常数）时，相应的离散关系，0三cW9-t2:当奇数p三5,是Nt=t2+c；t=（p+1）/2、（p+3）/2、---、p（6-6a）当偶数p三6,是192(6-6b)2Nt=t+c;t=2p+1、2p+2、—、p以下列出的是整条的单谷（V型）2次数字奇曲线:（1）右半段是014（02、12、22）,5位曲线6条:TOC\o"1-5"\h\zc=0c=1c=2c=3c=4c=541014、52125、63236、74347、8545896569（2）右半段是0149（02、12、22、32），5位曲线1条:c=0c=1c=2c=3c=4c=59410149（无）（无）（无）（无）（无）以上2种情况共7条2次奇曲线。不难列出对应的7条单谷（U型）偶曲线（中间重复），参看6-5节；以及单峯（倒V型或倒U型）曲线，参看6-6节。部份整条的单谷（V型）2次奇曲线如下图:整条3次数字曲线也有V型、U型、倒V型、倒U2次奇曲線）型4种，但其右半段只有1种，就是3次数字曲线。包括上升的3次曲线和下降的3次曲线。上升的3次数字曲线是连续关系为y=x3+c（x三0,c是常数）时，相应的离散关系，0三c三9-t3:当奇数p三5,是Nt=t3+c；t=（p+1）/2、（p+3）/2、---、p（6-7a）当偶数p三6,是Nt=t+c；t=2p+1、2p+2、---、p（6-7b）以下列出的是整条的单谷（V型）3次数字奇曲线：（1）右半段是018（03、13、23）,有2条:c=0c=1c=2c=3c=4c=581018、92129（无）（无）（无）（无）（2）右半段是18“27”（13、23、33）,3次数字奇曲线不存在,因为“27”不能作为1位数字。以上2种情况共2条3次曲线。不难列出对应的2条单谷（U型）偶曲线（中间重复），参看6-5节；以及单峯（倒V型或倒U型）曲线,参看6-6节。全部整条的单谷（V型）3次奇曲线如下图:1943次奇曲線）6-4-43次以上数字曲线不存在当坐标y与x的连续关系高于3次，即连续关系形如y=xn+c（n>3,c是常数）时，相应的数字曲线不存在。原因有二：第一，任何情况下3位回文曲线只能作为0次或1次“曲线”（右半边图像为线段的数字曲线）。例如3位回文曲线101，虽然它是2次曲线41014和3次曲线81018的一部份，但在它未延伸至5位回文曲线之前，只能作为1次曲线，不能作为2次、3次曲线或3次以上数字曲线。第二，3次以上的5位数字曲线也不存在。尽管2次及3次5位数字曲线都存在，但从4次开始，5位数字曲线也不存在。例如右半段是01“16”（04、14、24）的5位4次数字奇曲线不存在，因为“16”不能作为1位数字。这种数字“出位”的情况，在4次以上数字曲线更严重，且越来越严重。6-5奇偶曲线6-5-1奇偶曲线的异同奇偶曲线是指1对反映自然数奇回文和偶回文的数字曲线。这对曲线除中点以外全部相同，而奇回文的中点只有1点；偶回文的中点则有2个，且纵坐标都与对应奇回文中点相等。仅中点不同的1对奇偶曲线的不同点是：奇曲线的中点是1个尖点；偶曲线的中点是1对驻点。仅中点不同的1对奇偶曲线的相同点是：它们的右半段完全相同。在6-3和6-4两节已列出全部0次、1次、2次和3次的奇回文曲线以及0次的偶奇回文曲线（水平线段）；下面再列出全部1次、2次和3次的偶回文曲线。196——在6-3-3中己列出全部的单谷（V型）1次奇回文曲线:下面再列出对应的单谷（U型）1次偶回文曲线：1001、2112、3223、---、9889等，9条4位曲線；210012、321123---、987789等，8条6位曲線；32100123---，等,7条8位曲線；4321001234---，等，6条10位曲線；543210012345---，等,5条12位曲線；65432100123456---，等,4条14位曲線；7654321001234567---，等,3条16位曲線；876543210012345678---，等,2条18位曲線；及1条20位曲線98765432100123456789共45条偶曲线'在6-4-2中己列出全部的单谷（V型）2次奇回文曲线；F面再列出对应的单谷（U型）2次偶回文曲线：（1）右半段是014（02、12、22）的6位曲线，6条:c=0c=1c=2c=3c=4c=5410014、521125632236743347、854458、965569（2）右半段是0149（02、12、22、32）的8位曲线,1条：c=0c=1c=2c=3c=4c=594100149（无）（无）（无）（无）（无）以上2种情况共7条2次偶曲线。198——在6-4-2中己列出全部的单谷（V型）3次奇回文曲线。下面再列出对应的单谷（U型）3次偶回文曲线：（1）右半段是018（03、13、23），有2条：c=0c=1c=2c=3c=4c=5810018、921129（无）（无）（无）（无）（2）右半段是18“27”（13、23、33），3次数字奇曲线不存在，因为“27”不能作为1位数字。以上2种情况共2条3次偶曲线。6-6凹凸曲线6-6-1凹凸曲线的异同凹凸回文曲线是指1对上下对称的数字曲线：其中1条向上弯曲，叫凹曲线；另1条向下弯曲，叫凸曲线。凹凸回文曲线分为2类：凹凸奇回文曲线（V型和倒V型曲线；凹凸偶回文曲线（U型和倒U型曲线）。1对对称的凹凸曲线的不同点是：其中1条从Nt=0、1、2、---等开始向上弯曲；另1条从Nt=9、8、---等开始向下弯曲。1对对称的凹凸曲线的相同点是：它们的伸展情况和弯曲程度完全相同。在6-3、6-4和6-5节己全部列出1次、2次和3次的奇、偶回文凹曲线；下面再列出全部1次、2次和3次的奇、偶回文凸曲线。（0次曲线是水平线段，无凹凸之分）6-6-21次凸回文曲线在6-3-3中我们讨论了右半段上升的1次关系（单峯V型或U型）曲线。现在我们再讨论右半段下降的1次关系（单峯倒V型或倒U型）曲线。右半段下降的1次关系曲线（凸曲线）的连续关系是200形如y=c-x的代数式，c是任意常数。在数字曲的情况下是Nt二c-t,0三8,3三pW19。1次凸曲线包括倒V型1次单峯奇曲线和倒U型1次单峯偶曲线2种。其中倒V型1次单峯奇曲线有：898、787、---、121等，8条3位曲线；78987、67876、---12321等，7条5位曲线；6789876、---、1234321等，6条7位曲线；567898765等，5条9位曲线；45678987654等,4条11位曲线；3456789876543等，3条13位曲線；234567898765432等，2条13位曲線；及1条17位曲線12345678987654321,共36条奇曲線。同理，对应的倒U型1次单峯偶曲线也有36条，从略。我们在6-4-2中己经讨论了上升的（单谷凹型）2次曲线。本节继续讨论下降的（单峯凸型）2次曲线。下降的2次数字曲线的连续关系为y=c-x2,c是任意常数）。在数字曲的情况下是Nt二c-t2,t2三9,p三5。下降的（单峯凸型）2次曲线包括倒V型2次单峯奇曲線和倒U型2次单峯偶曲線2种。其中倒V型2次单峯奇曲線有：（1）右半段是985（c-02、c-12、c-22）的5位奇曲線，有5条：TOC\o"1-5"\h\zc=9c=8c=7c=6c=5c=45898547874367632565214541（无）（2）右半段是9850（c-02、c-12、c-22、c-32）的7位奇曲線,c=9c=8c=7c=6c=5c=40589850（无）（无）（无）（无）（无）不存在,因0589850不是自然数回文。以上2种情况共5条2次奇曲线。同理，倒U型2次单峯偶曲線也有5条2次奇曲线，从略。全部整条的单峯（倒V型）2次奇曲线如下图：2026-6-43次凸回文曲线我们在6-4-3中己经讨论了上升的（单谷凹型）3次曲线。本节继续讨论下降的（单峯凸型）3次曲线。下降的3次数字曲线的连续关系为y=c-x3,x>0,c是任意常数。在数字曲的情况下是Nt=c-t3,t3三c三9,p三5。下降的（单峯凸型）3次曲线包括倒V型3次单峯奇曲線和倒U型3次单峯偶曲線2种。其中倒V型3次单峯奇曲線有：（1）右半段是981（c-03、c-13、c-23）的5位奇曲線，有1条（*07870不是自然数回文）：c=9c=8c=7c=6c=5c=418981*07870（无）（无）（无）（无）（2）右半段是981“9-27”（c-03、c-13、c-23、c-33）的7位3次数字奇曲线不存在，因为“9-27”不能作为1位数字。以上2种情况共1条3次曲线。同理，倒U型2次单峯偶曲線也有5条2次奇曲线，从略。整条的单峯（倒V型）3次偶曲线如下图：2046-7曲率的设定6-7-1曲率设定的原則曲率设定的原則是：（1）用k表示曲率，设1位整数，2位小数；（2）曲率的整数部份按数字曲线的次数依次取0、1、2、3之值，記为d；（3）曲率的十分一位数按数字曲线的奇位数（偶位数减1）设置，記为e；（4）曲率的百分一位数按数字曲线的谷点或峯点的高低设置，記为f。凹型曲线是：f=9-Nt（6-7a）凸型曲线是：f=Nt（6-7b）曲率设定的结果是：k=d+e+f（6-8）6-7-20次曲線的曲率