会计学1等比数列的概念及通项公式一学习目标1.掌握等比数列的定义，理解等比中项的概念．2．掌握等比数列的通项公式及推导过程．3．能应用等比数列的定义及通项公式解决问
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．第1页/共23页回顾与复习1、等差数列定义：如果一个数列从第二项开始，每一项与前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列。数学
表
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达式：d=an-an-1(n≥2)或d=an+1-an2、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d(n∈N*)3、等差数列通项公式的推导
方法
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：an=am+(n-m)d(n,m∈N*)第2页/共23页一、引入新课：1.细胞分裂个数组成数列:2.“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”得到数列:3.病毒感染的计算机数构成的数列:第3页/共23页（1）1，2，22，23，…观察下列数列的相邻两项，并说出它们的特点.1、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，记为q(q≠0).数学语言：探究：等比数列的定义……第4页/共23页名称等差数列等比数列定义如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，用d表示如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，用q表示.第5页/共23页课堂互动(1)1，3，9，27，81，…(3)5，5，5，5，5，5，…(4)1，-1，1，-1，1，…是,公比q=3是,公比q=x是,公比q=-1(7)(2)是,公比q=观察并判断下列数列是否是等比数列:是,公比q=1(5)1，0，1，0，1，…(6)0，0，0，0，0，…不是等比数列不是等比数列第6页/共23页1.各项不能为零,即2.公比不能为零,即4.数列a,a,a,…时,既是等差数列又是等比数列;时,只是等差数列而不是等比数列.3.当q>0，各项与首项同号当q<0，各项符号正负相间对等比数列的理解第7页/共23页等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。思考：1、若G2＝ab，则a，G，b一定成等比数列吗？ 提示：不一定，若a＝G＝b＝0时，不满足．所以a，G，b成等比数列⇔G2＝ab(ab≠0)．第8页/共23页等比数列通项公式的推导:等比数列通项公式的推导（归纳法）……11-=nnqaa……等差数列通项公式的推导(归纳法)第9页/共23页证明：将等式左右两边分别相乘可得：化简得：即：此式对n=1也成立∵………………∴累乘法推导等比数列通项公式的推导:第10页/共23页在等比数列｛an｝中，若已知某一项为am,公比为q,求该数列的任意项an。等比数列通项公式的推广公式：an＝amqn-m（am≠0,an≠0,m,n∈Z）+等比数列的通项公式：（n∈N﹡,q≠0）第11页/共23页例如：数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则通项公式是：＿＿＿＿＿＿上式还可以写成可见，这个等比数列的图象都在函数的图象上，如右图所示。01234nan87654321····思考：等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？第12页/共23页结论:等比数列的图象与指数函数之间的关系:第13页/共23页巩固知识典型例题6.3等比数列例1在等比数列中，求解由有（2）除以（1）得将代人（1），得所以，数列的通项公式为 本例题求解过程中，通过两式相除求出公比的方法是研究等比数列问题的常用方法．(1)(2)第14页/共23页变形１、等比数列{an}中,a1=2,q=-3,求a8与an.变形2、等比数列{an}中,a1=2,a9=32,求q.变形３、等比数列{an}中,a1+a3=10,a4+a6=5/4,求q的值.变形４、等比数列{an}中,a3+a6=36,a4+a7=18,an=1/2,求n.第15页/共23页解：第16页/共23页定义法，只要看第17页/共23页已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.(1)求证：数列{an＋1}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．【思路点拨】 将递推公式变形，然后利用等比数列的定义判定．例4第18页/共23页(2)由(1)知，{an＋1}是以a1＋1为首项，2为公比的等比数列．所以an＋1＝2·2n－1＝2n，即an＝2n－1.【名师点评】 已知数列的递推关系求通项公式时，要先判断该数列是否为等差数列或等比数列，若是等差或等比数列，则按等差或等比数列的通项公式求解；若不是等差或等比数列，一般先将递推公式变形，构造一个等差或等比数列，从而求出通项公式．第19页/共23页第20页/共23页第21页/共23页数列等差数列等比数列定义公差（比）定义变形 通项公式 一般形式 小结：填写下表an+1-an=dd叫公差q叫公比an+1=an+dan+1=anqan=a1+(n-1)dan=a1qn-1an=am+(n-m)dan=amqn-m第22页/共23页
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