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角平分线四大模型

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角平分线四大模型角平分线四大模型模型1角平分线的点向两边作垂线如图,P是/MON的平分线上一点,过点P作PA丄0M于点A,PB丄ON于点B,_KUPB=PA模型分析利用角平分线的性质:角平分线上的点到角两边的距离相等,构造模型,为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件,进而可以快速找到解题的突破口模型实例(1)如图①,在△ABC中,/C=90°AD平分/CABBC=6,BD=4,那么点D到直线AB的距离是•/CB=6,BD=4,•••DE=CD=2,即点D到直线AB的距离是2.(2)如图②,/1=Z2,/3=Z4,求证:A...

角平分线四大模型
角平分线四大模型模型1角平分线的点向两边作垂线如图,P是/MON的平分线上一点,过点P作PA丄0M于点A,PB丄ON于点B,_KUPB=PA模型分析利用角平分线的性质:角平分线上的点到角两边的距离相等,构造模型,为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件,进而可以快速找到解题的突破口模型实例(1)如图①,在△ABC中,/C=90°AD平分/CABBC=6,BD=4,那么点D到直线AB的距离是•/CB=6,BD=4,•••DE=CD=2,即点D到直线AB的距离是2.(2)如图②,/1=Z2,/3=Z4,求证:AP平分/BAC证明:如图,过点P作PD丄AB于点D,PE±BC于点E,PF丄AC于点F,VZ1=22,二PD=PE,vZ3=Z4,/•PE=PF,「.PD=PF又tPDLAB,PF丄AC/•AP平分ZBAC(角平分线的判定)练习如图,在四边形ABCD中,BOAB,AD=DC,BD平分ZABC,求证:ZBAD+ZBCD=180•/BD平分/ABC,「.DF=DE又:AD=DC,:.△DFQDEC/-ZFAD=ZCvZFAD^ZBAD=180°:•/BAD^ZBCD=180°2.如图,△ABC的外角ZACK的平分线CP与内角ZABC的平分线BP相交于点P,若ZBPC=40°,贝UZCAP解答:如图所示,作PN丄BD于N,作PF丄BA交BA延长线于F,作PMILAC于M•/BP、CP分另U是ZCBA和ZDCA的角平分线,:-ZABP=ZCBP,ZDCP=ZACP,PF=PN=PM,vZBAC=ZACD-ZABC,ZBPC=ZPCD-ZPBC外角性质):.ZBAC=2ZPCD-2ZPBC=2(ZPCD-ZPBC)=2ZBPC=80°:.ZCAF=180°-ZBAC=100°,vPF=PM•:AP是ZFAC的角平分线,•:ZCAP=ZPAF=50°模型2截取构造对称全等如图,P是ZMON勺平分线上的一点,点A是射线OM上任意一点,在ON上截取OB=OA,连接PB,则厶OPBOPA模型分析利用角平分线图形的对称性,在铁的两边构造对称全等三角形,可以得到对应边,对应角相等,利用对称性把一些线段或角进行转移,这是经常使用的一种解题技巧模型实例(1)如图①所示,在△ABC中,人。是厶BAC的外角平分线,P是AD上异于点A的任意一点,试比较PB+PC与AB+AC的大小,并说明理由解题:PB+PC>AB+AC证明:在BA的延长线上取点E,使AE=AB,连接PE,丁AD平分/CAE/•ZCAD=ZEAD,在△AEP与厶ACP中,•/AE=AB,/CAD=ZEAD,AP=AP,/△AEPACP(SAS),/PE=PCt在APBE中:PB+PE>BE,BE=AB+AE=AB+AC,•/PB+PC>AB+AC(2)如图②所示,AD是厶ABC的内角平分线,其它条件不变,试比较PC—PB与AC-AB的大小,并说明理由AAAXAXBJ)CBDC解答:AC-AB>PC-PB证明:在△ABC中,在AC上取一点E,使AE=AB,•/AC-AE=AB-AC=BE•/AD平分ZBAC,/z1EAP=ZBAP5在厶AEP和厶ACP中/•△AEPABP(SAS),•/PE=PB5丁在厶CPE中CE>CP-PE,•/AC-AB>PC-PB练习已知,在△ABC中,ZA=2ZB,CD是ZACB的平分线,AC=16,AD=8,求线段BC的长解:如图在BC边上截取CE=AC,连结DE在厶ACD^H^ECD中'AC=EC«NACD=nECDCD=CD:.△ACD^AECD(SAS)/•AD=DE,/A=Z1,丁/A=2/B,:Z1=2/B,vZ1=ZB+/EDB,:.ZB=ZEDB•:EBB=ED,•:EB=DA=8,BC=EC+BE=AC+DA=16+8=24在厶ABC中,AB=AC,ZA=108°,BD平分ZABC求证:BC=AB+CD证明:在BC上截取BE=BA连结DE,•/BD平分ZABC,BE=AB,BD=BD•:△ABD^AEBD(SAS,:-ZDEB=ZA=108°°:-ZDEC=180°—108°=721•/AB=AC,:-ZC=ZABC=2(180。—108°=36°,:-ZEDC=72°,:.ZDEC=ZEDC•:CE=CD,•:BE+CE=A聊CD•:BC=AB+CD3.如图所示,在厶ABC中,ZA=100°ZABC=40°,BD是ZABC的平分线,延长BD至E,使DE=AD,求证:BC=AB+CE证明:在CB上取点F,使得BF=AB,连结DF,vBD平分ZABCBD=BD•:△ABD^AFBD•:DF=AD=DE,ZAD=ZFDB•:BD平分ZABC:.ZABD=20°则ZAD=180°—20°—100°=60°=ZCDEZCDF=180°—ZADB^ZFDB=60°,:-ZCDF=ZCDE在厶CDE^HACDF中'DE=DF*NCDF=ZCDECDCD•:△CDE^CDF,•:CE=CF,•:BC=BF+FC=AB+CE模型3角平分线+垂线构造等腰三角形如图,P是/MON的平分线上一点,AP丄0P于P点,延长AP交ON于点.B,则厶AOB是等腰三角形模型分析构造此模型可以利用等腰三角形的”三线合一”,也可以得到两个全等的直角三角形.进而得到对应边.对应角相等.这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来模型实例如图.己知等腰直角三角形ABC中,/A=90°,AB=AC,BD平分/ABC,C£±BD.垂足为E.求证:BD=2(£./BAC=90,•/ZBADZCED./•ZABD=/ACF.又tAB=AC,/BAD艺CAF=90,/•△ABD^AACF.「.BD=CF.•/BD平分ZABC,/ZCBEZFBE.又BE=BE,/ABCE^ABFE./•CE=EF.•/BD=2CE.练习1.如图.在厶ABC中.BE是角平分线.AD丄BE.垂足为D.求证:Z2=Z1+ZC.证明:延长AD交BC于F,tADLBE,/ZADBZBDF=90,tZABDZFBD,•/Z2=ZBFD.tZBFD=/1+ZC,/Z2=Z1+ZC.2.如图.在厶ABC中.ZABC=3/C,AD是ZBAC的平分线,BE丄AD于点E.1求证:BE(AC-AB).2(2)证明:延长BE交AC于点F.tAD为ZBAC的角平分线,/•/BADZCAD.tAE=AE,/ZBAE=/FAE,则厶AEB^AAEF,•/AB=AF,BE=EF,Z2=Z3.•/AC-AB=AC-AF=FC.tZABC=3/C,/Z2+Z1=Z3+Z1=Z1+ZC+Z1=3ZC./2Z1=2ZCTOC\o"1-5"\h\z11』即Z仁ZC/BF=F0=2BE/BEFCAC-ABHYPERLINK\l"bookmark5"\o"CurrentDocument"22模型4角平分线+平行线模型分析有角平分线时.常过角平分线上一点作角的一边的平行线.构造等腰三角形.为证明结论提供更多的条件体现了用平分线与等腰三角形之间的密切关系.模型实例解答下列问题:⑴如图①.△ABC中,EF//BC,点D在EF上,BD、CD分别平分/ABC/ACB.写出线段EF与BE、CF有什么数量关系?⑵如图②,BD平分/ABC,CD平分外角/ACG.DE//BC交AB于点E,交AC于点F,线段EF与BE、CF有什么数量关系?并说明理由.⑶如图③,BDCD为外角/CBMZBCN的平分线,DE//BC交AB延长线于点E.交AC延长线于点F,直接写出线段EF与BECF有什么数关系?/•ZEDBZDBC;.BD平分ZEBC/-ZEBDZDBC=EDB.「•EB=ED.同理:DF=FC./•EF=ED+DF=BE+CF.(2)图②中有EF=BE=CFBD平分ZBAC,/ZABDZDBC又DE//BC、./ZEDBZDBC.•/DE=EB同理可证:CF=DF•/EF=DE-DF=BE-CF.⑶EF=BE+CF.练习1.如图.在厶ABC中,ZABC和ZACB的平分线交于点E.过点E作MN/BC交AB于M点.交AC于N点.若BM+CN=,则线段MN的长为__解答:vZABCZACB的平分线相交于点E,/MBEZEBCZECNZECB.vMN//BC,/•ZEBCZMEB,ZNEC2ECB./-ZMBE-ZMEB,ZNEOZECN./BM=ME,EN=CN.•/MN=ME+EN卩MN=BM+CN:BM+CN=9「.MN=9.2.如图.在厶ABC中,AD平分ZBAC.点E、F分別在BDAD上,EF//AB.且DE=CD求证:EF=AC.证明:如图,过点C作CM/AB交AD的延长线于点M,vAB//EF,/CM/EF./Z3=Z4.•/DE=CD,Z5=Z6,•/△DEF^ADCM/EF=CM.vAB//CM,/Z2=Z4.vZ1=Z2,/•Z1=Z4.•/CM=AC;-EF=AC如图.梯形ABCD中,AD//BC,点E在CD上,且AE平分ZBAD.BE平分ZABC.求证:AD=AB-BC.岂爭省木ADBE泓屮愆.「AD//BC-.・、2U、F・•••、忒、2-.•、忒、F・•••ABMAF*•AE书®、BAD.BEUEF*•:、DEFaCEB-:->DE^>CEB:.DFMBC:-ADMA71DFMAB1BC.
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