八
年级
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初二数学平行四边形知识点-+典型
题
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及答案一、解答题1.如图，在中，NAC8=90。，过点C的直线MN〃AB,。为A3边上一点，过点。作OE_L5C,交直线于E，垂足为尸，连接CO、BE（1）当。在A3中点时，四边形5ECD是什么特殊四边形?说明你的理由：（2）当。为A8中点时，NA等于度时，四边形BECD是正方形.2.综合与实践.问题情境：如图①，在纸片U7A3C。中，AD=5,SuABCD=\5,过点A作AE_L8C,垂足为点E，沿AE剪下△A3E，将它平移至△OC£的位置，拼成四边形AEE'D.独立思考：（1）试探究四边形AEEZ）的形状.深入探究：（2）如图②，在（1）中的四边形纸片中，在EE'.上取一点尸，使EF=4,剪下aAEF,将它平移至△£>£户’的位置，拼成四边形试探究四边形AFFD的形状：拓展延伸：（3）在（2）的条件下，求出四边形的两条对角线长；（4）若四边形48CQ为正方形，请仿照上述操作，进行一次平移，在图③中画出图形，标明字母，你能发现什么结论，直接写出你的结论.3.在等边三角形ABC中，点D为直线BC上一动点（点D不与B,C重合），以AD为边在AD的上方作菱形ADEF,且NDAF=60。，连接CF.（1）（观察猜想）如图（1）,当点D在线段CB上时，①NBCF=。：②BC,CD,CF之间数量关系为.（2）（数学思考）：如图（2）,当点D在线段CB的延长线上时，（1）中两个结论是否仍然成立？请说明理由.（3）（拓展应用）：如图（3）,当点D在线段BC的延长线上时，若48=6,CD=\-BC,请直接写出CP的长及菱形ADEF的面积.E图（2）图（3）.如图，在RA43C中，ZABC=90°>ZC=30°,4C=12o〃，点E从点A出发沿AB以每秒\cm的速度向点4运动，同时点D从点C出发沿C4以每秒2cm的速度向点4运动，运动时间为，秒（0v，v6）,过点。作。尸，3c于点尸.（1）试用含/的式子
表
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示AE、AD.。厂的长；（2）如图①，连接EF，求证四边形AEF。是平行四边形：（3）如图②，连接。E，当/为何值时，四边形ESED是矩形？并说明理由..我们知道平行四边形有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论.（发现与证明）oABCD中，ABwBC,将AA8C沿4c翻折至AAB'C,连结•♦结论1：AAB'C与o48CQ重叠部分的图形是等腰三角形：结论2：BD//AC.试证明以上结论.（应用与探究）在oABCQ中，已知3c=2，N8=45，将AA8C沿AC翻折至AAB'C,连结3'。.若以A、C、D、8,为顶点的四边形是正方形，求AC的长.（要求画出图形）6’.已知四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转。（0°
试卷
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处理标记，请不要删除一、解答题1.（1）四边形BECQ是菱形，理由见解析；（2）45°【分析】（1）先证明ACV/OE,得出四边形BECD是平行四边形，再“根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证出CZ)=3D,得出四边形8七8是菱形：(2)先求出NA3C=45。，再根据菱形的性质求出NQ3E=90。，即可证出结论.【详解】解：当点。是A3的中点时，四边形BEC。是菱形：理由如下：■:DELBC,ZDFE=90°,VZACB=90°,ZACB=4DFB,ACIIDE、,:MN//AB,却CE//AD,四边形4OEC是平行四边形，:.CE=AD；•.•D为A8中点,/.AD=BD，/.BD=CE,・：BDIICE,：.四边形BEC。是平行四边形，VZACB=90°,D为AB中点,：.CD=-AB=BD,2，四边形3ECD是菱形：(2)当NA=45。时，四边形8ECQ是正方形；理由如下：VZACB=90°,ZA=45°,..ZABC=45°,•・♦四边形8ECD是菱形，ZABC=-ZDBE,2.•.NOB七=90。，，四边形BECZ)是正方形.故答窠为:45°.【点睛】本题考查了平行四边形的判定、正方形的判定以及直角三角形的性质：根据题意证明线段相等和直角是解决问题的关键.2.(1)矩形：(2)菱形；(3)3加：(4)见解析【分析】(1)由平移推出AO=££'，即可证得四边形是平行四边形，再根据AE1BC,得到NAE£=90°即可得到结论；(2)由平移推出AO="',证得四边形是平行四边形，根据得到ZAEE=90。,再根据勾股定理求出AF=5=AD,即可证得四边形A"'。是菱形；(3)先利用勾股定理求出dfNeF+ed2=17孕=加，再根据菱形的而积求出尸A；(4)在BC边上取点E,连接AE,平移AABE得到ADCF,可得四边形AEFD是平行四边形.【详解】⑴四边形是矩形，在。ABC。中，ADHBC,AD=BC,由平移可知：BE'=CE'，BC=EE'・•・AD=EE'，•・四边形AEE'D是平行四边形，VAE1BC,•.ZAE£=90。，•・四边形AEEZ＞是矩形：⑵四边形是菱形，在矩形AEED中，AD//EE',AD=EE',由平移可知：EF=EF,:.EE=FF'，•・AD=FF^•・四边形AFFD是平行四边形，VAE±EF.:.ZAEE=90°,在RsAEF,AF=4AE2+E产=5/32+4,=5,：-AF=AD^•.四边形是菱形：(3)连接/A,在放△。庄,中，DFZeF+ED=1+3?=M,S菱形AFF?)=S平行四边形A8m=15，.•・F,AFD=30,•・FA=3加：⑷在BC上取一点E,连接AE,平移4ABE得到ADCF,可得四边形AEFD是平行四边形.【点睛】此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定定理，菱形的判定及性质，平移的性质的应用，勾股定理.3.(1)①120。：②BC=CD-CF：(2)不成立，见解析；(3)8,26小【分析】(1)①根据菱形的性质以及等边三角形的性质，推出△ACFgZkABD,根据全等三角形的性质即可得到结论；②根据全等三角形的性质得到CF=BD,再根据BD+CD=BC,即可得出CF+CD=BC；(2)依据△ABDg/\ACF,即可得到NACF+NBAC=180°,进而得到AB〃CF；依据△ABDg4ACF可得BD=CF,依据CD-BD=BC,即可得出CD-CF=BC；(3)依据△AQ8三△AFC,即可得到CF=BZ)=BC+CD=8,利用AA3C是等边三角形，AH±BC,可得BH=HC=LbC=3,即可得出HD的长度，利用勾股定理即可2求出AD的长度，即可得出结论.【详解】解：(1)①在等边4ABC中，AB=AC,ZBAC=ZACB=ZABC=60"AZBAD+ZDAC=60°在菱形ADEF中AD=AF*.•ZDAF=ZDAC+ZFAC=60"AZCAF=ZDAB又•••AC=AB,AF=ADaaacf^aabdAZACF=ZABD=60°,CF=BD，ZBCF=ZACB+ZACF=120°故答案为:120°②YBCmBD+CD,bd=cfABD=CF+CD故答案为：BC=CD+CF(2)不成立理由：・・・AA3C是等边三角形AABAC=ZABC=ZACB=60.AB=AC又・・・ND4/=60•••ABAC-ZBAF=ZDAF-/BAF:.ZFAC=4DAB・•四边形ADEF是菱形：.AD=AF：.AAD8=Z^AFC:.DB=FC,ZACF=ZABD=180-60=120，ZBCF=ZAC/一ZACB=120-60=60・•BC=CD-BD•・BC=CD-CF（3）CF=8,菱形ADEF的面积是26ZBAC=ZDAF=60ABAD=ZCAF又•••A3=AC,AD=AF：.AADB=AAFC：.CF=BD=BC+CD=6+^-x6=83工如图,过点A作A"J_8c于点H,连接FD•:△ABC是等边三角形，AH±BC：.BH=HC=-BC=-x6=322：.HD=HC+CD=3+2=5vAH2=AB2-BH2=36-9=27•••AD=yjAH2+DH2=727+25=2>/13S娈形adef=2Sw/）=2x不x2y/\3x2-J\3x=26小.【点睛】等边三角形理由见解此题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，菱形的性质，的判定和性质的综合运用，利用已知条件判定△DABgaFAC是解本题的关键.4.(1)AE=t；AD=\2-2t,DF=tx(2)证明见解析：(3)/=3：析.【分析】（1）根据题意用含t的式子表示AE、CD,结合图形表示出AD,根据直角三角形的性质表示出DF；（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形证明：（3）根据矩形的定义列出方程，解方程即可.【详解】解：（1）由题意得，AE=t,8=2，则AD=AC—8=12—2/，,ZDFLBC.ZC=30°,：.DF=-CD=t2VZABC=90°,DF1BC,：.AB//DFtVAE=t,DF=l,：.AE=DF,•・四边形AEFD是平行四边形：（3）当［=3时，四边形E8ED是矩形，理由如下：•.•NA8C=90。，ZC=30°,BC=—AC=6cm,2:BE"DF'・・8E=O/时，四边形E8ED是平行四边形，即67=/,解得，1=3,・•NABC=90。，・•・四边形是矩形，・〃=3时，四边形EBED是矩形.【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定，掌握平行四边形、矩形的判定定理是解题的关键.5.1发现与毡明】结论1：见解析，结论2：见解析；【应用与探究】AC的长为五或2.【分析】【发现与证明】由平行四边形的性质得出NEAC=NACB,由翻折的性质得出*♦NACB=NACB',证出NEAC=NACB',得出AE=CE；得出DE二B'E,证出NCB'D=NB'DA=|（1800-NB'ED）,由NAEC=NB，ED,得出NACB'=ZCBrD,即可得出B'D〃AC；【应用与探究】：分两种情况：①由正方形的性质得出NCAB'=90°,得出NBAC=90°,再由三角函数即可求出AC：②由正方形的性质和已知条件得出AC=BC=2.【详解】【发现与证明】：•四边形ABCD是平行四边形，*♦，AD二BC,AD〃BC,，NEAC=NACB,VAABC^AABfC,AZACB=ZACBZ,BC=BZC,，NEAC=NACB',AAE=CE,即4ACE是等腰三角形；，DE=B'E,AZCB7D=NB'DA=12(180°-ZBfED),VZAEC=ZBfED,Z.ZACB*=ZCBfD,AB*D〃AC；【应用与探究】：分两种情况：①如图1所示:•••四边形ACDB'是正方形,AZCABr=90",AZBAC=90",VZB=45C,.\AC=2^BC=V2；2②如图2所小：AC=BC=2：综上所述：AC的长为0或2.【点睛】本题考查平行四边形的性质，正方形的性质，翻折变换(折叠问题).【发现与证明】对于结••论1,要证明三角形是等腰三角形，只需要证明它的两条边相等，而在同一个三角形内要证明两条线段相等只需要证明它们所对应的角相等(即用等角对等边证明).结论2：要证明两条线段平行，本题用到了内错角相等，两直线平行.所以解决【发现与祖沙】的关键是根据已知条件找到对应角之间的关系.【应用与探究】折叠时，因为正方形的四个角都是直角，所以对应线段之间存在共线情况，所以分BA和AB'共线和BC和B'C两种情况讨论，能根据题意画出两种情况对应的图形，是解题关键.6.(1)30°：(2)不变：45°；(3)见解析【分析】(1)利用图形的旋转与正方形的性质得到^BEC是等边三角形，从而求得a=ZDCE=30".（2）因为aCED是等腰三角形，再利用三角形的内角和即可求ZBEF=180°-Z.CED-ZCEB=45°.（3）过A点与C点添加平行线与垂线，作得四边形AGFH是平行四边形，求得△ABGT4ADH.从而求得矩形AGFH是正方形，根据正方形的性质证得△AHDg/kDIC,从而得出结论.【详解】（1）证明:在正方形ABCD中，BC=CD.由旋转知，CE=CD,又YBE=CE,ABE=CE=BC,••.△BEC是等边三角形，AZBCE=60°.又TNBCD=900,Aa=ZDCE=30°.（2）NBEF的度数不发生变化.在4CED中，CE二CD,180。一a…a/.NCED=NCDE==90°——，22在4CEB中，CE=CB,ZBCE=90°-£Z,180°-ZBC£…a，NCEB二NCBE==45°+一,22•.Nbef=180°-NCED-NCEB=45°.（3）过点A作AG〃DF与BF的延长线交于点G,过点A作AH〃GF与DF交于点H,过点C作Q_LDF于点I易知四边形AGFH是平行四边形，又•••BFJ_DF,•.平行四边形AGFH是矩形.〈NBAD二NBGF二90°,ZBPF=ZAPD,，ZABG=ZADH.又「NAGB=NAHD二90°,AB=AD,.•.△abg^Aadh.，AG二AH,.•・矩形AGFH是正方形.，NAFH二NFAH二45°,，AH二AF:ZDAH+ZADH=ZCDI+ZADH-90°AZDAH=ZCDIXVZAHD=ZDIC=90°,AD=DC,AAAHD^ADIC，AH二DI,VDE=2Dh，DE=2AH=7JAF【点晴】本题考查正方形的性质和判定、图形的旋转、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常
考题
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型.（1）375：（2）E：（3）后或VIUT【分析】（1）利用勾股定理即可求出.（2）过点F作FHJ_AD交AD于的延长线于点H,作FMJ_AB于点M,证出AECD^AFEH,进而求得MF,BM的长，再利用勾股定理，即可求得.（3）分两种情况讨论，同（2）证得三角形全等，再利用勾股定理即可求得.【详解】由勾股定理得：BF=^AB2+AF2=>/32+62=3>/5（2）过点F作FHLAD交AD于的延长线于点H,作FMJ_AB于点M,如图2所示：则FM=AH,AM=FH丁四边形CEFG是正方形，EC=EF,NFEC=9(T，NDEC+NFEH=9(T,又;四边形A8CO是正方形AZADC=90"AZDEC+ZECD=90°,.\ZECD=ZFEHXVZEDC=ZFHE=90°,SECD^SFEHAFH=EDEH=CD=3•?AD=3/AE=1/ED=AD-AE=3-1=2/AFH=ED=2AMF=AH=l+3=4,MB=FH+CD=2+3=5【点睛】【点睛】在RtZXBFM中，bTbM'MF?=（3）分两种情况：①当点E在边AD的左侧时，过点F作FM_LBC交BC的反向延长线于点M,交DE于点N.如图3所示：国3同（2）得：^ENF=ADEC，EN=CD=3,FN=ED=7•/AE=4Z.AN=AE-EN=4-3=1AMB=AN=1FM=FN+NM=7+3=10在RMMB中由勾股定理得：FB=ylFM2+MB2=V1O2+12=VioT②当点E在边AD的右侧时，过点F作FN_LAD交AD的延长线于点N,交BC延长线于M,如图4所示：ANF=DE=1,EN=CD=3AFM=3-1=2,CM=DN=DE+EN=1+3=4ABM=CB+CM=3+4=7在RMMB中由勾股定理得：FB=>jFM2+MB2=a/22+72=5/53故bf的长为其■或本题为考查三角形全等和勾股定理的综合题，难点在于根据E点位置的变化，画出图形，注意（3）分情况讨论，难度较大，属压轴题，熟练掌握三角形全等的性质和判定以及勾股定理的运用是解题关键.（1）四边形PBCE为平行四边形，证明过程见解析：（2）见解析；（3）四边形APCE为矩形，证明过程见解析.【分析】（1）证明四边形ABCD为平行四边形,从而得BP〃CE,根据内错角相等证明AD〃PE,从而可证PE//BC,得四边形PBCE为平行四边形；（2）证明△CBPgZXACE即可证明CP=AE：（3）证明四边形APCE为平行四边形，然后根据三线合一证明NAPC=90°,可证四边形APCE为矩形.【详解】解：（1）四边形PBCE为平行四边形.证明：•••AO=3C,AD//BC,・•・四边形ABCD为平行四边形，.-.PB//EC,ZDAE=ZAEP,.*.AD//PE,.,.PE//BC,・•.四边形PBCE为平行四边形.（2）•••四边形ABCD为平行四边形,・・NB;ND,AB//CD,•.ZBAC=NACE又：ND=/BAC,•・NB:"AC,：.bc=ac,ZB=ZACE・•四边形PBCE为平行四边形，...PB=CE,在△CBP和4ACE中BP=CE ,'\zB=ZACEBC=ACAACBP^AACE.：,CP=AE.（3）四边形APCE为矩形，证明：•・¥为AB的中点，BP二AP,・♦四边形PBCE为平行四边形，ABP=CE,AAP=CEZ又••,AB//CD•.四边形APCE为平行四边形，VCB=CAtAP二BP,，CP_LAB,AZAPC=90\/.nABCD为矩形.【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形"三线合一”.熟记平行四边形的判定和矩形的判定定理，能根据题意分析得出线段与线段、角与角之间的关系，选择合适的定理是解决本题的关键.(1)见解析：(2)见解析：(3)7【分析】(1)利用等腰三角形的性质结合正方形的性质得出AF=AD,则NAFD=NADF；(2)首先得出四边形AGHN为平行四边形，可得FM=MD,进而NF=NH,ND=NH,即可得出答案；(3)首先得出△ADNg^DCP(ASA),得到PC=DN,再利用在RtaABE中，BE2+AB2=AE2,即可求出答案.【详解】(1)证明:VZABF=ZAFB,，AB=AF,・•四边形ABCD为正方形，AAB=AD,，AF=AD,AZAFD=ZADF：(2)证明：如图1所示：过点A作DF的垂线分别交DF,DH于M,N两点，VGF1DF,AZGFD=ZAMD=90%，AN〃GH,・•四边形ABCD为正方形，，AG〃NH,•.四边形AGHN为平行四边形，AAG=NH,VAF=AD,AM_LFD,AFM=MD,连接NF,则NF=ND,，NNFD=NNDF,NNFD+NNFH=NNDF+NH,AZNFH=ZHt，NF=NH,AND=NH,ADH=2NH=2AG：(3)解：延长DF交BC于点P,如图2所示:・•四边形ABCD为正方形，，AD〃BC,AZADF=ZFPE>工ZPFE=ZAFD=ZADF=ZFPE,AEF=EP=2,NDAM+NADM=NADM+NPDC,AZDAM=ZPDCt.•四边形ABCD为正方形，AAD=DC,ZADN=ZDCP,^△ADN^JADCP中'/DAN=ZPDCAD【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质、平行四边形的性质等知识，解题关键是正确把握正方形的性质.(1)见解析：(2)①见解析：②NBDG=60°:(3)Jj而【分析】（1）平行四边形的性质可得AD〃BC,AB/7CD,再根据平行线的性质和角平分线的性质证明NCEF=NCFE,根据等角对等边可得CE=CF,再根据四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形：（2）①根据已知和菱形的性质得出NBEG=120°=ZDCG,再判断出AB=BE,进而得出BE=CD,即可判断出△BEGg^DCG（SAS）②先得出NCGE=60°再由①得出ABDG是等边三角形，即可得出结论；（3）首先证明四边形ECFG为正方形，再证明△BMETZkDMC可DM=BM,ZDMC=ZBME,再|艮据NBMD=/BME+NEMD=NDMC+NEMD=90°可得至lj△BDM是等腰直角三角形,等腰直角三角形的性质即可得到结论.【详解】解：（1）证明：:AF平分NBAD,，NBAF=NDAF,•・♦四边形ABCD是平行四边形，，AD〃BC,AB//CD,，NDAF二NCEF,ZBAF=ZCFE,AZCEF=ZCFE,，CE=CF,又•四边形ECFG是平行四边形，.••四边形ECFG为菱形；（2）①•.•四边形ABCD是平行四边形，，AB〃DC,AB=DC,AD〃BC,VZABC=120°,AZBCD=60°,ZBCF=120°由（1）知，四边形CEGF是菱形，，CE=GE,ZBCG=^-ZBCF=60c,2ACG=GE=CE,ZDCG=120°,VEG〃DF,AZBEG=120°=ZDCG,•••AE是/BAD的平分线，，NDAE=NBAE,•••AD〃BC,，NDAE:NAEB,AZBAE=ZAEB,，AB=BE,，BE=CD,AABEG^ADCG（SAS）,©VABEG^ADCGABG=DG,NBGE=NDGC,【点睛】，NBGD=NCGE,VCG=GE=CE,aceg是等边三角形,AZCGE=60°,AZBGD=60°,VBG=DG,••.△BDG是等边三角形,AZBDG=60°；(3)连接BM,MC,••NABC=9(T,四边形ABCD是平行四边形，•・四边形ABCD是矩形，又由(1)可知四边形ECFG为菱形，ZECF=90°,•.四边形ECFG为正方形.VZBAF=ZDAF,ABE=AB=DC,・・M为EF中点，AZCEM=ZECM=45c,AZBEM=ZDCM=135°,在aBME和△DMC中，BE=CDNBEM=NDCMEM=CMAABME^ADMC(SAS),，MB二MD,ZDMC=ZBME./•ZBMD=ZBME+ZEMD=ZDMC+ZEMD=90°,••.△BMD是等腰直角三角形.VAB=8,AD=14,工BD=2^65，：.DM=4BD=V130此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法.
浙公网安备 33021202002483