换元法求不定积分

换元法求不定积分换元法求不定积分第一页，共66页。第一节、不定积分概念与基本积分公式第三节、有理函数和可化为有理函数的不定积分本章内容：第二节、换元积分法与分部积分法第八章不定积分第二页，共66页。二、第二类换元法第二节一、第一类换元法换元积分法与分部积分法第8章三、分部积分法第三页，共66页。第二类换元法第一类换元法基本思路设可导,则有第四页，共66页。一、第一类换元法定理1.则有换元公式(也称配元法即,凑微分法)第五页，共66页。例1.求解:令则故原式=注:当时第六页，共66页。例2.求解:令则想到公式第七页，共66页。例3....

换元法求不定积分第一页，共66页。第一节、不定积分概念与基本积分公式第三节、有理函数和可化为有理函数的不定积分本章内容：第二节、换元积分法与分部积分法第八章不定积分第二页，共66页。二、第二类换元法第二节一、第一类换元法换元积分法与分部积分法第8章三、分部积分法第三页，共66页。第二类换元法第一类换元法基本思路设可导,则有第四页，共66页。一、第一类换元法定理1.则有换元公式(也称配元法即,凑微分法)第五页，共66页。例1.求解:令则故原式=注:当时第六页，共66页。例2.求解:令则想到公式第七页，共66页。例3.求想到解:(直接配元)第八页，共66页。例4.求解:类似第九页，共66页。例5.求解:∴原式=第十页，共66页。常用的几种配元形式:万能凑幂法第十一页，共66页。例6.求解:原式=第十二页，共66页。例7.求解:原式=例8.求解:原式=第十三页，共66页。例9.求解法1解法2两法结果一样第十四页，共66页。例10.求解法1第十五页，共66页。解法2同样可证或第十六页，共66页。例11.求解:原式=第十七页，共66页。例12.求解:第十八页，共66页。例13.求解:∴原式=第十九页，共66页。例14.求解:原式=分析:第二十页，共66页。例15.求解:原式第二十一页，共66页。小结常用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3)统一函数:利用三角公式;配元方法(4)巧妙换元或配元万能凑幂法利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如第二十二页，共66页。思考与练习1.下列各题求积方法有何不同?第二十三页，共66页。2.求提示:法1法2法3第二十四页，共66页。二、第二类换元法第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法.难求，第二十五页，共66页。定理2.设是可导函数,且具有原函数,证:令则则有换元公式第二十六页，共66页。例16.求解:令则∴原式第二十七页，共66页。例17.求解:令则∴原式第二十八页，共66页。例18.求解:令则∴原式第二十九页，共66页。令于是第三十页，共66页。原式例19.求解:令则原式当x<0时,类似可得同样结果.第三十一页，共66页。小结:1.第二类换元法常见类型:令令令或令令第三十二页，共66页。2.常用基本积分公式的补充(7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换令第三十三页，共66页。第三十四页，共66页。解:原式例20.求例21.求解:第三十五页，共66页。例22.求解:原式=例23.求解:原式第三十六页，共66页。例24.求解:令得原式第三十七页，共66页。例25.求解:原式令例16第三十八页，共66页。思考与练习1.下列积分应如何换元才使积分简便?令令令第三十九页，共66页。2.已知求解:两边求导,得则(代回原变量)第四十页，共66页。3.求下列积分:第四十一页，共66页。4.求不定积分解：利用凑微分法,原式=令得第四十二页，共66页。分子分母同除以5.求不定积分解:令原式第四十三页，共66页。由导数公式积分得:分部积分公式或1)v容易求得;容易计算.三、分部积分法第四十四页，共66页。例1.求解:令则∴原式思考:如何求提示:令则原式第四十五页，共66页。例2.求解:令则原式=第四十六页，共66页。例3.求解:令则∴原式第四十七页，共66页。例4.求解:令,则∴原式再令,则故原式=说明:也可设为三角函数,但两次所设类型必须一致.第四十八页，共66页。解题技巧:把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”的顺序,前者为后者为例5.求解:令,则原式=反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数第四十九页，共66页。例6.求解:令,则原式=第五十页，共66页。例7.求解:令则∴原式=第五十一页，共66页。例8.求解:令则得递推公式第五十二页，共66页。说明:递推公式已知利用递推公式可求得例如,第五十三页，共66页。例9.证明递推公式证:注:或第五十四页，共66页。说明:分部积分题目的类型:1)直接分部化简积分;2)分部产生循环式,由此解出积分式;(注意:两次分部选择的u,v函数类型不变,解出积分后加C)例43)对含自然数n的积分,通过分部积分建立递推公式.第五十五页，共66页。例10.已知的一个原函数是求解:说明:此题若先求出再求积分反而复杂.第五十六页，共66页。例11.求解:令则原式令第五十七页，共66页。例12.求解法1先换元后分部令即则故第五十八页，共66页。解法2用分部积分法第五十九页，共66页。小结分部积分公式1.使用原则:易求出,易积分2.使用经验:“反对幂指三”,前u后3.题目类型:分部化简;循环解出;递推公式4.计算格式:第六十页，共66页。例13.求解:令则可用表格法求多次分部积分第六十一页，共66页。例14.求解:令则原式原式=第六十二页，共66页。思考与练习1.下述运算错在哪里?应如何改正?得0=1答:不定积分是原函数族,相减不应为0.求此积分的正确作法是用换元法.第六十三页，共66页。2.求提示:第六十四页，共66页。3.求不定积分解：方法1(先分部,再换元)令则第六十五页，共66页。方法2(先换元,再分部)令则故第六十六页，共66页。

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