对一道学具操作
题
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的分析与思考江西省南昌市育新学校骆文娟在一次数学操作课中，为培养学生动手操作能力，我布置了以学具操作为背景编制题目的作业，在学生的习作中，发现了一道关于量角器滑动的操作题，我将它整理成题后，经过思考，从中发现了一些有数学规律的结论•［学具操作题］:操作与探究：如图,0M丄ON于0,/NOB=30°,量角器的直径PQ=8cm,Q在0°刻度线的外端上P在180°刻度线的外端上，A是60°刻度线外端上的点,将直径PQ如图1放置在射线ON上，使P与0重合；当Q沿NO向0滑动，P随之沿射线0M滑动,当Q滑至0点时,量角器停止滑动.⑴量角器在上述滑动过程中，点A都在射线0B上运动吗？请你利用图2说明你的理由；⑵当/QPO=30°时，求A0的长度；请你继续完成下面的探索：(3)下面两小题任选一题,选①做对得3分,选②做对得4分.在量角器的上述滑动过程中，当/APO何值时，A0有最大值和最小值，并求出A0的最大值和最小值；量角器的点Q由图1的初始位置滑动到与点0重合时,称为量角器的一次“完整滑动”，求在量角器的一次“完整滑动”中，点A运行的总路程之和.N思路点拔:0NQ图2PM⑴由于：.QOP=90,则点0在以PQ为直径的圆上.补全圆.AQ为60°,二NOA=30,又I/NOB=30°•••点A在0B上运动.=43,可得OK=-P0=2力,⑵设0A.和PQ相交于K先证PQ丄0A.贝UOA=2OK.由P0=8cos30°故0A=20K=43.⑶选①当/APO=90°时,0A=8最长,当/APO=30°时,0A=4最短.选②在图1中求得FA=PQcos30°=4.3.在图3中,当/APO=90°时,0A=8最长,在图4中，当/APO=30°时，0A=4最短.点Q运动到0时,A的位置由图1到图3,再到图4.A的运行的总路径之和为(8—4,3)+(8-4)=12-43图30［思考一］:在上题中,如图5,若A是"°刻度线外端上的点，/NOB弋)其它条件不变,0则在量角器的一次“完整滑动”中，求点A运行的总路程之和.思路点拔：在量角器的一次“完整滑动”中，A都在射线0B上运动，当/APO=90°时,0A=8最长,当Q滑至0点,直径PQ在射线0M上时，/APO=(-)°2OA=8sin(n)°最短.2A在初始位置时，OA=8cos(n)°2A的运行总路径之和为[8—8cos(n)°]+[8—8sin(卫)22=16-8cos（；）°—8sin（；）°.结论：在量角器的一次“完整滑动”中，量角器n刻度线外端上的点总在一条对应的固定直线上运动；这点运行的的总路程之和为：量角器的直径长的2倍与这点到直径两端点距离和的差，即：16-8cos(n)°—8sin(—)°.22［思考二］:把量角器换成含30°的直角三角尺，会有什么结论呢？操作与探究：如图6,在平面直角坐标系中，含30°的直角三角尺的斜边AB在y轴的正半轴上，直角边AC在射线0P上，且顶点A与原点重合.已知AB=c,ZB=30°,当顶点A从原点0沿x轴的正方向滑动时，顶点B也同时沿y轴向原点0移动，待B与0重合时，直角三角尺滑动结束，直角三角尺的点B由图6的初始位置滑动到与点0重合时，称为直角三角尺的一次“完整滑动”.问在直角三角尺的一次“完整滑动”过程中，顶点C是否总在射线0P上运动？若在，请加以证明，并求出它一次“完整滑动”过程所运行的总路程之和；若不在，请说明理由.思路点拔：在图6中可求出直线OP的解析式为y二——x.3在图8中设C(m,n),作CG丄x轴于G,CM丄y轴于M.则CG=n,CM=m.CG易证△BMCAGC,得CMc，可得―2,m<3c2J3J3则nm,得C(m,m),故点C在始终在直线OP上运动.33当CA丄x轴时，此时四边形OACB是矩形，OC=AB=c最长，当顶点B和原点0重合时，斜边AB落在x轴上，OC=-^c最短.2在图6中则的顶点0C=C,2C在一次“完整滑动”过程所运行的总路程之和为(c-；)V33更(cc)cc222结论：含30°的直角三角尺的斜边长为G在一次“完整滑动”中，直角顶点始终在一条对应的固定直线上运动；直角顶点所运行的总路程之和为：斜边长的2倍与两直角边的和的差，即：3c_3c.22［思考三］:把含30°的直角三角尺换成一个任意的直角三角形，又会有什么结论呢？操作与探究：如图9,在平面直角坐标系中，直角三角形的斜边AB在y轴的正半轴上，直角边AC在射线0P上，且顶点A与原点重合.已知AC=b,BC=a,AB=C,当顶点A从原点0沿x轴的正方向滑动时，顶点B也同时沿y轴向原点O移动，待B与O重合时，直角三角形滑动结束，直角三角形的点B由图9的初始位置滑动到与点O重合时，称为直角三角形的一次“完整滑动”.问在直角三角形的一次“完整滑动”过程中，直角顶点C是否总在射线OP上运动？若在，请加以证明，并求出它一次“完整滑动”过程所运行的总路程之和；若不在，请说明理由•思路点拔：与上题思路相同，.设C设C(m,n),作CG丄xa轴于G,CM丄y轴于M.K则CG=n,CM=m.易证△BMCagc,可得C(m,m)则C在始终在直线OP上运动.a同理可得顶点C在一次“完整滑动”过程所运行的总路程之和为(c-b)(c_a)=2c-a-b.结论：两直角边分别是a和b，斜边是c的直角三角形，在一次“完整滑动”过程中，直角顶点始终在一条固定的直线上运动；直角顶点所运行的总路程之和为：斜边长的2倍与两直角边的和的差，即：2c-a-b.[思考四]：对教学的启示.数学操作与数学实验活动中,归纳、类比、想象、猜测等思维方式能得到很好的培养；能使学生了解数学活动的基本过程,有利于增进对数学活动与数学方法的理解,提升学生的数学素养；对发展学生合情思维,培养学生的推理反驳能力与评判性思维有一定的作用.在教学中充分运用直尺、三角尺、量角器等学习用具的直观和易操作性来把握基本图形，巩固对于四边形、圆、解直角三角形等基础知识的掌握程度,提高学生数形结合、运动变化等思维能力,训练学生运用所学知识进行分析、综合、判断的能力,培养学生思维的严谨性及推理能力；多鼓励学生运用学具观察、探索、思考、编制题目,在他们有好的猜想时,给于鼓励与合作,并对猜想进行证明,激发学生的学习兴趣和求知欲望,体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性和数学结论的确定性,形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯；在碰到一些用直尺、三角板、量角器等学具编制的题目时,指导学生积极动手操作,探索较为复杂图形之间的边角关系,将抽象的题目变为具体的有感觉的题目,让学生感受到生活之中处处有数学,体验数学的奇妙之处.(4)在教学的过程中,让题成为教师的朋友.题的八个维度：看题，做题，选题，组题，讲题，编题，研题，评题.先要做题，知道关键――修炼内功；次将题目分类，同类题中将题目分层――分类理顺；后比较、观察题目之间的内在联系――比较研究；最后总结出带规律性的东西来――总结提炼；精选题目，将题目分组――回归应用；让学生经历自己相类似的发现过程――指导促进。手机:13697088115邮箱地址：HYPERLINK"mailto:juan9888@126.c0m"juan9888@126.c0m
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