6.3.1平面向量基本定理1.理解平面向量基本定理及其意义；2.会用基底表示平面内某一向量；3.通过学习平面向量基本定理，让学生体验数学的转化思想，培养学生发现问题的能力。1.教学重点：平面向量基本定理及其意义；2.教学难点：平面向量基本定理的探究。1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，实数λ1，λ2，使a＝．2．基底：不共线的向量e1，e2，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．一、探索新知探究：如图6.3-2（1），设SKIPIF1<0是同一平面内两个不共线的向量，SKIPIF1<0是这一平面内与SKIPIF1<0都不共线的向量，如图6.3-2（2），在平面内任取一点O，作SKIPIF1<0将SKIPIF1<0按SKIPIF1<0的方向分解，你有什么发现？思考1.若向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，SKIPIF1<0还能用SKIPIF1<0表示吗？思考2.当SKIPIF1<0是零向量时，SKIPIF1<0还能用SKIPIF1<0表示吗？思考3.设SKIPIF1<0是同一平面内两个不共线的向量，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是否唯一？平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，实数λ1，λ2，使a＝．。例1.如图，SKIPIF1<0不共线，且SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0。思考：观察SKIPIF1<0你有什么发现？例2.如图，CD是SKIPIF1<0的中线，SKIPIF1<0，用向量方法证明SKIPIF1<0是直角三角形。2.平面向量基本定理及其补充说明：如果SKIPIF1<0是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量SKIPIF1<0，有且只有一对实数SKIPIF1<0，使。我们把SKIPIF1<0叫做表示这一平面内所有向量的一个基底。说明：(1).基底的选择是不唯一的；(2).同一向量在选定基底后，SKIPIF1<0是唯一存在的。(3).同一向量在选择不同基底时，SKIPIF1<0可能相同也可能不同1．已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是( )A．eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→)) B．eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))C．eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))D．eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))2．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是( )A．不共线B．共线C．相等D．不确定3．如图，在矩形ABCD中，若eq\o(BC,\s\up6(→))＝5e1，eq\o(DC,\s\up6(→))＝3e2，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝( )A．eq\f(1,2)(5e1＋3e2)B．eq\f(1,2)(5e1－3e2)C．eq\f(1,2)(3e2－5e1)D．eq\f(1,2)(5e2－3e1)4．已知A，B，D三点共线，且对任一点C，有eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，则λ＝( )A．eq\f(2,3)B．eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3)D．－eq\f(2,3)5．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c.这节课你的收获是什么？参考答案：探究：如图，SKIPIF1<0思考1.当向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线时，SKIPIF1<0。当向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线时，SKIPIF1<0。思考2.SKIPIF1<0思考3：假设SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0唯一。例1.解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0思考4.如果SKIPIF1<0三点共线，点O是平面内任意一点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0。例2.证明：设SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0。于是SKIPIF1<0是直角三角形。达标检测1.【解析】 由于eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))不共线，所以是一组基底．【答案】 D2.【解析】 ∵a＋b＝3e1－e2，∴c＝2(a＋b)，∴a＋b与c共线．【答案】 B3.【解析】 eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(5e1＋3e2)．【答案】 A4.【解析】 ∵A，B，D三点共线，∴存在实数t，使eq\o(AD,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→))，则eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝t(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))，即eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋t(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))＝(1－t)eq\o(CA,\s\up6(→))＋teq\o(CB,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－t＝\f(4,3)，,t＝λ，))即λ＝－eq\f(1,3).【答案】 C5.【解】 ∵a，b不共线，∴可设c＝xa＋yb，则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2.又∵e1，e2不共线，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－2y＝7，,－2x＋y＝－4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2，))∴c＝a－2b.
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