圆锥曲线离心率问题

圆锥曲线的离心率问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数a,c之间的联系。一、基础知识：c1、离心率公式：e（其中c为圆锥曲线的半焦距）a（1）椭圆：豪[0,1（2）双曲线：ed1,+：：2、圆锥曲线中a,b,c的几何性质及联系（1）椭圆：a2=b2•c2，2a:长轴长，也是同一点的焦半径的和：PF-iPF2=2a2b:短轴长2c:椭圆的焦距（2）双曲线:c2=b2-a22a:实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值：[PR—PF2|=2a2b:虚轴长2c:椭圆的焦距3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数a,b,c的比例关系（只需找岀其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a有关，另一条边为焦距。从而可求解（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用a,b,c进行 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示，再利用条件列出等式求解2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用a,b,c表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可（3）通过一些不等关系得到关于a,b,c的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：e0,1，双曲线：er1,+：：、典型例题:22Xy例1：设F1,F2分别是椭圆2ab.0的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段abPFi的中点在y轴上，若PF1F2=30"，则椭圆的离心率为（）TOC\o"1-5"\h\zHYPERLINK\l"bookmark39"\o"CurrentDocument".3、311A.B.C.D.-HYPERLINK\l"bookmark41"\o"CurrentDocument"3636思路：本题存在焦点三角形LPF1F2，由线段PF1的中点在y轴上，O为F1F2中点可得PF2//y轴，从而PE丄FE，又因为NPF1F2=30’，则直角 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ：A2ca2a证|3〔PF」PF2「3小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意O为f1f2中点是一个隐含条件，如果图中存在其它中点，则有可能与o搭配形成三角形的中位线。22例2:椭圆L2=10::：b：：2、3与渐近线为x_2y=0的双曲线有相同的焦点12b2F1,F2,P为它们的一个公共点，且NF1PF2=90,则椭圆的离心率为思路：本题的突破口在于椭圆与双曲线共用一对焦点，设F1F^2c，在双曲线中，b=丄=a':b':c=2:1:、、5，不妨设P在第一象限，则由椭圆定义可得：a2PF1PF2=4-.3，由双曲线定义可得:PFr_PF2=2a=4c，因为F1PF2二90"，PF12+pf222=4c2而PF1+PF22*2(PF1+PF2)+(PR-PF2)2代入可得：4816c.8c2y0.e壬305a6答案:306三角形LPF1F2中，|PFj:|PF2|:|F1F2^2:1^/3，且2a=|PF」+冋』,2。=|证|，所小炼有话说：在处理同一坐标系下的多个圆锥曲线时，它们共同的要素是联接这些圆锥曲线的2ab—22，a-bi汽2abcy_3a2-b22abcorjb2桥梁，通常以这些共同要素作为解题的关键点例3:如图所示，已知双曲线22xy22=1ab0的右焦点为F，过F的直线I交双曲线ab的渐近线于a,b两点，且直线I的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，若AF=2FB，则该双曲线的离心率为()A.^1b.^C.^D.^4352思路：本题没有焦半径的条件，考虑利用点的坐标求解，则将所涉及的点坐标尽力用a,b,c表示,再寻找一个等量关系解岀a,b,c的关系。双曲线的渐b近线方程为y=士一x,由直线I的倾斜角是渐近a2b线OA倾斜角的2倍可得：kg=—a2a2ab确定直线I的方程为y-二2x-c，与渐近a-b线联立方程得2abc2abc将AF=2FB转化为坐 标语 宣传标语下载抗洪救灾标语防溺水标语工程质量标语开学标语 言，则yA二-2yB，即:2=2:2解得a+b3a-ba:b:c『3:1;从而e=2V33答案：B例4:设F"F2分别为双曲线2x2a2-y2=1(a0,b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点b9得|PF-f||PF2^3b,|PF|||PF2|ab,则该双曲线的离心率为4459A.B.—C.—D.3334思路：条件与焦半径相关，所以联想到||PFf-PF2||=2a，进而与9IPFf||PF2^3b,|PFf||PF2|ab,找到联系，计算岀a,b的比例，从而求得e4解：TUP%—IPF2II=2a2222即9b-4a=9ab=9b-9ab-4a=0.9\-—9卫-4=0解得：-=-1(舍)或-TOC\o"1-5"\h\zla丿aa3a3答案：B22例5:如图，在平面直角坐标系xOy中,xyA-i,A2,B-i,B2为椭圆—22~1(ab0)的四个HYPERLINK\l"bookmark27"\o"CurrentDocument"ab顶点，F为其右焦点，直线AB?与直线BiF相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为.fij7小O思路：本题涉及的条件多与坐标有关，很难联系到参数的几何意义，所以考虑将点的坐标用a,b,c进行表示，在利用条件求出离心。首先直线A1B2,B-F的方程含a,b,c，联立方程后交点T的坐标可用a,b,c进行表示（T），贝yOT中点>a—ca—c/M丨兰J,b（才C，再利用M点在椭圆上即可求岀离心率e>a—c2（a_c）jXy解：直线ab2的方程为：1；-ab亠、xy,、bx—ay=—ab直线B1F的方程为：1，联立方程可得：c-b3-bx=-bc解得：t(込，^^)，a—ca—c22则M(-^,b(ac))在椭圆笃每=1(ab0)上,a-c2(a-c)a2b2解得：e=2、、7-5答案：e=2.7-522xy例6:已知f是双曲线——=1a0,b0的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F且ab垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为（）A.1,B.1,2C.1,1、、2D.2,1、、2思路：从图中可观察到若Labe为锐角三角形，只需要.AEB为锐角。由对称性可得只需0-即可。且AF,FE均可用a,b,c表示，AFI4丿AFtanAEFAFb2FE2::1一一—:::1二aac2c-a口：：1=e：2，即e1,2a答案：B小炼有话说：（1）在处理有关角的范围时，可考虑利用该角的一个三角函数值，从而将角的问题转变为边的比值问题（2）本题还可以从直线AE的斜率入手，E（a,0）,A-c,一，利用kAE€（_1,0）即可求岀离心率2x例7:已知椭圆2a2丄b2=1ab0的左、右焦点分别为Fi-c,0,F2c,0,若椭圆上存在点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为（）sinZPF1F2sin.乙PF2R思路：•PF1F2rPF2F1为焦点三角形LPF1F2的内角，且对边为焦半径PF2,PF1，所以利用正弦定理对等式变形:sinZPF2F1c—HYPERLINK\l"bookmark156"\o"CurrentDocument"—―乂——sinPF|F2sinPF2RsinPF1F2a田仝，再由aPF2PF2PFi题意，P=2a解得:2a2a-c-acPF22a2，再利用焦半径的范围为ac所以焦半径取不到a-c,a•c可得（由于依边界值a-c,a，c）2a2：：ac2：：222a2cc2¥e2e2-2，解得e匕（J2—1,1）102x例8:已知是椭圆a答案：D2•£=1ab0的左右焦点，若椭圆上存在点P，使得bB窗D.声＞丿I2丿15一12一PF1_PF?，则椭圆离心率的取值范围是（）A.思路一：考虑在椭圆上的点P与焦点连线所成的角中，当P位于椭圆短轴顶点位置时,f1pf2考虑该角与a,b,c的关系，由椭圆对称性可知，tanZOPF2of2c22221，即c_b=c_b=c-aOPbeZOPF2=222c-c，进而二a-451—一即2e21>——?2达到最大值。所以若椭圆上存在PF1_PF2的点P，则短轴顶点与焦点连线所成的角，再由e0,1可得e肓,1思路二：由P&_PF2可得.F1PF2=90，进而想到焦点三角形F_!PF2的面积：Sf1Pf2=b2tan—=b2，另一方面：1SRPF2亍F1Fyp=cypb2yP=—b.2平方变形后可得:5c2-4ac0-a217c20-25e-4e0e2丄I17e4,15，6、答案：口4解析：设切线AC的方程为y=匕x-ma，切线BD的方程为y=k2x•mb，联立切线AC与内层椭圆方程，得y=1k-xmab2xy，2a所.22.2bak-j23i224222x-2mak1xmak1-ab0，2b1由人=0可得：k1，同理am-1k；m2-1，所以kfk；答案:D7、22a=1=a:b:c=1:1:、一2，从而8、答案：A解析：由双曲线可知MF2||MF1=6MF“=2a，所以MRa，因为点MF<）亠c-a,a即c-a，所以339、答案：一2解析：由C1方程可得其渐近线方程为与抛物线联立可解得交点2pb2a2),b(3a啤)a占八、、2pb2p4b22-a4ab,由AF—0B及koB--,可得:a4b2-a24ab即4b2_a2=4a2=b2:a2=5:4，从而c2:a2=9:4，所以解析：设椭圆半长轴长为10、答案：Aai，双曲线半实轴长为a2，椭圆，双曲线离心率分别为ei,e>不妨设P在第一象限由双曲线与椭圆性质可得:Ph+PF=2a1,PF<|—PF2=2a?222由余弦定理可得：F1F2=|PF,|+|PF2—2PF』PF2COSRPF2代入|PFj2+|PF22=舟[(呼|+|PF2$+(|PF,|—PF2|i]=2(a2+a；)PF1圧T(|PFi|+|PF2|)2—(PFi|—PF?)]=af-af可得：1113PP由柯西不等式可得：4二-•飞=2+孚-e2e211311答案：专解析：双曲线的渐近线方程为：y二_bx，分aHx=3y-m事=3y-m别联立方程：b,b可解得:|y=—xy=__xLaLaAB中点Dma23mb2^.22，c」22(9b-a9b-a