梯形常用辅助线的做法

梯形常用辅助线的做法常见的梯形辅助线基本图形如下:延长两腰等腰梯形直角梯形平移」条对角线作梯形的中位线过梯形一腰的中点构造全等三角形平移梯形的腰利用一腰中点旋转将梯形补成平行四边形将梯形补成奪腰梯形1•平移梯形一腰或两腰，把梯形的腰、两底角等转移到一个三角形中，同时还得到平行四边形.【例1】已知：如图,在梯形ABCD中，肿"CD"二6”虫口二恥二DC.求证:血=2CD 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 :平移一腰BC到DE,将题中已知条件转化在同一等腰三角形中解决，即AB=2CD.证明：过D作DEH，交AB于E.•・•AB平行于CD，且BC=DC,・•・四边形D眩是菱形.DE=BC=AD•又“二60°・•・2血为等边三角形..・・应=DE又DE=EB=CDAE=EB=CD•・=••・【例2】如图,在梯形ABCD中,AD〃BC,E、F分别是AD、BC的中点，若=.AD=7,BC=15,求EF.分析：由条件=，我们通过平移AB、AEDDC；构造直角三角形MEN，使EF恰好是△MEN的3MF⑴匚中线.解：过E作EM〃AB,EN〃DC，分别交BC于M、N,・.・NE+NC二兀13,AMEN是直角三角形，•/AD=1BC=15，，•：E、F分别是、配的中点,E^=-MN=4:・F为⑼的中点，A变式：如图1,梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。图1梯形鸥專的面积相等.求证：丄"十恥2二站刖.析解：过点B作BM//AD交CD于点M,则梯形ABCD转化为ABCM和平行四边形ABMD。在△BCM中，BM=AD=4，CM=CD-DM=CD-AB=8-3=5,所以BC的取值范围是：5—4〈BC〈5+4,即1〈BC〈9。延长梯形的两腰，使它们交于一点，可得到两个相似三角形或等腰三角形、直角三角形等进一步解决问题.【例3】.如图，在梯形血皿中，肚卩犯，貯卩眈，梯形血閃的面积与分析：条件是两个梯形的面积相等，而结论是三线段长的平方关系，如果延长两腰交于一点,就可得到三个相似的三角形，再利用相似三角形的面积比与相似比的关系变形就可得出结论.证明：延长型、GD使它们相交于。点,EdOEF_心QAD呂趣Fsf2-ad2__皆__AEFIf二EF~^dQADEF^-AD1Ep^dQSFb_bc2-ef2b同理g囲-一丽F話7-守•/故得护—aF=昨—护AEP^tBC2=2EF2•变式1：如图5,在梯形ABCD中，AD//BC,ZB=50°,ZC=80°,AD=2,BC=5，求CD的长。析解：延长BA、CD交于点E。在厶BCE中，ZB=50°,ZC=80°。所以ZE=50。，从而BC=EC=5同理可得AD=ED=2所以CD=EC—ED=5—2=3变式2：如图所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC,AC=BD,AD=BC.判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论.变式3：（延长两腰）如图，在梯形曲加中,=E、F为血、UQ的中点。从梯形上底的两端向下底引垂线作高,可以得到一个矩形和两个直角三角形•然后利用构造的直角三角形和矩形解决问题.例4.如图，在梯形血⑶中严刊C0AD二眈.求证：幺平分析:过上底向下底作两高，构造Rt△，然后利用两三角形全等解决问题.证明：分别过D、C、作AB的垂线，垂足分别为E、F.・.•為心•90CTOC\o"1-5"\h\z・・・DEYF./：；\A£ZAfEG,・就况DAE◎皿M■•.变式：如图7,在直角梯形ABCD中，AB//DC,ZABC=90°,AB=2DC，对角线AC丄BD，垂足为F,过点F作EF//AB，交AD于点E,求证：四边形ABFE是等腰梯形。ftC析证：过点D作DG丄AB于点G,贝煬知四边形DGBC是矩形，所以DC=BG。因为AB=2DC，所以AG=GBO从而DA=DB，于是ZDAB=ZDBAo又EF//AB，所以四边形ABFE是等腰梯形。E如图8,在梯形ABCD中，AD为上底，AB>CD，求证：BD〉AC。析证：作AE丄BC于E,作DF丄BC于F,则易知AE=DF。在RtAABE和RtADCF中，因为AB〉CD,AE=DFO所以由勾股定理得BE>CFo即BF>CE。在RtABDF和RtACAE中由勾股定理得BD>AC平移对角线一般是过上底的一个端点作一条对角线的平行线,与另一底的延长线相交，得到一个平行四边形和三角形，把梯形问题转化为平行四边形和三角形问题解决.【例5】.如图，等腰梯形血皿中，曲丹口口，肿，且AC.LBC，□丹是高，血是中位线,求证：刚二.MN=-（CE）+AB'）分析：由梯形中位线性质得，欲证临二⑶，只要证CH=-{CD-^AB}.过U点作©咼应，交丿月的延长线于也，就可以把、□刃和血移到三角形且中，再证明等式成立就简单多了.边形.・・・恥二肋，EC=BD证明：过U点作交丿月的延长线于点也，则四边形口眩是平行四•・•四边形宓D是等腰梯形,S竝.・.AC=EC又・.・皿丄舶，.・・恥丄仙-AE=AB^BE=AB^CD又严岂唇①，：网【例6】.已知：如图，在梯形血中，朋ZD,M=ED.求证：梯形血UD是等腰梯形.证明：过D作屈心，交ba延长线于E.则四边形DEAC是平行四边形.・DE=••・.・・/应=^DBA又Z竝二山,ZDBA=ZCAB于是，可得AZM5三ACZL4AD=BC•・•・梯形ABCD是等腰梯形.变式1：如图3,在等腰梯形ABCD中，AD//BC,AD=3,BC=7,BD=5込，求证：AC丄BD。图3析解：过点C作BD的平行线交AD的延长线于点E,易得四边形BCED是平行四边形，则DE=BC,CE=BD=5込，所以AE=AD+DE=AD+BC=3+7=10。在等腰梯形ABCD中，AC=BD=5込,所以在△ACE中，AC2+CE2=(5迈)2+(5^2)2=100=AE2，从而ACICE，于是AC丄BD。变式2：(平移对角线)已知梯形ABCD的面积是32,两底与高的和为16,如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为变式3:如图4,在梯形ABCD中，AD//BC,AC=15cm,BD=20cm,高DH=12cm，求梯形ABCD的面积。析解：过点D作DE//AC，交BC的延长线于点E,则四边形ACED是平行四边形，即S=S=S。AABDAACDADCE所以S梯形ABCDADBE由勾股定理得EH=\：DE2—DH2=JAC2—DH2“152—122二9(cm)BH=PBD2—DH2=.202—122=16(cm)所以S=-BE-DH=-x(9+16)x12=150(cm2)，即梯形ABCD的面积是150cm2。ADBE22遇到梯形一腰中点的问题可以作出梯形的中位线，中位线与上、下底都平行，且三线段有数量关系.或利用“等积变形”,连结梯形上底一端点和另一腰中点,并延长与下底延长线交于一点，构成三角形解决问题.【例7】.已知：如图4,在梯形血⑶中，肋办舵卫是仞的中点，且AE丄跖.求证：=证明：取丿月的中点F,连结FE.则AD-^-BC=2EF・・么肪=90°•，:.AA2EF.AD^BC^AH•【例8】.已知：梯形ABCD中ADBC,E为AB中点，且AD+BC二DC,求证:DE丄EC,DE平分ZADC,CE平分ZBCD.证法1：取DC中点F,连结EF,E为AD中点，则EF为梯形的中位线1・・・EF〃AD〃BCEF=5(AD+BC)AZ1=Z5,Z3=Z6・DC二AD+BC1・・・EF=§DC=DF=CFAZ1=Z2,Z3=Z4AZ2=Z5,Z4=Z6AZ1+Z3+Z2+Z4=180°・・・Z1+Z3=90°・・・DE丄C,DE平分ADC,CE平分ZCD证法2：延长CE与DA延长线交于一点F,过程略.证法3：在DC上截取DF=AD，连结AF、BF、EF解决.变式1：如图9,在梯形ABCD中，AB//DC,0是BC的中点,ZA0D=90°,求证：AB+CD=AD。IfC图9析证：取AD的中点E,连接0E,则易知0E是梯形ABCD的中位线，从而0E=1（AB+CD）2①在厶AOD中，ZA0D=90°,AE=DE所以OE1AD②2由①、②得AB+CD=ADO变式2：在梯形ABCD中，AD〃BC,ZBAD=90o,E是DC上的中点，连接AE和BE,求ZAEB=2ZCBEo解、分析：分别延长AE与BC，并交于F点，从而等到△ADE与厶FCE是全等的，在利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半就可以求出结论”DA居FCB解：分别延长AE与BC，并交于F点•?ZBAD=90o且AD〃BC.\ZFBA=180o-ZBAD=90o又VAD#BC••・ZDAE=ZF（两直线平行内错角相等）ZAED=ZFEC（对顶角相等）DE=EC(E点是CD的中点).•.△ADE^AFCE(AAS)・•・AE=FE在AABF中ZFBA=900且AE=FE・•・BE=FE(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)・•・在AFEB中ZEBF=ZFEBZAEB=ZEBF+ZFEB=2ZCBE6.已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线。［例10］如图10,在梯形ABCD中，AD//BC,E、F分别是BD、AC的中点，求证：(1)EF//AD；(2)EF=1(BC-AD)。2BCC图10析证：连接DF,并延长交BC于点G,易证△AFD9ACFG则AD=CG,DF=GF由于DE=BE,所以已卩是厶BDG的中位线从而EF//BG,且EF=ZbG2因为AD//BG,BG=BC-CG=BC-AD所以EF//AD,EF=1(BC—AD)27.当遇到以上的梯形辅助线添加后不能解决问题时，可以特题特解，结合具体问题中的具体条件，寻求特殊的方法解决问题•比如可将对角线绕中点旋转匹护、利用一腰中点旋转1禿、将梯形补成平行四边形或三角形问题.【例9】.已知：如图5,在梯形ABCD中严但趕m、N分别是BD、AC的中点•求证：证明：连结并延长且M，交眈于E.则拥血三曲拓.AM=MEfAD=BE•又N是AC的中点，M14=-ECBC=-(BC-AD)故取一腰的中点，连结顶点和这个中点并延长与对边的延长线相交,可得两个全等三角形.为4D中点，求证：AB-DC=BCDC【例10】.如图,梯形血CQ中，心，饰、班分别平分和ZB,E分析:要证明AB^DC=BC，可以利用也为AD中点，延长GE与血的延长线交于刀，心E士AAFE,得到CD=FA，再证明EC=BF即可.证明：延长他、型交于点月F,显然ADCFhAAFE.又・.・ZBCD^£CBA=180°ZDCE=AECBZCBE=£EBAZCBE^ZBCE=90c・ZCEB=90c•，・•:謹是线段QF的垂直平分线.EC=EF=BA^AP・BC=BA+CD•，••・评注：添加辅助线后，沟通了配、型与GD的联系，由线段垂直平分线性质得出BC=BF，从而问题获得解决.利用一腰中点旋转1和°【例11】.已知：如图，在梯形血CQ中,肚"配』D+眈二是cd的中点.求证：貝用丄朋.证明：延长AE、BC相交于点F.易证山应□三hFEC.：.ADYFAE=EF…AD^BC=AB•，：.CF+£U二曲即BF=BA.：・BE是等腰^BAF底边上的高.说明：在图5中，的E相当于由心卫胚4绕点e旋转1旳口得到；在图6中上换是由△门鸥绕点e旋转辽护得到.【例12】•如图，梯形朋CD中，⑹CD，嚴为腰加的中点，求证:口=_'7Q山1迈-棣輕型爼FABEDC证明：延长型，使曲二UD，延长加，使DE=AB，则四边形分析：曲胚0与梯形ABCD的面积关系不明显,如果利用梯形助特点把它补成如图7的平行四边形，它们之间的关系就清晰了.梯形补成平行四边形，各种关系明显、直观，解题思路清晰.BCEF是平行四边形.尸为肋1的中点，连结，卩M与肋交于点皿.7-1■?-17一连结普、皿，则—㊁平斤四边应鈿妝r—2平亓四妙用ECEF~•:临*蠱吕，加是配中点，・・・“为AD中点且是中点..••四边形』皿0是平行四边形,【模拟试题】若等腰梯形的锐角是60°,它的两底分别为1lcm,35cm,则它的腰长为cm.如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD〃BC,ZB=60°,AD=2,BC=8,则此等腰梯形的周长为（）A.19B.20C.21D.22C如图所示，AB〃CD,AE丄DC，AE=12,BD=20,AC=15，则梯形ABCD的面积为（）A.130B.140C.CC如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知AD〃BC，对角线AC与BD互相垂直，且AD=30,BC=70，求BD的长.如图所示，已知等腰梯形的锐角等于60°，它的两底分别为15cm和49cm,求它的腰长.如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD〃BC,AC丄BD，AD+BC=10,DE丄BC于E,求DE的长.C7.如图所示，梯形ABCD中，AB〃CD,ZD=2ZB,AD+DC=8,求AB的长.&如图所示，梯形ABCD中，AD〃BC,（1）若E是AB的中点，且AD+BC=CD，则DE与CE有何位置关系？（2）E是ZADC与ZBCD的角平分线的交点，则DE与CE有何位置关系？CAn【课后演练】1（本小题满分5分）已知：如图，梯形ABCD中，AD〃BC,AB=DC,ZBAD、ZCDA的平分线AE、DF分别交直线BC于点E、F.求证：CE=BF.2.如图，在梯形ABCD中，AD〃BC,BD=CD,ZBDC二90°,AD二3,BC二8.求AB的长.3.如图6,在梯形ABCD中，AD〃BC,ZA二90°,ZC二45°,DE=EC,AB=4,AD=2,求BE的长.4.如图，在平面直角坐标系中，A（2叮3,0）,B（2J3,2）.把矩形OABC逆时针旋转30°得到矩形OABC.111⑴求B1点的坐标;⑵求过点（2,0）且平分矩形OA1B1C1面积的直线1方程;⑶设⑵中直线1交y轴于点P，直接写出APCO与APBA的面积和的值及APOA1与APBC的面积差的值.—iBCi,c\\\-1Bi—A_亠OA备用图5.如图，矩形纸片ABCD中，BC=4,AB=3,点P是BC边上的动点（点P不与点B、C重合）.现将△PCD沿PD翻折，得到△PC'D；作ZBPC'的角平分线，交AB于点E.设BP=x,BE=y则下列图象中,能 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示y与x的函数关系的图象大致是6.已知：如图，梯形ABCD中，DCHAB，AD=BC，对角线AC.BD交于点0,ZCOD=60°,若CD=3，AB=8，求梯形ABCD的高.7.已知如图，直角梯形ABCD中，AD〃BC,AB丄BC,AD=2,BC=DC=5,点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，AAPD中边AP上的高为.8如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，动点P从点B出发，沿路线BTcTD作匀速运动，那么△ABP的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象大致是y10题29.如图，在四边形ABCD中，AC平分ZBAD,BC二CD二10，AB二21，AD二9.求AC的长.10如图，直线l:y二x+1与直线l:y=mx+n相交于点P(1,b).12求b的值；p十1,不解关于x,y的方程组(尹二和;y+出，请你直接写出它的解；直线l:y=nx+m是否也经过点P?请说明理由.11.已知：关于x的一元二次方程(m-l)x2+(m-2)x-1=0(m为实数)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；12.已知：如图，直线y=+2j3与x轴、y轴分别交于点A和点B，D是y轴上的一点，若将△DAB沿直线DA折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，求直线CD的解析式.yCx14.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，BD丄DC,ZC=60°，AD=4，BC=6，求AB的长.15.已知：如图，在梯形ABCD中，AD〃BC,ZB=45°,ZBAC=105°,AD=CD=4.求BC的长.16.已知：将函数y二彳x的图象向上平移2个单位，得到一个新的函数的图像.求这个新的函数的解析式；若平移前后的这两个函数图象分别与y轴交于O、A两点，与直线x=_爲交于C、B两点.试判断以A、B、C、O四点为顶点的四边形形状，并说明理由；11111111.十O-■x■17如图，在梯形ABCD中，AB〃DC,DB平分ZADC，过点AZBDC=30°，AD=3求CD的长.D