黄冈中学初中数学与高中数学衔接紧密的知识点95页

初中数学与 高中数学 高中数学选修全套教案浅谈高中数学教学策略高中数学解析几何题型高中数学10种解题方法高中数学必修4知识点 连结亲密的 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 绝对值：⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。a(a0)⑵正数的绝对值是他自己，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即a0(a0)a(a0)⑶两个负数比较大小，绝对值大的反而小⑷两个绝对值不等式:|x|a(a0)axa；|x|a(a0)xa或xa2乘法公式：⑴平方差公式：a2b2(ab)(ab)⑵立方差公式：a3b3(ab)(a2abb2)⑶立方和公式：a3b3(ab)(a2abb2)⑷完好平方公式：(ab)2a22abb2，(abc)2a2b2c22ab2ac2bc⑸完好立方公式：(ab)3a33a2b3ab2b3分解因式：⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。一元一次方程：⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。⑶关于方程axb解的谈论①当a0时，方程有唯一解xb；a１②当③当a0，b0时，方程无解a0，b0时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。二元一次方程组：1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。不等式与不等式组（1）不等式：①用符不等号（>、≠、<）连结的式子叫不等式。②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。③不等式的两边都乘以也许除以一个正数，不等号方向不变。④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。2）不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。③求不等式解集的过程叫做解不等式。3）一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。4）一元一次不等式组：①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。7一元二次方程：ax2bxc0(a0)①方程有两个实数根b24ac00②方程有两根同号x1x2c0a0③方程有两根异号x1x2c0a④韦达定理及应用：x1x2b,x1x2caax12x22(x1x2)22x1x2,x1x2(x1x2)24x1x2b24acaax13x23(x1x2)(x12x1x2x22)(x1x2)(x1x2)23x1x2２函数1）变量：因变量，自变量。在用图象表示变量之间的关系时，平时用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。（2）一次函数：①若两个变量y,x间的关系式能够表示成ykxb（b为常数，k不等于0）的形式，则称y是x的一次函数。②当b=0时，称y是x的正比率函数。（3）一次函数的图象及性质①把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。②正比率函数y=kx的图象是经过原点的一条直线。③在一次函数中，当k0，bO，则经2、3、4象限；当k0，b0时，则经1、2、4象限；当k0，b0时，则经1、3、4象限；当k0，b0时，则经1、2、3象限。④当k0时，y的值随x值的增大而增大，当k0时，y的值随x值的增大而减少。（4）二次函数：①一般式：yax2bxca(xb)24acb2(a0)，对称轴是xb,2a4a2a2极点是（－b,4acb)；2a4a②极点式：ya(xm)2k(a0)，对称轴是xm,极点是m,k；③交点式：ya(xx1)(xx2)(a0)，其中（x1,0），（x2,0）是抛物线与x轴的交点（5）二次函数的性质①函数yax2bxc(a0)的图象关于直线xb对称。b2ab②a0时，在对称轴（x）左侧，y值随x值的增大而减少；在对称轴（x2a）右侧；y2a的值随x值的增大而增大。当xb时，y获取最小值4acb22a4a３③a0b）左侧，y值随x值的增大而增大；在对称轴（xb时，在对称轴（x）右侧；y2a2a的值随x值的增大而减少。当xb4acb2时，y获取最大值2a4a图形的对称1）轴对称图形：①若是一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。②轴对称图形上关于对称轴对称的两点确定的线段被对称轴垂直均分。（2）中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，若是旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心均分。10平面直角坐标系（1）在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴叫做x轴或横轴，铅直的数轴叫做y轴或纵轴，x轴与y轴统称坐标轴，他们的公共原点O称为直角坐标系的原点。（2）平面直角坐标系内的对称点：设M(x1,y1)，M(x2,y2)是直角坐标系内的两点，①若M和M'关于y轴对称，则有x1x2。y1y2②若M和M'关于x轴对称，则有x1x2。y1y2③若M和M'关于原点对称，则有x1x2。y1y2④若M和M'关于直线yx对称，则有x1y2。y1x2⑤若M和M'关于直线xa对称，则有x12ax2或x22ax1。y1y2y1y211统计与概率：（1）科学记数法：一个大于10的数能够表示成A10N的形式，其中A大于等于1小于10，N是正整数。2）扇形统计图：①用圆表示整体，圆中的各个扇形分别代表整体中的不相同部分，扇形的大小反响部分占整体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。②扇形统计图中，每部分占整体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360度的比。3）各样统计图的利害：①条形统计图：能清楚表示出每个项目的详尽数目；②折线统计图：能清楚反响事物的变化情况；③扇形统计图：能清楚地表示出各部分在整体中所占的百分比。（5）平均数：关于N个数x1,x2,,xN，我们把1(x1x2xN)叫做这个N个数的算术平均数，N４记为x。6）加权平均数：一组数据里各个数据的重要程度未必相同，所以，在计算这组数据的平均数时经常给每个数据加一个权，这就是加权平均数。7）中位数与众数：①N个数据按大小序次排列，处于最中间地址的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。②一组数据中出现次数最大的那个数据叫做这个组数据的众数。③利害比较：平均数：所有数据参加运算，能充分利用数据所供应的信息，所以在现实生活中常用，但简单受极端值影响；中位数：计算简单，受极端值影响少，但不能够充分利用所有数据的信息；众数：各个数据若是重复次数大体相等时，众数经常没有特其余意义。（8）检查：①为了必然的目的而对察看对象进行的全面检查，称为普查，其中所要察看对象的全体称为整体，而组成整体的每一个察看对象称为个体。②从整体中抽取部分个体进行检查，这种检查称为抽样检查，其中从整体中抽取的一部分个体叫做整体的一个样本。③抽样检查只察看整体中的一小部分个体，所以他的优点是检查范围小，节约时间，人力，物力和财力，但其检查结果经常不如普查获取的结果正确。为了获取较为正确的检查结果，抽样时要主要样本的代表性和广泛性。9）频数与频率：①每个对象出现的次数为频数，而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。②当收集的数据连续取值时，我们平时先将数据适合分组，尔后再绘制频数分布直方图。10）数据的颠簸：①极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差。②方差是各个数据与平均数之差的平方和的平均数。③标准差就是方差的算术平方根。④一般来说，一组数据的极差，方差，或标准差越小，这组数据就越牢固。11）事件的可能性：①有些事情我们能确定他必然会发生，这些事情称为必然事件；有些事情我们能必然他必然不会发生，这些事情称为不能能事件；必然事件和不能能事件都是确定的。②有很多事情我们无法必然他会不会发生，这些事情称为不确定事件。③一般来说，不确定事件发生的可能性是有大小的。（12）概率：①人们平时用1（或100%）来表示必然事件发生的可能性，用0来表示不能能事件发生的可能性。②游戏对双方公正是指双方获胜的可能性相同。③必然事件发生的概率为1，记作P1；（必然事件）不能能事件发生的概率为0，记作P（不能能事件）0；若是A为不确定事件，那么0P(A)1第四部分分章节打破1.1数与式的运算绝对值乘法公式５二次根式1.1.４分式1．2分解因式2.1一元二次方程根的鉴识式根与系数的关系（韦达定理）2．2二次函数二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质二次函数的三种表示方式二次函数的简单应用2.3方程与不等式二元二次方程组解法一元二次不等式解法3．1相似形．平行线分线段成比率定理相似形3.2三角形三角形的“四心”几种特其余三角形3．3圆直线与圆，圆与圆的地址关系点的轨迹1.1数与式的运算1.１.1．绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的自己，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对６值仍是零．即a,a0,|a|0,a0,a,a0.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：ab表示在数轴上，数a和数b之间的距离．例1解不等式：x1x3＞4．解法一：由x10，得x1；由x30，得x3；①若x1，不等式可变为(x1)(x3)4，即2x4＞4，解得x＜0，又x＜1，∴x＜0；②若1x2，不等式可变为(x1)(x3)4，即1＞4，∴不存在满足条件的x；③若x3，不等式可变为(x1)(x3)4，即2x4＞4，解得x＞4．又x≥3，∴x＞4．综上所述，原不等式的解为x＜0，或x＞4．解法二：如图1．1－1，x1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|．所以，不等式x1x3＞4的几何意义即为|PA|＋|PB|＞4．由|AB|＝2，可知点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐|x－3|PCABDx0134x标为4)的右侧．|x－1|x＜0，或x＞4．图1．1－1练习1．填空：（1）若x5，则x=_________；若x4，则x=_________.（2）若是ab5，且a1，则b＝________；若1c2，则c＝________.2．选择题：以下表达正确的选项是（A）若ab，则ab（B）若（C）若ab，则ab（D）若（）ab，则abab，则ab3．化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．1.1.2.乘法公式我们在初中已经学习过了以下一些乘法公式：（1）平方差公式(ab)(ab)a2b2；（2）完好平方公式(a222b)a2ab．b７我们还可以够经过证明获取以下一些乘法公式：（1）立方和公式(a2ab2b)3a3b)(a；b（2）立方差公式(a2ab2b)3a3b)(a；b（3）三数和平方公式(ab2222c)abc2(abbc；)ac（4）两数和立方公式(a332b23b)a3a3ab；b（5）两数差立方公式(a332b23b)a3a3ab．b对上面列出的五个公式，有兴趣的同学能够自己去证明．例1计算：(x1)(x1)(x2x1)(x2x1)．解法一：原式=(x21)(x21)2x2=(x21)(x4x21)=x61．解法二：原式=(x1)(x2x1)(x1)(x2x1)=(x31)(x31)=x61．4，求a2b2c2的值．例2已知abc4，abbcac解：a2b2c2(abc)22(abbcac)8．练习1．填空：（1）1a21b2(1b1a)（）；9423（2）(4m)216m24m()；（3）(a2bc)2a24b2c2()．2．选择题：（1）若x21mxk是一个完好平方式，则k等于（）2（B）1m2（C）1m2（D）1m2（A）m24316（2）不论a，b为何实数，a2b22a4b8的值（）（A）总是正数（B）总是负数（C）能够是零（D）能够是正数也能够是负数．二次根式一般地，形如a(a0)的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够够开得尽方的式子称为无理式.比方3aa2b2b，a2b2等是无理式，而2x22x1，2x22xyy2，a2等是有理式．1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的看法．两个含有二次根式的代数式相乘，若是它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，比方2与2，3a与a，36与36，2332与2332，等等．一般地，ax与x，axby与axby，axb与８xb互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式abab(a0,b0)；而关于二次根式的除法，平时先写成分式的形式，尔后经过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法近似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2．二次根式a2的意义a2aa,a0,a,a0.例1将以下式子化为最简二次根式：（1）12b；（2）2；（）6．ab(a0)34xy(x0)解：（1）12b23b；（2）a2babab(a0)；（3）4x6y2x3y2x3y(x0)．例2计算：3(33)．解法一：3(33＝)3＝3333(31)＝3(33)＝1(33)(33)31＝333＝31(31)(31)93＝3(31)＝31．62＝31．2解法二：3(33＝)33例3试比较以下各组数的大小：（1）1211和1110；（2）2和22－6.64解：（1）∵12111211(1211)(1211)1，11211121111101110(1110)(1110)，1111101110又12111110，∴1211＜1110．－2－6(2－6)(22+6)2（2）∵2622,21++262622又4＞22，∴6＋4＞6＋22，９∴2＜22－6.64例4化简：(32)2004(32)2005．解：(32)2004(32)2005＝(32)2004(32)2004(32)＝(32)(32)200432)(＝12004(32)＝32．例5化简：（1）945；（2）x212(0x1)．x2解：（1）原式5454（2）原式=1)2(x(5)222522xx(25)2∵01，∴11x，2552．xx1，x所以，原式＝1xx．例6已知x32,y32，求3x25xy3y2的值．3232解：∵xy3232(32)2(32)210，3232xy32321，3232∴3x25xy3y23(xy)211xy310211289．练习1．填空：（1）13＝_____；13（2）若(5x)(x3)2(x3)5x，则x的取值范围是_____；（3）4246543962150_____；（4）若x5，则x1x1x1x1________．2x1x1x1x12．选择题：等式xx成立的条件是（）2xx2（A）x2（B）x0（C）x2（D）0x23．若ba211a2，求ab的值．a14．比较大小：2－35－4（填“＞”，或“＜”）．１０1.1.４．分式1．分式的意义形如A的式子，若B中含有字母，且B0，则称A为分式．当M≠0时，分式A拥有以下性质：BBBAAM；BBMAM．BBM上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式a像b，mnp这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．2mcdnp例1若5x4AB，求常数A,B的值．x(x2)xx2解：∵ABA(x2)Bx(AB)x2A5x4，xx2x(x2)x(x2)x(x2)AB5,2A4,解得A2,B3．例2（1）试证：11)11（其中n是正整数）；n(nnn1（2）计算：111；2239101（3）证明：对任意大于1的正整数n，有1111．2334n(n1)2（1）证明：∵11(n1)n1，nn1n(n1)n(n1)∴111（其中n是正整数）成立．n(n1)nn1（2）解：由（1）可知1111223910(1111)11)(3()229101＝9．1010（3）证明：∵1112334n(n1)１１＝(11)(11)(11)2334nn1＝11，n1又n≥2，且n是正整数，1∴n＋1必然为正数，1111∴2334n(n1)＜2．例3设ec，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值．a222解：在2c－5ac＋2a＝0两边同除以a，得(2e－1)(e－2)＝0，1∴e＝2＜1，舍去；或e＝2．∴e＝2． 练习 飞向蓝天的恐龙练习非连续性文本练习把字句和被字句的转换练习呼风唤雨的世纪练习呼风唤雨的世纪课后练习 1．填空题：对任意的正整数n，1112)()；n(nnn22．选择题：若2xy2，则x＝（）xy3y（A）１（B）5（C）4（D）64553．正数x,y满足x2y22xy，求xy的值．xy4．计算1111．22334...100199习题1．1A组1．解不等式：(1)x13；(2)x3x27；(3)x1x16．２．已知xy333xy的值．1，求xy3．填空：3)18(23)19（1）(2＝________；（2）若(1a)2(1a)22，则a的取值范围是________；（3）11111________．1223344556１２B组1．填空：3a2（1）a1，b1ab________；2，则3a25ab2b23（2）若x2xy2y20，则x23xyy2____；x2y22．已知：x1,y1，求xyyxy的值．23yC组1．选择题：（1）若ab2abba，则（）（A）ab（B）ab（C）ab0（D）ba0（2）计算a1（）等于a（A）a（B）a（C）a（D）a2．解方程2(x21)3(x1)10．x2x3．计算：1111．3243591114．试证：对任意的正整数n，有111＜1123234n(n1)(n2)4．．绝对值1．（1）5；4（2）4；1或32．D3．3x－18．乘法公式1．（1）1a1b（2）1,1（3）4ab2ac4bc32242．（1）D（2）A．二次根式1．（1）32（2）3x5（3）86（4）5．2．C3．14．＞1．分式991．22．B3．214．100习题1．1A组1．（1）x2或x4（2）－4＜x＜3（3）x＜－3，或x＞32．13．（1）23（2）1a1（3）611B组1．（1）3（2）5，或－2．4．725１３C组1．（1）C（2）C2．x11,x223．362554．提示：11[1(n1]n(n1)(n2)2n(n1)1)(n2)1．2分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，其余还应认识求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1分解因式：（1）x2－3x＋2；（2）x2＋4x－12；（3）x2(ab)xyaby2；（4）xy1xy．解：（）如图．－，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－11213x，就是x2－3x＋2中的一次项，1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－所以，有x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．x－11－11－2x－ayx－21－216x－by图1．2－1图1．2－2图1．2－3图1．2－4说明：今后在分解与本例近似的二次三项式时，能够直接将图1．2－1中的两个x用1来表示（如图1．2－2所示）．（2）由图1．2－3，得x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．（3）由图1．2－4，得x2(ab)xyaby2＝(xay)(xby)x－1（4）xy1xy＝xy＋(x－y)－1y1图1．2－5(x－1)(y+1)（如图1．2－5所示）．2．提取公因式法与分组分解法例2分解因式：（1）x393x23x；（2）2x2xyy24x5y6．解：（1）x393x23x=(x33x2)(3x9)=x2(x3)3(x3)=(x3)(x23)．或3x＝(x33x23x1)8＝(x1)38＝(x1)323x393x2１４＝[(x1)2][(x1)2(x1)222](x3)(x23)．（2）2x2xyy24x5y6=2x2(y4)xy25y6=2x2(y4)x(y2)(y3)=(2xy2)(xy3)．或2x2xyy24x5y6=(2x2xyy2)(4x5y)6=(2xy)(xy)(4x5y)6=(2xy2)(xy3)．3．关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．若关于x的方程ax2bxc0(a0)的两个实数根是x1、x2，则二次三项式ax2bxc(a0)即可分解为a(xx1)(xx2).例3把以下关于x的二次多项式分解因式：（1）x22x1；（2）x24xy4y2．解：（1）令x22x1=0，则解得x112，x212，∴x22x1=x(12)x(12)=(x12)(x12)．（2）令x24xy4y2=0，则解得x1(222)y，x1(222)y，∴x24xy4y2=[x2(12)y][x2(12)y]．练习1．选择题：多项式2x2xy15y2的一个因式为（）（A）2x5y（B）x3y（C）x3y（D）x5y2．分解因式：（1）x2＋6x＋8；（2）8a3－b3；（3）x2－2x－1；（4）4(xy1)y(y2x)．习题1．21．分解因式：（1）a31；（2）4x413x29；（3）b2c22ab2ac2bc；（4）3x25xy2y2x9y4．2．在实数范围内因式分解：（1）x25x3；（2）x222x3；（3）3x24xyy2；（4）(x22x)27(x22x)12．１５3．ABC三边a，b，c满足a2b2c2abbcca，试判断ABC的形状．4．分解因式：x2＋x－(a2－a)．1.2分解因式1．B2．（1）(x＋2)(x＋4)（2）(2ab)(4a22abb2)（3）(x12)(x12)（4）(2y)(2xy2)．习题1．21．（1）a1a2a1（2）2x32x3x1x1（3）bcbc2a（4）3yy4x2y1．（）x513x513；（2）x25x25；2122（3）3x27yx27y；（4）x3(x1)(x15)(x15)．333．等边三角形4．(xa1)(xa)2.1一元二次方程2.1.1根的鉴识式我们知道，关于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法能够将其变形为(xb)2b24ac．①2a4a2由于a≠0，所以，4a2＞0．于是（1）当b2－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，所以，原方程有两个不相等的实数根x1，2＝bb24ac；2a（2）当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，所以，原方程有两个等的实数根x1＝x2＝－b；2ab)2必然大于或等于零，因（3）当b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左侧(x2a此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况能够由b2－4ac来判断，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的鉴识式，平时用符号“Δ”来表示．2综上所述，关于一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0），有x1，2＝bb24ac；2a（2）当＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－b；2a１６（3）当＜0时，方程没有实数根．例1判断以下关于x的方程的根的情况（其中a为常数），若是方程有实数根，写出方程的实数根．（1）x2－3x＋3＝0；（2）x2－ax－1＝0；（3）x2－ax＋(a－1)＝0；（4）x2－2x＋a＝0．解：（1）∵＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．（2）该方程的根的鉴识式＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以方程必然有两个不等的实数根aa24x2aa24x12，2．（3）由于该方程的根的鉴识式为a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2，所以，①当a＝2时，＝0，所以方程有两个相等的实数根x1＝x2＝1；②当a≠2时，＞0，所以方程有两个不相等的实数根x1＝1，x2＝a－1．（3）由于该方程的根的鉴识式为22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)，所以①当＞0，即4(1－a)＞0，即a＜1时，方程有两个不相等的实数根x111a，x211a；②当＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝1；③当＜0，即a＞1时，方程没有实数根．说明：在第3，4小题中，方程的根的鉴识式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行谈论，这一方法叫做分类谈论．分类谈论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根bb24ac，x2bb24acx12a2a，则有x1x2bb24acbb24ac2bb2a2a2a；abb24acbb24acb2(b24ac)4accx1x22a2a4a24a2．a所以，一元二次方程的根与系数之间存在以下关系：若是ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝b，x1·x2＝c．这一关系也被称为aa韦达定理．特别地，关于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，所以，方程x2＋px＋q＝0可化为x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．所以有以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是１７x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．例2已知方程5x2kx60的一个根是2，求它的另一个根及k的值．解析：由于已知了方程的一个根，能够直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又能够利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是能够利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值．解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k×2－6＝0，∴k＝－7．所以，方程就为5x2－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－3．3，k的值为－7．5所以，方程的另一个根为－5解法二：设方程的另一个根为x1，则2x1＝－6，∴x1＝－3．55由（－3）＋2＝－k，得k＝－7．55所以，方程的另一个根为－3，k的值为－7．5例3已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．解析：本题能够利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21获取关于m的方程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，所以，其根的鉴识式应大于零．解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4．x12＋x22－x1·x2＝21，∴(x1＋x2)2－3x1·x2＝21，即[－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，2化简，得m－16m－17＝0，当m＝－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，＞0，满足题意；当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．综上，m＝17．说明：（1）在本题的解题过程中，也能够先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，尔后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可．（1）在今后的解题过程中，若是不过由韦达定理解题时，还要考虑到根的鉴识式可否大于或大于零．由于，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．例4已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．解析：我们能够设出这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数．也能够利用韦达定理转变出一元二次方程来求解．解法一：设这两个数分别是x，y，则x＋y＝4，①xy＝－12．②由①，得代入②，得y＝4－x，x(4－x)＝－12，2即x－4x－12＝0，x12,x26,∴或y16,y22.所以，这两个数是－2和6．１８解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程x2－4x－12＝0的两个根．解这个方程，得x1＝－2，x2＝6．所以，这两个数是－2和6．说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．2（1）求|x1－x2|的值；（2）求11x12x22的值；3）x13＋x23．解：∵x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根，∴x1x253，x1x2．225)23)（1）∵|x1－x2|2＝x12+x22－2x1x2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(4(22＝25＋6＝49，∴|x1－x2|＝7．4421122(x1x2)22x1x2(5)22(3)25337x1x2224．（2）x22x12x22(x1x2)399x122(2)423）x13＋x23＝(x1＋x2)(x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[(x1＋x2)2－3x1x2]＝(－5)×[(－5)2－3×(3)]＝－215．2228说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为认识题简略，我们能够商议出其一般规律：设x和x分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则12bb24ac，x2bb24acx12a2a，∴|x1－x2|＝bb24acbb24ac2b24ac2a2a2ab24ac．|a||a|于是有下面的结论：若x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则|x1－x2|＝（其中＝b2－4ac）．|a|今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，能够直接利用上面的结论．例6若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围．解：设x1，x2是方程的两根，则x1x2＝a－4＜0，①且＝(－1)2－4(a－4)＞0．②由①得a＜4，由②得a＜174．∴a的取值范围是a＜4．１９练习1．选择题：（1）方程x223kx3k20的根的情况是（）（A）有一个实数根（B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根（D）没有实数根（2）若关于x的方程mx2＋(2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）1（A）m＜41（C）m＜41（B）m＞－4，且m≠0（D）m＞－1，且m≠042．填空:（1）若方程x2－3x－1＝0的两根分别是x1和x2，则11＝．（2）方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是x1x2．（3）以－3和1为根的一元二次方程是．3．已知a28a16|b1|0，当k取何值时，方程kx2＋ax＋b＝0有两个不相等的实数根？4．已知方程x2－3x－1＝0的两根为x1和x2，求(x1－3)(x2－3)的值．习题2.11．选择题:A组（1）已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（）（A）－3（B）3（C）－2（D）2（2）以下四个说法：①方程x2＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；②方程x2－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；③方程3x2－7＝0的两根之和为0，两根之积为7；3④方程3x2＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0．其中正确说法的个数是（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个（3）关于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一个根是0，则a的值是（）（A）0（B）1（C）－1（D）0，或－12．填空:（1）方程kx2＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝．222．（2）方程2x－x－4＝0的两根为α，β，则α＋β＝（3）已知关于x的方程x2－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是．（4）方程2x2＋2x－1＝0的两根为x1和x2，则|x1－x2|＝．3．试判断当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1)x＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？x2－7x－1＝0各根的相反数．4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程２０