全等的相关模型总结材料1

一、角平分线模型应用1.角平分性质模型：全等的相关模型 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 辅助线：过点G作GE射线AC(1).例题应用:如图1，在，C9°0,AD平分CAB,BC6cm,BD4cm,那么点d到直线ab的距离是cm.如图2，已知，，••图1图22(提示：作DEAB交AB于点E)，，•⑵.模型巩固:练习一：如图3,在四边形ABCD中,BC>ABAD=CDBD平分•练习二：已知如图4,四边形ABCD中BD180°,BCCD•求证：AC平分BAD.R练习三：如图5RtABC中,ACB900,CDAB,垂足为D,AF平分CAB,交CD于点E,交CB于点F.求证：CE=CF.将图5中的△ADE沿AB向右平移到的位置，使点落在BC边上，其他条件不变，如图6所示，是猜想：于CF又怎样的数量关系？请证明你的结论.练习四：如图7,/A90,AD//BC,P是AB的中点，PD平分/ADC求证：CP平分/DCB图7练习五：如图8,AB>AC/A的平分线与BC的垂直平分线相交于D,自D作DEIAB,DF丄AC,垂足分别为E,F.求证：BE=CF图8练习六：如图9所示，在厶ABC中,BC边的垂直平分线DF交厶BAC的外角平分线AD于点D,F为垂足,DEIAB于E,并且AB>AC求证：BE—AC=AE练习七：如图10,DE、F分别是△ABC的三边上的点，CE=BF且厶DCE的面积与厶DBF的面积相等,求证：AD平分/BAC2.角平分线+垂线，等腰三角形比呈现辅助线：延长ED交射线0B于F辅助线：过点E作EF//射线OB(1).例题应用:①.如图1所示，在△ABC中,Z:ABC=3/C,AD是/BAC的平分线，BEXAD于F。AA1求证：BE—(ACAB)2F：E证明：延长BE交AC于点F。因为角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线,所以AD为/BAC的对称轴，又因为BEXAD于F,所以点B和点F关于AD对称，1所以BE=FEdBF,AB=AF/ABF=ZAFB2因为/ABF+ZFBC=/ABC=3/C,/ABF=ZAFB=ZFBC+ZC,所以ZFBC+ZC+ZFBC=3/C,所以ZFBC=/C,所以FB=FC111所以BE=—FC=—(AC-AF)=—(AC—AB),2221所以BE—(ACAB)。2作CMAD交AD的延长线于M.求证：AM1-(ABAC)2图2②.已知：如图2，在，分析：此题很多同学可能想到延长线段CM但很快发现与要证明的结论毫无关系。而此题突破口就在于AB=AD由此我们可以猜想过C点作平行线来构造等腰三角形.证明：过点C作CE//AB交AM的延长线于点E.BDCE,E1.12,E2.ABAD,AE2AMTOC\o"1-5"\h\zB3,34B44DCE1ADDEABAC,AM—(ABAC).2例题变形：如图，，求证：①②⑶.模型巩固:练习一、如图3,AABC是等腰直角三角形，/BAC=90,BD平分/ABC交AC于点D,CE垂直于BD,交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE练习一变形：如图4,在厶ODCK,过点E作EFOC交OC于点F•猜想：线段EF与OD之间的关系，并证明DE//BCA图4练习二、如图5，已知△ABC中，CE平分/ACB且AE±CE/AEDbZCAE=180度，求证:E是DCDEC练习三、如图6,AD丄DCBC丄DCE是DC上一点，AE平分/DABBE平分/ABC求证:中点。练习四、①、如图7（a），BD、CE分别是ABC的外角平分线，过点AAECE,垂足分另I」是D、E,连接DE•求证:DE//.图7(a)图7(b)图7(c)、如图7（b）,BD、CE分别是ABC的内角平分线，其他条件不变；、如图7（c），BD为ABC的内角平分线，CE为ABC的外角平分线，其他条件不变.则在图7（b）、图6（c）两种情况下，DE与BC还平行吗？它与三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并证明你的结论.（提示：利用三角形中位线的知识证明线平行）练习五、如图8，在直角三角形ABC中，C90，A的平分线交BC于D.自C作CGAB交AD于E，交AB于G•自D作DFAB于F，求证：CFDE.练习六、如图9所示，在ABC中，ACAB,M为BC的中点，AD是BAC的平分线，若CFAD且交AD的延长线于F，求证MF1ACAB.AF练习六变形一：如图10所示，AD是ABC中BAC的外角平分线，CDAD于D,E是BC的中1点，求证DEIIAB且DE(ABAC).2练习六变形二：如图11所示,ABAC2AM.ABC中,练习七、么如图如图12,在ABC中,13,已知在ABC中，BABC3C,AD平分BAC,ADAB,CMAD于M，求证CBAC的平分线AD交BC与D.则有ABBDAC.那12,BEAE.求证：ACAB2BE.图12图13练习八、在△ABC中，AB3AC,BAC的平分线交BC于D，过B作BEAD,E为垂足，求证:ADDE.练习九、AD是ABC的角平分线，BEAD交AD的延长线于E,EFIIAC交AB于F.求证：AFFB.3.角分线，分两边，对称全等要记全两个图形的辅助线都是在射线0A上取点B,使OB=OA从而使也△OBC.（1）.例题应用：、在△ABC中，/BAC=60，/C=40,AP平分/BAC交BC于P,BC平分/ABC交AC于Q求证：AB+BP=BQ+AQ思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。2）解题思路：本题要证明的是AB+BP=BQ+AQg势较为复杂，我们可以通过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。可过0作BC的平行线。得△AQO得至UOD=O,AD=AQ只要再证出BD=O就可以了。解答过程：证明：如图（1）,过O作OD/BC交AB于D,•••/ADONABC=180—60°—40°=80°,又•••/AQONC+ZQBC=80,•••/ADOZAQO又vZDAOZQAOOA=AO•••△ADO^AAQO--OD=OQAD=AQ又vOD/BP,•••ZPBOZDOB又vZPBOZDBO•ZDBO=ZDOBBD=OD又vZBPAZC+ZPAC=70,ZBOP=ZOBA+ZBAO=7°0，•ZBOP=ZBPOBP=OBAB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ解题后的思考：（1）本题也可以在AB上截取AD=AQ连OD构造全等三角形,即“截长法”。（2）本题利用“平行法”的解法也较多举例如下：如图（2）,过O作OD//BC交AC于D,则厶ADO^AABO从而得以解决。A如图过。作交Ab于D.交AC于E,KUAADO^AAQO,△AEO空△AEO从而得以解决-图(3)如图(4),过P作PD/7BQ交AB的延长续于D,则AAPD^AAPCA而得以解决.D*如图(5),过P作PD//BQ交AC于。，则厶ABP^AADP从而得以解决小结：通过一题的多种辅助线添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构造的全等三角形在转移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不论是作平行线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形。②、如图所示，在ABC中，AD是BAC的外角平分线,PBPC与ABAC的大小，并说明理由.【解析】PBPCABAC，理由如下.如图所示，在AB的延长线上截取AE因为AD是BAC的外角平分线，故CAPEAP.在ACP和AEP中，ACAE，因此ACP也AEP，从而PCPE.P是AD上异于点A的任意一点，试比较CAPAC，连接PE.EAP，AP公用,在BPE中，PBPEBE,而BEBAAEABAC,故PBPCABAC.变形：在ABC中，ABAC,AD是BAC的平分线.P是AD上任意一点.求证：ABACPBPC.【解析】在AB上截取AEAC，连结EP，根据SAS证得AEP也ACP,二PEPC,AEAC又BEP中，BEPBPE,BEABAC,aABACPBPC(2)、模型巩固：练习一、.如图，在△ABC中，ADLBC于D,CD=AB+BD,/B的平分线交AC于点E,求证：点E恰好在BC的垂直平分线上。练习二、如图，已知△ABC中，AB=AC,//A=100°,//B的平分线交AC于D,求证：AD+BD=BCA、zBDC练习三、如图，已知△求证：AC+CD=ABABC中,BC=AC,/C=90°,/A的平分线交BC于D,练习四、已知：在△ABC中,B的平分线和外角ACM的平分线相交于D,DFBC,交AC于E,交AB于F,求证：EFBFCE练习五、在△ABC中，AB2AC,AD平分BAC,E是AD中点，连结CE，求证：BD2CEE变式：已知：在厶ABC中，B2C,BD平分ABC,ADBQ于D,求证：1BD—AC2练习六、已知：如图，在四边形ABCD中,AD//BC,BC=DC,CF平分/BCD,DF//AB,BF的延长线交DC于点E.求证：(1)BF=DF;(2)AD=DE.练习七、已知如图，在四边形ABCD中,AB+BC=CD+DA/ABC的外角平分线与/CDA的外角平分线交于点P.求证：/APB=ZCPD练习八、如图，在平行四边形ABCD（两组对边分别平行的四边形）中，E,F分别是ADAB边上的点，且BE、DF交于G点，BE=DF求证：GC是/BGD的平分线。练习九、如图，在△ABC中，/ACB为直角，CMLAB于MAT平分/BAC交CM于D,交BC于T,过D作DE//AB交BC于E,求证：CT=BE.练习十、如图所示，已知ABC中，AD平分BAC,E、F分别在BD、AD上.DECD,EFAC.求证：EF//ABD/A【补充】如图，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点,交AB于点G，若BGCF，求证：AD为BAC的角平分线.B的平分线，请你利用图形4.中考巡礼：（1）.如图全等三角形1一对以图方法，解答下列问题。、如图2,在厶ABC中，/ACB是直角，/B=60°,ADCE是/BAG/BCA的角平分线，相交于点F,请你判断并写出EF与DF之间的数量的关系。、如图3,在厶ABC中，/ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问，（1）中的结论是否任然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。.如图，在平面直角坐标系中，B(-1,0),二象限一动点，且/BAC=NBDO过点D作DMLAC于M、求证：/ABD2ACD、若点E在BA的延长线上，求证：AD平分/CAE、当点A运动时，(AC-AB/AM的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由。二、等腰直角三角形模型在斜边上任取一点的旋转全等:操作过程:.将厶ABD逆时针旋转，使△ACMPAABD从而推出厶ADM为等腰直角三角形•(但是写辅助线时不能这样写).过点C作，连AM导出上述结论.定点是斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：ABC①vBA/MNN2-两个全筹的含则则角的三角板3鬲三角^LABC,如图所示放置、E.A.CE点在一条直线上.连接取反＞的中点甌连接ME,MC是判断匚茁形状.并证明祢的结论.②.证明：方法一：连接AM证明△MD^AMAC特别注意证明ZMDEMMAC.操作过程：连AD..使BF=AE(AF=CE,导出△BDF^AADE..使ZEDFZBAC=导出△BDF^AADE.(1)、例题应用:解析：方法一：过点C作，方法在等腰直角△4SE中.4409叽点Af・犬在斜边BC上滑动，且厶4A=4于是辣究5认MN.CM之何的数量关系.方法二：过点M作MNLEC交EC于点N,得出MN为直角梯形的中位线，从而导出厶MEC为等腰直角三角形.(2)、练习巩固：①已知：如图所示，Rt△ABC中，AB=A，O为BC中点，若MN分别在线段ACAB上移动，且在移动中保持AN=CM.、是判断△OM的形状，并证明你的结论.、当MN分别在线段ACAB上移动时，四边形AMO的面积如何变化?AM思路：两种方法:AEBI)/B②在正方形ABCD中,BE=3,EF=5,DF=4，求/BAEMDCF为多少度.操作过程：在图3-2中，先将△ABD以BD所在的直线为对称轴作对称三角形，再将此三角形沿水平方向向右平移一个正方形边长的长度单位，使A与MD与E重合.例题应用：已知：平面直角坐标系中的三个点，，求/OCAMOCB的度数•3.构造等腰直角三角形、利用以上的1和2都可以构造等腰直角三角(略)；、利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角.如下图：图3-1图3-2提示如右图:1BB4.将等腰直角三角形补全为正方形，如下图:图4-1图4-2例题应用:如图，在等膜直角厶AC=BCrP为ZVtBCrt部一点*满足FB=PCt4FTC.隶证，5°.思路：构造正方形ACBM可以构造出等边厶APM从而造出，又根据，可得，再由于，故而得到从而得证.例题拓展：若△ABC不是等腰直角三角形，即，而是，其他条件不变，求证：/2=2/1.练习巩固：在平面直角坐标系中，A(0,3三点围成等腰直角三角形时，求点)，点B的纵坐标为2，点C的纵坐标为0，当A、B、CB、C的坐标.(2)、当点A为直角顶点:图3(3)、当点C为直角顶点:三、三垂直模型（弦图模型）①.②.由厶ABE^ABCD导出ED=AE-CD例题应用：例1.已知：如图所示，在△BC于F，连接DF.求证：ZADBMCDF.由厶ABE^ABCD导出EC=AB-CD由厶ABE^ABCD导出BC=BE+ED=AB+CDABC中,AB=AC，D为AC中点，AF丄BD于E,交B思路：方法一：过点C作MCLAC交AF的延长线于点M.先证△ABD^ACAM再证△CDFCMF即可.方法二：过点A作AMLBC分别交BDBC于HM先证△ABHbACAF再证△CDFADFg卩可.方法三：过点A作AMLBC分别交BDBC于HM先证Rt△AMFsRt△BMH得出HF//AC.由MD分别为线段ACBC的中点，可得ABC的中位线从而推出MD//AB,又由于，故而MDLAC,MDLHF所以MD为线段HF的中垂线.所以/仁/2.再由/ADBV仁/CD+Z2，贝U/ADB：/CDF.例1拓展（1）：已知：如图所示，在△ABC中,AB=ACAM=CNAF丄BM于E,交BC于F,连接NF.求证：①/AD^ZCDF.②BM=AF+FN思路：同上题的方法一和方法二一样拓展（2）：其他条件不变，只是将BM和FN分别延长交于点P,求证：①PM=PN②PB=PF+AF.思路：同上题的方法一和方法二一样例2.如图2-1，已知AD//BC,△ABE^n^CDF是等腰直角三角形，/EA母/CDF=AD=2BC=5求四边形AEDF的面积.图2-1解析：如图2-2,过点E、B分别作EN±DABMLDA交DA延长线于点N、M.过点F、C分别作FP丄AD,CQLAD交AD及AD延长线于点P、Q11S四边形EAFDSAEDSADF二?AD?EN二?AD?FP22•••△ABE^P^CDF是等腰直角三角形，二/EA仔/CDF=AE=ABDF=CD.•••EN丄DABMLDAFP丄ADCQLAD，二/NMBZENAMFPD2DQC=•••/ENAMMBA,/FDP=/QCD./.△ENA^AABM△FPD^ADQC.•••NE=AMPF=DQ./.NE+PF=DQ+AM=MQ-AD•/AD//BCCQ/BM/BMN=二四边形BMQ(是矩形./.BC=MQ•/AD=2BC=5二NE+PF=5-2=3图2-2练习巩固：(1)、如图(1)-1,直角梯形ABCD中,AD//BC,/ADC=是AD的垂直平分线,交AD于点M以腰AB为边做正方形ABFEEP1于点P.求证：2EP+AD=2CD.(1)-1(2)、如图，在直角梯形ABCD中,/ABC=AD//BCAB=ACE是AB的中点,CELBD.求证：BE=AD；求证：AC是线段ED的垂直平分线；厶BCD是等腰三角形吗？请说明理由.A“四、手拉手模型1.△ABE^H^ACF均为等边三角形RC结论：(1).△ABF^AAEC./BOE=BAE“八字模型证明”).OA平分/EOF拓展：条件：△ABCftACDE均为等边三角形结论：(1)、AD=BE(2)、/ACB2AOB(3)、△PCC为等边三角形、PQ//AE(5)、AP=BQ(6)、CO平分/AOE(7)、OA=OB+OC(8)、OE=OC+OD((7),(8)需构造等边三角形证明)2.△ABDffiAACE均为等腰直角三角形结论：(1)、BE=CD(2)BE丄CD3.ABE味口ACH均为正方形结论：(1)、BDLCF(2)、BD=CF变形一：ABEF和ACH%为正方形，AS丄BC交FD于T,求证：①M为FD的中点.②方法一：方法二：方法三:变形二：ABEF和ACH%为正方形，T为FD的中点,求证：ASLBC4.当以ABAC为边构造正多边形时，总有：/1=/2=.五、双垂直+角平分线模型结论：AE=AF拓展：若AP平分/BAD其他条件不变，求证：AP±CF六、半角模型条件：思路：(1)、延长其中一个补角的线段(延长CD到E,使ED=BM连AE或延长CB到F,使FB=DN,连AF)结论：①MN=BM+DN③AMAN分别平分/BMF和/DNM(2)、对称(翻折)思路：分别将△ABMffiAADN^AM和AN为对称轴翻折，但一定要证明MP、N三点共线.(/B+ZD=KAB=AD例题应用：例1在正方形ABC呼，若MN分别在边BGCC上移动，且满足MN=BMDN求证：①./MAN=③.AMAN分别平分/BMf和/DNM.思路同上略.例1拓展：在正方形ABC中，已知/MAN=若MN分别在边CBDC的延长线上移动，①.试探究线段MNBM、DN之间的数量关系.上，满足EF=BE+DF.求证:且提示:练习巩固：如图，在四边形ABC中，/B=ZD=,AB=AD若E、F分别在边BCCD上的点，且•求证:EF=BE+DF.