2019年05项目四无穷级数

项目四无穷级数实验无穷级数(基础实验)实验目的观察无穷级数部分和的变化趋势，进一步理解级数的审敛法以及幂级数部分和对函数的逼近.掌握用Mathematica求无穷级数的和，求幂级数的收敛域，展开函数为幂级数以及展开周期函数为傅里叶级数的方法.基本命令求无穷和的命令Sum该命令可用来求无穷和.例如，输入Sum[1/nA2,{n,l,lnfinity}]则输出无穷级数的和为二2/6命令Sum与数学中的求和号匕相当.将函数展开为幂级数的命令Series该命令的基本格式为Series[f[x],{x,xO,n}]它将f(X)展开成关于x-x0的幂级数.幂级数的最高次幂为(x-x°)n,余项用(x-x0)nT表示.例如输入Series[y[x],{x,0,5}]则输岀带皮亚诺余项的麦克劳林级数y0J+y"0I+丄y"0I2+丄yf)0+丄y(4)014y(510x+olxl2624120去掉余项的命令Normal在将f(x)展开成幂级数后，有时为了近似计算或作图，需要把余项去掉.只要使用Normal命令.例如输入Series[Exp[x],{x,0,6}]Normal[%]则输出TOC\o"1-5"\h\z23456“xxxxx71xO[x]2!3!4!5!666!强制求值的命令Evaluate可能会岀现问题如果函数是用Normal命令定义的，则当对它进行作图或数值计算时例如，输入fx=Normal[Series[Exp[x],{x,0,3}]]Plot[fx,{x,-3,3}]则只能输岀去掉余项后的展开式TOC\o"1-5"\h\z231xx_x_26Evaluate,改成输入而得不到函数的图形.这时要使用强制求值命令Plot[Evaluate[fx],{x,-3,3}]则输岀上述函数的图形.作散点图的命令ListPlotListPlot[]为平面内作散点图的命令，其对象是数集，例如，输入ListPlot[Table『2,{j,16}],PlotStyle->PointSize[0,012]]则输出坐标为{1,12},{2,22},{3,32},…,{16,162}的散点图（图1.1）.250-■1200-150-100-1-50-B■2.557.51012.515图1.1符号“/;”用于定义某种规则，“/;”后面是条件.例如，输入Clear[g,gf];g[x_]：=x/;0<=x<1g[x_]：=-x/；-1<=x<0g[x_]:=g[x-]/;x>=1则得到分段的周期函数--X,—1空£0g(x)=」x,0兰x<1jg(x-2),x王1再输入gf=Plot[g[x],{x,-1,6}]则输出函数g(x)的图形1.2.注:用Which命令也可以定义分段函数，从这个例子中看到用“…俵达式”；…（条件）”来定义周期性分段函数更方便些.用Plot命令可以作出分段函数的图形，但用Mathematica命令求分段函数的导数或积分时往往会有问题.用Which定义的分段函数可以求导但不能积分.Mathematica内部函数中有一些也是分段函数.如:Mod[x,1],Abs[x],Floor[x]和UnitStep[x].其中只有单位阶跃函数UnitStep[x]可以用Mathematica命令来求导和求定积分.因此在求分段函数的傅里叶系数时，对分段函数的积分往往要分区来积.在被积函数可以用单位阶跃函数UnitStep的四则运算和复合运算表达时，计算傅里叶系数就比较方便了.实验举例数项级数例1.1(教材例1.1)旳1观察级数7鸟的部分和序列的变化趋势二n2旳1观察级数a丄的部分和序列的变化趋势输入s[n_]=Sum[1/kA2,{k,n}];data=Table[s[n],{n,100}];ListPlot[data];N[Sum[1/kA2,{k,Infinity}]]N[Sum[1/kA2,{k,Infinity}],40]则输出(1)中级数部分和的变化趋势图1.3.1.621.581.561.54图1.3级数的近似值为1.64493.输入s[ni_]=Sum[1/k,{k,n}];data=Table[s[n],{n,50}];ListPlot[data,PlotStyle->PointSize[0.02]];则输出(2)中级数部分和的的变化趋势图1.4.例1.2(教材例1.2)画出级数二'(^)n~-的部分和分布图.池n输入命令Clear[sn,g];sn=0;n=1;g={};m=3;While[1/n>10A-m,sn=sn+(-1)A(n-1)/n;g=Append[g,Graphics[{RGBColor[Abs[Sin[n]],0,1/n],Line[{{sn,0},{sn,1}}]}]];n++];Show[g,PlotRange->{-0.2,1.3},Axes->True];则输出所给级数部分和的图形(图1.5),从图中可观察到它收敛于0.693附近的一个数例1.3求a'的值.n二4n2+8n+3输入Sum[xA(3k),{k,1,lnfinity}]得到和函数3X-1X3例1.4（教材例1.3）设an10nn!QO,求工ann1输入Clear[a];a[n」=10An/(n!);vals=Table[a[n],{n,1,25}];ListPlot[vals,PlotStyle->PointSize[0.012]]则输出an的散点图(1.6)，从图中可观察an的变化趋势.输入Sum[a[n],{n,l,lnfinity}]则输岀所求级数的和.10152025图1.6求幂级数的收敛域的收敛域与和函数cd例1.5（教材例1.4）求7n土输入Clear[a];a[n_]=4A(2n)*(x-3Fn/(n+1);stepone=a[n+1]/a[n]//Simplify则输出16(1n)(-3x)2加再输入steptwo=Limit[stepone,n->lnfinity]则输出16(-3-x)1时，幂级数收敛；大于1这里对a[n+1]和a[n]都没有加绝对值.因此上式的绝对值小于时发散.为了求出收敛区间的端点，输入ydd=Solve[steptwo==1,x]zdd=Solve[steptwo==-1,x]则输出由此可知，当聖:：:x:：：49时，级数收敛，当x:::勺或x49时，级数发散.16161616为了判断端点的敛散性，输入Simplify[a[n]/.x->(49/16)]则输出右端点处幂级数的一般项为1n亠149因此,在端点X二49处，级数发散.再输入16Simplify[a[n]/.x->(47/16)]则输出左端点处幂级数的一般项为3）nn-1因此,在端点级数收敛.也可以在收敛域内求得这个级数的和函数输入Sum[4A(2n)*(x-3)An/(n+1),{n,0,lnfinity}]则输出Log[1-16(-3x)]…16(-3+x)函数的幂级数展开例1.6（教材例1.5）求cosx的6阶麦克劳林展开式输入Series[Cos[x],{x,0,6}]则输出4x_246x720注:这是带皮亚诺余项的麦克劳林展开式例1.6（教材例1.6）求Inx在x=1处的6阶泰勒展开式输入Series[Log[x],{x,1,6}]则输出23456(X_1)上上上卫上1-o[x]723456例1.7(教材例1.7)求arctanx的5阶泰勒展开式.输入serl=Series[ArcTan[x],{x,0,5}];Poly=Normal[serl]则输出arctanx的近似多项式TOC\o"1-5"\h\z35_x_x_35通过作图把arctanx和它的近似多项式进行比较.输入Plot[Evaluate[{ArcTan[x],Poly}],{x,-3/2,3/2},PlotStyle->{Dashing[{0.01}],GrayLevel[0]},AspectRatio->l]则输出所作图形（图1.7）,图中虚线为函数arctanx,实线为它的近似多项式例1.9求e-2八2在X=1处的8阶泰勒展开，并通过作图比较函数和它的近似多项式.输入Clear[f];f[x_]=Exp[-(x-1)A2*(x+1)A2];poly2=Normal[Series[f[x],{x,1,8}]]Plot[Evaluate[{f[x],poly2}],{x,-1.75,1.75},PlotRange->{-2,3/2},PlotStyle->{Dashing[{0.01}],GrayLevel[O]}]则得到近似多项式和它们的图1.8.1_4(_1+x2_4(_1+x3+7(-1+xf+16(-1+xj+例1.10求函数sinx在x=0处的3,5,7,…,91阶泰勒展开，通过作图比较函数和它的近似多项式，并形成动画进一步观察因为n2k1sinx八1kxo(x2n2)心2k1!所以输入Do[Plot[{Sum[(-1)Aj*xA(2j+1)/(2j+1)!,{j,0,k}],Sin[x]},{x,-40,40},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,0,1]}],{k,1,45}]则输出为sinx的3阶和91阶泰勒展开的图形.选中其中一幅图形，双击后形成动画.图1.9是最后一幅图.例1.11利用幂级数展开式计算5240(精确到1040).因为5240=5243-3=3根据(1x)m在x=0处的展开式有g卜11141149134522!3853123!3134k故前n(n2)项部分和为Sn=3输入命令s[n_]=3(1-1/(5*3A4)-Sum[Product[5i-1,{i,1,k-1}]/(5Akk!3A(4k)),{k,2,n-1}]);r[n_]=Product[5i-1,{i,1,n-1}]/5An/n!3A(4n-5)/80;delta=1O%1O);nO=1OO;Do[Print["n=",n,",","s[n]=",N[s[n],20]];lf[r[n]{RGBColor[0,1,0]}];则输出g(x)的图形(图1.10).10.5-2.52.557.51012.515-0.5--1图1.10因为g(x)是奇函数，所以它的傅里叶展开式中只含正弦项.输入b2[ni_]:=b2[n]=2lntegrate[1*Sin[n*x],{x,0,Pi}]/Pi;fourier2[n_,x_]:=Sum[b2[k]*Sin[k*x],{k,1,n}];tu[n_]:=Plot[{g[x],Evaluate[fourier2[n,x]]},{x,-Pi,5Pi},PlotStyle->{RGBColor[0,1,0],RGBColor[1,0.3,0.5]},DisplayFunction->ldentity];(*tu[n]是以n为参数的作图命令*)tu2=Table[tu[n],{n,1,30,5}];(*tu2是用Table命令作出的6个图形的集合*)toshow=Partition[tu2,2];(*Partition是对集合tu2作分割，2为分割的参数*)Show[GraphicsArray[toshow]](*GraphicsArray是把图形排列的命令*)则输出6个排列着的图形(图1.11),每两个图形排成一行.可以看到n越大，g(x)的傅里叶级数的前n项和与g(x)越接近.10.5-2.5-0.5:2.57.51012.5-115实验习题求下列级数的和旳k⑴二尹k空2求幂级数V(八一1n的收敛域与和函数.n(同求函数(1x)ln(1x)的6阶麦克劳林多项式.求arcsinx的6阶麦克劳林多项式.x设f(x)二二，求f(x)的5阶和x■+1图形作在一个坐标系内.001(2/-2；k±(2k-1)(x-1)弓1n001⑶心芮;10阶麦克劳林多项式，把两个近似多项式和函数的6.设f(x)在一个周期内的表达式为f(x)=1—X21込,将它展开为傅里叶级数(取6项),并作图.7.设f(x)在一个周期内的表达式为f(x)=f1,2—X,1兰x瓷20_x：：:1,将它展开为傅里叶级数(取8项),并作图.8.求级数瓦Sink的和的近似值.k±k129