新教材人教A版数学选择性必修第一册练习：2.2.1-直线的点斜式方程-Word版含解析

PAGEPAGE-5-www.ks5u.com第二章　2.2　2.2.1　　请同学们认真完成练案[12]A组·素养自测一、选择题1．经过点(－3,2)，斜率为eq\r(3)的直线方程是(　C　)A．y＋2＝eq\r(3)(x－3)　　　　　　B．y－2＝eq\f(\r(3),3)(x＋3)C．y－2＝eq\r(3)(x＋3)D．y＋2＝eq\f(\r(3),3)(x－3)[解析]　由直线的点斜式方程的定义可知选项C正确．2．(2021·郑州一中检测)已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(　C　)A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1B．直线经过点(－1,2)，斜率为1C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D．直线经过点(－1，－2)，斜率为1[解析]　方程y＋2＝－x－1可写成y＋2＝－(x＋1)，根据点斜式方程的定义可知该直线的斜率为－1，过点(－1，－2)．3．直线y－4＝－eq\r(3)(x＋3)的倾斜角和所经过的定点分别是(　B　)A．30°，(－3,4)B．120°，(－3,4)C．150°，(3，－4)D．120°，(3，－4)[解析]　斜率k＝－eq\r(3)，过定点(－3,4)．4．过点(0,1)且与直线y＝eq\f(1,2)(x＋1)垂直的直线方程是(　C　)A．y＝2x－1B．y＝－2x－1C．y＝－2x＋1D．y＝2x＋1[解析]　与直线y＝eq\f(1,2)(x＋1)垂直的直线斜率为－2，又过点(0,1)，所以所求直线方程为y＝－2x＋1，故选C．5．已知A(2,5)，B(4,1)，若点P(x，y)在线段AB上，则2x－y的最小值为(　A　)A．－1B．3C．7D．8[解析]　直线AB的斜率为kAB＝eq\f(5－1,2－4)＝－2，所以直线AB的方程为y－1＝－2(x－4)，即y＝－2x＋9．所以线段AB的方程为y＝－2x＋9(2≤x≤4)，所以2x－y＝2x－(－2x＋9)＝4x－9∈[－1,7]，因此，2x－y的最小值为－1，故选A．二、填空题6．斜率为2的直线经过(3,5)，(a,7)两点，则a＝__4__．[解析]　经过点(3,5)，斜率为2的直线的点斜式方程为y－5＝2(x－3)，将(a,7)代入y－5＝2(x－3)，解得a＝4．7．直线l与直线x＋y－2＝0垂直，且它在y轴上的截距为4，则直线l的方程为__x－y＋4＝0__．[解析]　设直线l的方程为x－y＋m＝0，又它在y轴上的截距为4，∴m＝4，∴直线l的方程为x－y＋4＝0．8．如图，直线l的斜截式方程是y＝kx＋b，则点(k，b)在第__二__象限．[解析]　由题图知，直线l的倾斜角是钝角，则k＜0．又直线l与y轴的交点在y轴的正半轴上，则b＞0，则点(k，b)在第二象限．三、解答题9．当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3(1)平行？(2)垂直？[解析]　由题意可知，kl1＝2a－1，kl2＝4．(1)若l1∥l2，则kl1＝kl2，即2a－1＝4，解得a＝eq\f(5,2)．故当a＝eq\f(5,2)时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3平行．(2)若l1⊥l2，则4(2a－1)＝－1，解得a＝eq\f(3,8)．故当a＝eq\f(3,8)时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直．10．已知△ABC的顶点坐标分别是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，试求这个三角形的三条边所在直线的点斜式方程．[解析]　直线AB的斜率kAB＝eq\f(－3－0,3－－5)＝－eq\f(3,8)，且直线AB过点A(－5,0)，∴直线AB的点斜式方程为y＝－eq\f(3,8)(x＋5)，同理：kBC＝eq\f(2＋3,0－3)＝－eq\f(5,3)，kAC＝eq\f(2－0,0＋5)＝eq\f(2,5)，∴直线BC的点斜式方程为y－2＝－eq\f(5,3)xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或y＋3＝－\f(5,3)x－3))，直线AC的点斜式方程为y－2＝eq\f(2,5)xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或y＝\f(2,5)x＋5))．B组·素养提升一、选择题1．将直线y＝eq\r(3)(x－2)绕点(2,0)按逆时针方向旋转60°后所得直线方程是(　A　)A．eq\r(3)x＋y－2eq\r(3)＝0B．eq\r(3)x－y＋2eq\r(3)＝0C．eq\r(3)x＋y＋2eq\r(3)＝0D．eq\r(3)x－y－2eq\r(3)＝0[解析]　∵直线y＝eq\r(3)(x－2)的倾斜角是60°，∴按逆时针旋转60°后的直线的倾斜角为120°，斜率为－eq\r(3)，且过点(2,0)．∴其方程为y－0＝－eq\r(3)(x－2)，即eq\r(3)x＋y－2eq\r(3)＝0．2．以A(2，－5)，B(4，－1)为端点的线段的垂直平分线方程是(　D　)A．2x－y＋9＝0B．x＋2y－3＝0C．2x－y－9＝0D．x＋2y＋3＝0[解析]　由A(2，－5)，B(4，－1)，知线段AB中点坐标为P(3，－3)，又由斜率公式可得kAB＝eq\f(－1－－5,4－2)＝2，所以线段AB的垂直平分线的斜率为k＝－eq\f(1,kAB)＝－eq\f(1,2)，所以线段AB的垂直平分线的方程为y－(－3)＝－eq\f(1,2)(x－3)，即x＋2y＋3＝0．故选D．3．在等腰三角形AOB中，|AO|＝|AB|，点O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为(　D　)A．y－1＝3(x－3)B．y－1＝－3(x－3)C．y－3＝3(x－1)D．y－3＝－3(x－1)[解析]　由对称性可得B(2,0)，∴kAB＝eq\f(3,1－2)＝－3，∴直线AB的方程为y－3＝－3(x－1)．4．(多选题)(2021·诸城一中高一检测)经过点M(1,1)且在两轴上截距相等的直线是(　BD　)A．x－y＝2B．x＝yC．x＝1或y＝1D．x＋y＝2[解析]　当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x＋y＝a，把(1,1)代入所设的方程得a＝2，则所求直线的方程为x＋y＝2；当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y＝kx，把(1,1)代入所设的方程得k＝1，则所求直线的方程为y＝x，经过点M(1,1)且在两轴上截距相等的直线是x＋y＝2或x＝y，故选BD．二、填空题5．(2020·杭州高一检测)直线l1与直线l2：y＝3x＋1平行，又直线l1过点(3,5)，则直线l1的方程为__y＝3x－4__．[解析]　∵直线l2的斜率k2＝3，l1与l2平行．∴直线l1的斜率k1＝3．又直线l1过点(3,5)，∴l1的方程为y－5＝3(x－3)，即y＝3x－4．6．已知直线l：y＝kx＋b(k≠0)，且l不经过第三象限，若x∈[2,4]时，y∈[－1,1]，则k，b的值分别为__－1,3__．[解析]　由题可知，该直线过第二、四象限或第一、二、四象限，且y随x增大而减小，∴当x＝2时，y＝1，当x＝4时，y＝－1，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝2k＋b，,－1＝4k＋b，))解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,b＝3.))7．已知直线l过点P(－2,0)，直线l与坐标轴围成的三角形的面积为10，则直线l的方程为__y＝5x＋10或y＝－5x－10__．[解析]　设直线l在y轴上的截距为b，则由已知得eq\f(1,2)×|－2|×|b|＝10，b＝±10．①当b＝10时，直线过点(－2,0)，(0,10)，斜率k＝eq\f(10－0,0－－2)＝5．故直线的斜截式方程为y＝5x＋10．②当b＝－10时，直线过点(－2,0)，(0，－10)，斜率k＝eq\f(－10－0,0－－2)＝－5．故直线的斜截式方程为y＝－5x－10．综合①②可知，直线l的方程为y＝5x＋10或y＝－5x－10．三、解答题8．已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0，(1)求证：不论a为何值，直线l总过第一象限；(2)为了使直线l不过第二象限，求a的取值范围．[解析]　(1)证明：直线l的方程可化为y－eq\f(3,5)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,5)))，由点斜式方程可知直线l的斜率为a，且过定点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(3,5)))，由于点A在第一象限，所以直线一定过第一象限．(2)解：如图，直线l的倾斜角介于直线AO与AP的倾斜角之间，kAO＝eq\f(\f(3,5)－0,\f(1,5)－0)＝3，直线AP的斜率不存在，故a≥3．9．(2020·武威一中高一期末)求斜率为eq\f(3,4)，且与坐标轴所围成的三角形的面积是6的直线方程．[解析]　设所求直线的方程为y＝eq\f(3,4)x＋b，令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－eq\f(4,3)b，由已知，得eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)b))))＝6，即eq\f(2,3)b2＝6，解得b＝±3．故所求的直线方程是y＝eq\f(3,4)x±3，即3x－4y±12＝0．