www.czsx.com.cnwww.czsx.com.cn-PAGE\*MERGEFORMAT#--PAGE\*MERGEFORMAT#-PAGE\*MERGEFORMAT#-初中数学竞赛专题选讲(初三.18)绝对值一、
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提要绝对值的定义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零.a(a>0)用式子表示如下：a=<—a(a<0)[0(a=0)初中阶段学习含绝对值符号的代数式化简，方程、不等式的解法，以及函数作图等.解答时，一般是根据定义先化去绝对值符号，这时关健是按已知条件判断绝对值符号内的式子的值是正或是负，若含有变量的代数式，不能确定其正、负时，则采取零点分区讨论法.例如：0Vx<2解：当x=0,x=2时，|Mx—2)=0；当x<0或x>2时，|^(^—2)|=x(x—2)=x2—2x；当0
2时，x=4.・••原方程的解是：x=—2,x=4..(3)作函数y=x+x—2|的图象.解：化去绝对值符号，得y=—2x+2(x<0)；y=2(0WxW2)；y=2x—2(x>2).分别作出上述三个函数的图象(如图)，就是函数y=|x|+|x—2|的图象.绝对值的几何意义是：在数轴上一个数的绝对值，就是表示这个数的点离开原点的距离.用这一定义，在解含绝对值符号的方程、不等式时，常可用观察法.例如：①解方程Ix|=3；②解不等式IN<3；③解不等式k+2]>3.解：①•・•k=3的几何意义是：X是数轴上到原点的距离等于3个单位的点所表示的数，即3和－3，•••方程k—3的解是x=3,x=-3.②•・•k<3的几何意义是：x是数轴上到原点的距离小于3个单位的点所表示的数，二不等式|k<3的解集是一33的几何意义是：x是数轴上到点（一2）的距离大于3个单位的点所表示的数，二，+2|>3的解集是x<—5或x>1.（如下图）一口II二一一、--5'-2014.绝对值的简单性质：①绝对值是非负数；②两个互为相反数，它们的绝对值相等.根据这些性质，可简化函数的作图步骤.例如：（1）对整个函数都在绝对值符号内时，可先作出不含绝对值符号的图象，再把横轴下方的部份，绕x轴向上翻折作函数图象：①丫二k-1②丫=k2-k-2www.czsx.com.cnwww.czsx.com.cn-PAGE\*MERGEFORMAT#--PAGE\*MERGEFORMAT#-（2）当f（―x）=f（x）,图象关于纵轴对称，这时可先作当x<0时函数图象，再画出关于纵轴对称的图象.例如：y=x2—2x—3的图象，可先作y=x2+2x—3自变量x<0时的图象（左半图）再画右半图（与左半图关于纵轴对称）.（3）把y=同的图象向上平移网个单位，所得图象解析式是y=|x|+网；（4）利用图象求函数最大值或最小值，判断方程解的个数都比较方便.、例题例1.已知方程凶=ax+1有一个负根并且没有正根，求a的值.（1987年全国初中数学联赛题）解：当x<0时，原方程为一x=ax+1,・•・a+1>0.当x>0时，原方程为x=ax+1,x=-^>0,La•・•方程有一个负根并且没有正根，②•・•点(x)到点A(—1)与到点B(2)的距离的和等于4,|AB|=3Aa的取值范围是aN1.例2.求函数y=2|x—3|-X的最小、最大值.解：当x<0时，y=-x+6；当0Wx<3时，y=—3x+6；当x三3时，y=x—6.根据图象有最低点而没有最高点A函数没有最大值只有最小值一3(当x=3时).例3.解方程：①X+2|=解：①•・•点(x)到点A(—2)和点B(4)的距离相等(如下图)，Ax=1.Ax=2.5,x=-1.5.例4.解不等式：①1Wx+2|W3；②任+1|-x—2|>1.解：①点(x)到点A(—2)的距离大于或等于1而小于或等于3在数轴上表示如图，・•.不等式的解集是：—5WxW—3或一1WxW1②点(x)到点(-1)的距离，比到点(2)的距离大1个单位以上.在数轴上表示,如图：・••不等式的解集是x>1.例5.a取什么值时，方程||x-2|-1=a有三个整数解？(1986年全国初中数学联赛题)解：化去绝对值符号，得x—2—1=±a,x—2=1±a,x—2=±(1±a),；.x=2±(1±a).当a=1时，x恰好是三个解4,2,0.用图象解答更直观；(1)先作函数y=||x—2—1图象，(2)再作y=a(平行于横轴的直线)与y=||x—2-1图象相交，恰好是三个交点时，y=1,即a=1.本题若改为：有四个解，则01；一个解，则a不存在；无解，则a<0.三、练习.方程x+3=4的解是.TOC\o"1-5"\h\z.方程X-2-X+6|=0的解是..方程X+1|+X—2=3的解是..方程X—3|+X=5的解是..不等式2WX—3W5的解集是..不等式|x+1|+|x—2|<5的解集是.不等式|x+1|+|x—2|<3的解集是.不等式|2x-1<|x-1|的解集是.9,已知'i'(x-3)2=3-x,那么1-x|+x=..关于x的方程|x|=ax+2有根且只有负根，求a取值范围..a取什么值时，方程||x|-2|-1=a无解？有解？有最多解？.作函数y=|x+2|+|x-1|+|x-3|的图象；并求在一3WxW3中函数的最大、最小值..解方程|x-1|+|x-5|=4..作函数y=|x-x2|+1的图象..选择题：①,对于实数x，不等式1WIx—2|<7等价于()(A)xW1或xN3(B)1WxW3(C)—5WxW0(D)—5WxW1或3WxW9(E)—6WxW1或3WxW10②不等式Ix—1|+|x+2|<5的所有的实数解的集合是()(C)&：-2
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