RevisedfinaldraftNovember26,2020考研数学二真题及
答案
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2006年考研数学二真题填空题（1~6小题，每小题4分，共24分。）曲线y=x+4sinx5x-2cosx的水平渐近线方程为_________。【答案】y=15。【解析】limx→∞x+4sinx5x-2cosx=limx→∞1+4sinxx5-2cosxx=15故曲线的水平渐近线方程为y=15。综上所述，本题正确答案是y=15【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线设函数fx=1x30xsint2dt,x≠0,a,x=0在x=0处连续，则a=_________。【答案】13。【解析】a=limx→01x30xsint2dt=limx→0sinx23x2=13.综上所述，本题正确答案是13【考点】高等数学—函数、极限、连续—初等函数的连续性反常积分0+∞xdx(1+x2)2=_________。【答案】12。【解析】0+∞xdx(1+x2)2=limb→+∞0bxdx(1+x2)2=limb→+∞120bd1+x21+x22=12limb→+∞(-11+x2)0b=12limb→+∞1-11+b2=12综上所述，本题正确答案是12【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分微分方程y'=y(1-x)x的通解为__________。【答案】y=Cxe-x，C为任意常数。【解析】dyy=1-xxdxlny=lnx-lnex+lnC即y=Cxe-x，C为任意常数综上所述，本题正确答案是y=Cxe-x。【考点】高等数学—常微分方程—一阶线性微分方程设函数y=y(x)由方程y=1-xey确定，则dydxx=0=__________。【答案】-e。【解析】等式两边对x求导得y'=-ey-xeyy'将x=0代入方程y=1-xey可得y=1。将x=0,y=1代入y'=-ey-xeyy'，得dydxx=0=-e.综上所述，本题正确答案是-e。【考点】高等数学—一元函数微分学—复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法设矩阵A=21-12，E为二阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则B=___________。【答案】2。【解析】BA=B+2EBA-E=2EB(A-E)=2EBA-E=22=4因为A-E=11-11=2，所以B=2。综上所述，本题正确答案是2。【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质，行列式按行(列)展开定理填空题（7~14小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）设函数y=f(x)具有二阶导数，且f'x>0,f''x>0，x为自变量x在点x0处的增量，y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若x>0，则(A)0
fx0+f'x0x,x≠0，于是fx0+?x-fx0>f'x0x>0,x>0，即0asina+2cosa+πa.【解析】本题可构造函数，利用函数的单调性来证明。设fx=xsinx+2cosx+πxx∈[0,π]则f'x=sinx+xcosx-2sinx+π=xcosx-sinx+πf''x=cosx-xsinx-cosx=-xsinx<0,x∈(0,π)则f'x在[0,π]上单调减，从而有f'x>f'π=0x∈(0,π)因此，fx在[0,π]上单调增，当0f(a)即bsinb+2cosb+πb>asina+2cosa+πa。【考点】高等数学—函数、极限、连续—基本初等函数的性质（本题满分12分）设函数f(u)在(0,+∞)内具有二阶导数，且z=f(x2+y2)满足等式2zx2+2zy2=0(=1\*ROMANI)验证f''u+f'(u)u=0；(=2\*ROMANII)若f1=0,f'1=1，求函数f(u)的表达式。【解析】本题主要考查复合函数偏导数的求解。设u=x2+y2,则zx=f'uxx2+y2,zy=f'uyx2+y22zx2=f''uxx2+y2xx2+y2+f'ux2+y2-x2x2+y2x2+y2,=f''ux2x2+y2+f'uy2(x2+y2)32,2zy2=f''uy2x2+y2+f'ux2(x2+y2)32,将2zx2,2zy2代入2zx2+2zy2=0得f''u+f'uu=0。令f'u=p,则p'+pu=0dpp=-duu,两边积分得：lnp=-lnu+lnC1,即p=C1u,即f'u=C1u由f'1=1可得C1=1.所以有f'u=1u,两边积分得fu=lnu+C2,由f1=0可得C2=0,故fu=lnu。【考点】高等数学—多元函数微积分学—多元函数的偏导数（本题满分12分）已知曲线L的方程为x=t2+1,y=4t-t2t≥0.(=1\*ROMANI)讨论L的凹凸性；(=2\*ROMANII)过点(-1,0)引L的切线，求切点(x0,y0)，并写出切线的方程；(=3\*ROMANIII)求此切线与L(对应于x≤x0的部分)及x轴所围成的平面图形的面积。【解析】确定凹凸性，也就是确定二阶导数的正负，要求切线方程，先求斜率。因为dydx=y'(t)x'(t)=4-2t2t=2t-1所以d2ydx2=ddt2t-1dtdx=-2t21x't=-1t3当t>0时，d2ydx2<0,故L是凸的。当t=0时,x'0=0,y'0=4,x0=1,y0=0,dydx|t=0=∞,则t=0时，L在对应点处切线方程为x=1,不合题意，故设切点(x0,y0)对应的参数为t0>0,则L在(x0,y0)的切线方程为：y-4t0-t02=(2t0-1)(x-t02-1)令x=-1,y=0,得t02+t0-2=0,解得t0=1或t0=-2(舍去)，由t0=1知，切点为2,3,切线方程为y=x+1令y=4t-t2,得t1=0,t2=4,对应曲线L与x轴的两个交点(1,0)和17,0,由以上讨论知曲线L和所求的切线如图所示，故所求平面图形面积为：S=-12(x+1)dx-12ydx=92-01(4t-t2)d(t2+1)=92-014t-t22tdt=73.yx(17,0)(1,0)(2,3)(-1,0)L【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、平面曲线的切线和法线高等数学—一元函数积分学—定积分的应用（本题满分9分）已知非齐次线性方程组x1+x2+x3+x4=-1,4x1+3x2+5x3-x4=-1,ax1+x2+3x3+bx4=1有三个线性无关的解。(=1\*ROMANI)证明方程组系数矩阵A的秩rA=2；(=2\*ROMANII)求a,b的值及方程组的通解。【解析】本题主要考查含参数的非齐次线性方程组的求解问题。设α1,α2,α3是非齐次线性方程组的三个线性无关的解，那么α1-α2,α1-α3,是Ax=0线性无关的解，所以n-rA≥2,即r(A)≤2,显然矩阵A中有2阶子式不为0,又有rA≥2,从而秩rA=2.对增广矩阵作初等行变换，有A=1111435-1a13b-1-11→11110-11-501-a3-ab-a-13a+1→111101-15004-2ab+4a-5-1-34-2a.由题设和第一问知，rA=rA=2,故有4-2a=0,b+4a-5=0解出a=2,b=-3,此时A→102-401-1500002-30那么α=(2,-3,0,0)T是Ax=b的解，且η1=(-2,1,1,0)T,η2=(4,-5,0,1)T是Ax=0的基础解系，所以方程组的通解是α+k1η1+k2η2(k1,k2为任意常数)。【考点】线性代数—线性方程组—非齐次线性方程组的通解线性代数—矩阵—矩阵的秩（本题满分9分）设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(-1,2,-1)T,α2=(0,-1,1)T是线性方程组Ax=0的两个解。(=1\*ROMANI)求A的特征值与特征向量；(=2\*ROMANII)求正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得QTAQ=Λ.。【解析】本题中A未知，故用定义法求解。因为矩阵A的各行元素之和均为3,即有A111=333=3111,所以3是矩阵A的特征值，α=(1,1,1)T是A属于3的特征向量。又Aα1=0=0α2,故α1,α2是矩阵A属于λ=0的两个线性无关的特征向量。因此矩阵A的特征值是3,0,0.λ=3的特征向量为k(1,1,1)T,其中k≠0为常数；λ=0的特征向量为k1(-1,2,-1)T+k2(0,-1,1)T,其中k1,k2是不全为0的常数。因为α1,α2不正交，故需要Schmidt正交化，β1=α1=(-1,2,-1)T,β2=α2-α2,β1β1,β1β1=0-11--36-12-1=12-101,单位化γ1=16-12-1,γ2=12-101,γ3=13111.那么令Q=γ1,γ2,γ3=-16-121326013-161213,得QTAQ=Λ=003【考点】线性代数—矩阵的特征值和特征向量—矩阵的特征值和特征向量的概念、性质、计算
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