03-第三节-微积分基本公式

第三节微积分基本公式积分学中要解决两个问题：第一个问题是原函数的求法问题,我们在第四章中已经对它做了议论；第二个问题就是定积分的计算问题.假如我们要按定积分的定义来计算定积分,那将是十分困难的.所以追求一种计算定积分的有效方法便成为积分学发展的重点.我们知道,不定积分作为原函数的观点与定积分作为积分和的极限的观点是完整不相关的两个观点.可是,牛顿和莱布尼茨不单发现并且找到了这两个观点之间存在着的深刻的内在联系.即所谓的“微积分基本定理”,并由此奇妙地开拓了求定积分的新门路——牛顿-莱布尼茨公式.从而使积分学与微分学一同组成变量数学的基础学科——微积分学.牛顿和莱布尼茨也所以作为微积分学的奠定人而载入史册.散布图示★前言★引例★积分上限函数★积分上限函数的导数★例1★例2-3★例4★例5★例6★例7★原函数存在定理★牛顿-莱布尼兹公式★牛顿-莱布尼兹公式的几何解说★例8-9★例10★例11★例12★例13★例14★例15★例16★例17★内容小结★讲堂练习★习题5-2★返回内容重点一、引例x二、积分上限的函数及其导数：(x)f(t)dta定理2若函数f(x)在区间[a,b]上连续,则函数(x)xf(t)dta就是f(x)在[a,b]上的一个原函数.三、牛顿—莱布尼兹公式定理3若函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数,则bF(a).f(x)dxF(b)(3.6)a公式(3.4)称为牛顿—莱布尼茨公式.例题选讲积分上限的函数及其导数例1(E01)求右图中暗影地区的面积解由题意，获得0121x2dxy暗影地区的面积2sec2xdx024ysec2xy1x200112dx2dxsec2xdxdxx14400x314O1xtanx011302.243例2(E02)求dx2dxcostdt.0dxcos2x.解cos2tdtdx0例3(E03)求dx3t2.dx1edt解这里x3et2dt是x3的函数，因此是x的复合函数，令x3u,则(u)uet2dt,依据11复合函数求导公式，有dx32dtdu2du(u)3x2eu23x2ex6dxetetdt3x21du1dx例4设f(x)是连续函数,试求以下函数的导数.F(x)sinx(t)dt;(2)F(x)xxf(t)dt;F(x)xf(xt)dt.(1)ef0(3)cosx0解(1)F(x)ef(sinx)cosxef(cosx)sinx.(2)由于F(x)xxf(t)dt,所以F(x)xf(x)xf(t)dt.00(3)由于F(x)xt)dtuxt0f(u)duxf(xxf(u)du.，所以，F(x)f(x).00例5(E05)设函数yf(x)由方程y2et2dt00所确立.求dy.sintdt0xdx解在方程两边同时对x求导:dy2et2d00dx0dtdxxsintdt于是dy2et2dyd0sintdt0dy0dtdxdxx即ey4(2)dy(sin)0ydxx故dysinx4.dx2yey1et2dt例6(E04)求limcosx.x0x2剖析:这是0型不定式,应用洛必达法例.0解d1t2dcosxt2duet2dt(cosx)dxedtdxedtdu1cosx1ucosxecos2x(cosx)sinxecos2x,1et2dtsinxecos2x1.故limcosxlimx0x2x02x2extf(t)dt例7设f(x)在(,)内连续,且f(x)0.证明函数F(x)0在(0,)内为单xf(t)dt0调增添函数.dxdx证由于tf(t)dtxf(x),f(t)dtf(x),dxdx00xf(x)xf(t)dtf(x)xf(x)xt)f(t)dt0tf(t)dt(x所以F(x)00,x2x2f(t)dt0f(t)dt0f(x)0(x0),xf(t)dt0,0(xt)f(t)0,x(xt)f(t)dt0,0F'(x)0(x0).故F(x)在(0,)内为单一增添函数.牛顿—莱布尼兹公式例8(E06)求定积分1x2dx.031x31x是x2的一个原函数，由牛顿-莱布尼茨公式得:2dx解x303001.3311.例9（E07）求dx2x解当x0时,1的一个原函数是x例10设f(x)2x0x151x,2ln|x|,11dx1ln2.ln|x|2ln1ln22x2求f(x)dx.0解如图(见系统演示)，在[1,2]上规定:当x1时,f(x)5,则由定积分性质得:212126.f(x)dxf(x)dx1f(x)dx2xdx5dx000111|dx.例11（E08）计算|2x012x,x1由于|2x1|2解12x1,x2所以11/2121/2201|2x1|dx(12x)dx(2x1)dx(x)(xx0x).011/21/22例12求定积分/3cos2xdx.1/2/3cos2xdx/3sin2xdx/3|sinx|dx0/3解1/2/2sinxdxsinxdx/2/200cosx0/33cosx/22.例13(E09)2max{,2}dx.求2xx解由图形(见系统演示)可知x2,2x0f(x)max{x,x2}x,0x1x2,1x22max{x,x2}dx02dx1211.xxdxx2dx22012例14（E10）计算由曲线ysinx在x0,x之间及x轴所围成的图形的面积A.解如图(见系统演示),依据定积分的几何意义,所求面积A为Asinxdxcosx0cos(cos0)2.0例15汽车以每小时36km速度行驶,到某处需要减速泊车.设汽车以等加快度5m/s2刹车.问从开始刹车到泊车,汽车驶过了多少距离?解第一要算出从开始刹车到泊车经过的时间.设开始刹车的时刻为t0,此时汽车速度为v036km/h361000m/s10m/s.3600刹车后汽车减速行驶,其速度为v(t)v0at105t.当汽车停住时,速度v(t)0,故由v(t)105t0t10/52(s).于是这段时间内,汽车所驶过的距离为22t22s5t)dt10t510(m).v(t)dt(102000即在刹车后,汽车需驶过10m才能停住.例16(E11)设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,证明在开区间(a,b)内起码存在一点,b)(ba)(ab).使f(x)dxf(a证因f(x)连续,故它的原函数存在,设为F(x),即设在[a,b]上F'()f().xx依据牛顿-莱布尼茨公式,bF(b)F(a).有f(x)dxa明显函数F(x)在区间[a,b]上知足微分中值定理的条件,所以按微分中值定理,在开区间(a,b)内起码存在一点,使F(b)F(a)F'()(ba),(a,b),b故f(x)dxf()(ba),(a,b).a注:本例的结论是对积分中值定理的改良.从其证明中不难看出积分中值定理与微分中值定理的联系.讲堂练习1.设f(x)在[a,b]上连续,则xbf(t)dt与f(u)du是x的函数仍是t与u的函数?它们的ax导数存在吗?假如存在等于什么?2.用定积分定义和性质求极限111limn2.nn12n1x23.计算定积分2dx.01x