第六章期权定价2021/9/111教学内容股价过程BSM随机微分方程风险中性定价B-S期权定价公式标的资产支付连续红利情况下的期权定价欧式指数期权、外汇期权和期货期权2期权马尔科夫过程(Markovprocess)无记忆性：未来的取值只与现在有关，与过去无关如果股价过程是马尔科夫过程，那么股价在未来某时刻的概率分布不依赖于股价过去的路径股价的历史信息全部包含在当前的股价当中，简单的技术分析不能战胜市场股价过程是马尔科夫过程等价于股票市场的弱有效性3期权Wiener过程(布朗运动)——定义瞬时增量为增量的均值等于0增量的
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差等于在任意两个微小时间段内的改变量是独立的Wiener过程是Markov过程4期权Wiener过程(布朗运动)——基本性质Wiener过程(长时间段内)的增量增量的均值等于0增量的标准差等于在任意时间段内的期望路径长度为无穷大在任意时间段内，z取某一给定值的期望次数等于无穷大5期权广义Wiener过程x是广义Wiener过程，如果漂移速度a是常数b是常数x是广义Wiener过程增量的均值等于标准差为6期权Ito引理x是Ito过程，如果Ito引理：G是x与t的函数，在一定的正则条件下，因此，G也是Ito过程7期权Ito引理——应用于股票远期价格标的资产为不分红的股票，则远期价格为运用Ito引理，得到，8期权股价过程股价过程：几何布朗运动，：单位时间内股票价格的期望收益率：股价的波动率.S为股价过程，则9期权股价过程——对数正态分布股价对数过程，称股价呈对数正态分布10期权股价过程——收益率分布股票收益率(长时间尺度)与瞬时期望收益率的差异约定：在没有特别声明的情况下，股票收益率指瞬时期望收益率11期权BSM随机微分方程——假设股价过程为Ito过程卖空无限制没有交易成本、税收，证券是无限可分的衍生工具在到期之前不产生红利不存在套利机会证券可以连续交易所有期限的无风险利率同为常数12期权BSM随机微分方程——推导f
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示股票衍生工具的价值，则它是股价与时间的函数离散形式13期权BSM随机微分方程——推导由于股价过程与衍生工具价格过程中的随机部分是相同的，因此，通过选择股票与衍生工具的适当组合可以消除掉Wiener过程。1个单位衍生工具空头，份股票把上述投资组合的价值记作14期权BSM随机微分方程——推导组合的价值不包含随机部分，因此是瞬时无风险的股票衍生工具都满足上述方程，不同工具的差异体现在边界条件上欧式买权：当t=T时，欧式卖权：当t=T时，15期权BSM随机微分方程——应用于股票远期股票远期的价格满足BSM方程16期权BSM随机微分方程BSM的任何解都是某种可以交易的衍生工具的理论价格，并且它的交易不会导致套利机会如果不满足BSM方程，它是某种衍生工具的价格，那么该衍生工具的交易必然导致套利机会17期权风险中性定价(risk-neutralvaluation)Black-Scholes-Merton方程不包含股票收益率，说明衍生工具的价值与投资者的风险偏好无关。因此，在定价衍生工具时，可以采用任何风险偏好，特别地，可以假设投资者是风险中性的在风险中性世界中，所有证券的期望收益率都等于无风险利率风险中性定价的一般程序假设标的资产的期望收益率等于无风险利率计算衍生工具在到期日的期望支付(payoff)把期望支付按无风险利率贴现风险中性定价是求解BSM方程的一种人造方法，用该方法求得的解适用于任何投资者(不仅限于风险中性的投资者)18期权风险中性定价——应用于股票远期边界条件：根据风险中性定价原则，19期权欧式期权定价期权定价是一件非常具有挑战性的任务。在20世纪的前面70多年里，众多经济学家做出无数努力，试图解决期权定价的问题，但都未能获得令人满意的结果。在探索期权定价的漫漫征途中，具有里程碑意义的工作出现在1973年——金融学家F.Black与M.Scholes发表了“期权定价与公司负债”的著名论文该论文推导出了确定欧式期权价值的解析表达式——Black-Scholes欧式期权定价公式，探讨了期权定价在估计公司证券价值方面的应用，更重要的是，它采用的动态复制方法成为期权定价研究的经典方法M.Scholes主要因为这一工作与R.Merton一道荣膺了1997年的诺贝尔经济学奖20期权BS期权定价公式21期权欧式期权定价——轶事巧合的是，国际上第一个期权交易所——芝加哥期权交易所于1973年4月底挂牌营业，略早于B-S公式的正式发表（5-6月号）两位作者最先把论文投给JPE，遭到了编辑的拒绝，而且没有得到审稿意见。拒绝的理由：金融太多，经济学太少他们于是向经济学与统计学评论投稿，同样在没有得到审稿意见的情况下遭到拒绝在芝加哥人E.Fama和M.Miller与JPE杂志的编辑打了招呼以后，JPE才最终发表了这篇论文这一番波折导致他们检验B-S公式的论文发表在先22期权BS期权定价公式——离散红利不分红的股票欧式期权的价值由五个因素决定：股票的市场价格、期权执行价格、期权距离到期的时间、无风险利率以及标的股票的波动率如果标的股票在期权到期之前分配现金红利，由于股票期权没有分红的保护，因此不能直接利用B-S期权定价公式确定欧式期权的价值。解决这个问题的
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是：用股票的市场价格减去股票在期权到期日之前分配的红利的现值作为股价代入到B-S公式中，从而得到欧式期权的价值23期权美式买权的执行问题——股票分红分红前夕：相应的分红数量：如果在最后一次分红前夕执行期权，投资者得到的价值为如果在最后一次分红前夕不执行期权，那么，期权的下界告诉我们，所以，如果，即‘，那么，在最后一次分红前夕执行期权不是最优
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如果，可以证明，在股价充分高的情况下，执行期权是最优方案24期权美式买权的执行问题——股票分红一般地，如果，那么在第I次分红前夕执行期权不是最优方案总结美式买权如果提前执行，通常发生在最后一次分红的前夕如果对i=1,2…n()成立，那么，提前执行不是最优方案25期权美式卖权的执行问题——股票分红美式卖权在分红之前的一段时间里执行不是最优方案如果对i=1,2…n()成立，那么，卖权不应该提前执行26期权欧式股票期权——连续红利下述两种股票在T时刻的价格分布相同当前股价为，支付连续红利，红利率为q当前股价为，不支付红利定价原则：在定价标的股票支付连续红利的欧式期权时，可以把它当作标的股票不支付红利的欧式期权，只要用替代当前股价27期权欧式股票期权——连续红利期权下界平价关系28期权欧式股票期权——连续红利BSM随机微分方程风险中性定价29期权欧式股票期权——连续红利30期权股票指数期权与外汇期权连续红利的BS定价公式可以直接用于股票指数期权与外汇期权的定价31期权期货期权假设期货价格过程为在连续红利的期权定价公式中，用期货价格代替股票价格，并且用无风险利率替代红利率，就得到期货期权的定价公式32期权
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