变易命题_数学证明的一种方法

数 学 通 讯 年第 期 变易命题 —数学证明的一种 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 奚家成 江苏省南通市跃龙中学 许多数学证明题 , 运用通常的思维方式 不能顺利解决 这时 ,往往可以把原题的条件 或结论作适当的变化 , 先建立一个与原题密 切相关的新命题 , 以便在考察新命题的过程 中 , 逐步寻求原题的证明途径 根据命题的不同特点 , 一般可以从以下 儿个方面来变易论题 , 一 、 简化 已知条件 有些结构 比较复杂的命题 , 可以简化题 中的某一条件 , 甚至暂时撇开不顾 , 先考虑一 个简化问题 这种简化问题 , 对于证明原题 , 常常能起到引路作用 例 设 , , 为三个 互 不相等的 实 数 , 且 扩少扩 一 但是 , 经过计算即可发现 , 这 条路 不容易走通 如果审察式子 , 认为 , , 地 位相同 , 从而以为 一 一 士 则与 已知 条件“ , , 为三个互 不相等 的实数 ”相 矛 盾 , 同样不能给出证 明 注意到题 中 , 之 有轮换关系 , 可考虑暂时简化命题的条件 , 减 少一个未知数 , 把原题变成 设 二 , , 为互不相等的实数 , 且 二 告一 , 、一 亩 , 求证 勺 , 一‘ 为了找出 , 之间的关系 , 从 一下一 —一 告移项 , 得 二一 , , 去分母得 十一 , 十百今十丁 ① 求证 、 犷二 , 一 思考方法 拿到这道题 , 一般都想从解方 程 组 ①入 手 , 直接 解 出 , , , , 从 而 证 明 一 一 因为 , 是互不相等的实数 , 所以 妙一 一 , 于是 犷 简化后的命题 比原题简单得 多 , 但结构 是相似的 因此 , 上述证明途径 , 可以指 导原 题的证明 洲气 产 , 巾 闭 场 沪 , 肠 沪闷 沪 , 卜护 , 几 沪啼卜沪 知 沪月‘训阅蛛产角卜 洲 洲洲 , 卜 沪 , 拓 ,砂即卜目月 切 , 卜 碑阅嘛俐明灿尸闷咖护叫“卜沪旧场 沪幽 ‘ , ‘ 州闷 ,训 , ‘ 创 , 甲 , 尸曳肠尸闷‘ 产 , ‘ ,沪 , ‘ 沪 , 如俐闷 帅 碑喇场 ‘州 产阅“ 刚刁 润, 司 洲 明 一 是答案中第三小的数 令率万一 , 解此方程得 一 故工 , 一弃气的最小值是一 应选答案‘ ”砂 切 一 ’ 一 目 、 一 ” 例 一 一 定义在闭区间 , 二 上 , 则 的最大值是 ‘ , · ‘ , 晋一‘ · , 、 “ · 言“ · 的最大值是 例 二 应选择答案 武汉市 一 学年度第一 次部分学校高三调研测试题 设 则 的最大值是 十 一 下汀 , 了了 了百 解 答案中 了了最大 令 、 一 侧厂丁 , 此方程有解 其 中 一 二 是 满足 解 在 闭区间【 , 上 , 有 一 一 已知条件 百汀 的解 于是 镇 , , , 。 一 气打十 从花二 汀 。 田 此却仕乙 , 〕上 的最大值 一 ‘ 万汀 无解 , 即普汀 不是 令 一 一 二 , 士 二 是此方程在 〔 司 上的一个解 , 故函数 少 一 在 〔 , 二 〕上 的最大值是 丫万 应选抒答案 从以上六 个例子可以看 出 采用 卜岌炸 方程的方法解上面一类选择题 中函数坟仇问 题是很方便的 当然 , 解此类问题还丫了其 他方 法 但本文所用方法充分 利少」厂选择毯的特 点 , 是一种特殊的方法 年第 期 数 学 通 讯 证 由 ①式得 所以 , 介于 与 之间所有分母为 的 既约分数的和为 一一 “一一 工 一 ’一 一 尔 ’一‘ 一‘ 一‘ ‘ , 、 一 一 一 , 去分母得 ‘ 一 ’ 一 ’一 之 ’ 飞“ 少一‘ 一‘ 一 工 ’ 、 沈咨, 气之 一 少 一 · 三式相乘 , 得 犷少之 一 一 一 一 一 艺 一 一 因为 , , 之 是互不相等的实数 , 则 一 少一 一 井 , 扩犷扩一 例 设 , 为正整数 , 且 从 , , 求证 在 与 之 间所有分母为 的既约分数之 和为 , 乞一 矿 思考方法 本题 已知条件由字母给出 , 比 较抽象 , 所有分母为 的既约分数不易具体 写 出 可以给 哪 以某些 确定的值 , 例如设 一 , , 一 , 先考虑一个简化的命题 证 明在 与 之间所有分母为 的既约 分数之和为 一 一 ‘ 显然 , 介于 与 之间所有分母为 的 既约分数为 循着上述思路 , 容易证明原题 证 介于 仇 与 之间所有分母 为 的 既约分数为 万一 厂一万一 厂一万一于叮一厄一 ’ , 一 一 ’ 数列 ④按奇数项和偶数项拆成两个数列 十 一 ④ ’ ”‘ ” 十 十 一 ’ ’‘ ’ ‘ ’ ’ 数 列 ⑤是 一 等 差 数 列 ⑥ ⑥ 它 的 首 项 为 十 , 末项 为黑卫 , 公差为 , 项数为 、 , 所以 , 数列 ⑤的和为 一旦华华护卫禁丛 ⋯十旦牛旦 , , 一 一 同理 , 数列 ⑥也是公差为 的等差数列 , 它的 和为 。 一 一一不 —州卜 一一不一 咋份二 卜十 , 二 一 , , 一 十 ①一一一一一一一一一一 观察数列 ① , 不难发现 , 它的奇数项和偶数项 均可组成公差为 的等差数列 所以 , 数列 ④的和为 十 一 椒 一 , 一 。 , 千 叶 — —— 一 ,②③’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ 数列②的和为 。 一万 十 万万 十 一不 十下 十 下丁 又 十 义 数列 ③的和为 一万 十 花万 州卜饮二 , 十 气丁 目护 , 丁 石 从上面的例子可 以看出 , 简化条件后的 命题 , 常常可以作为发现原题证 明方法的钥 匙 二 、 增加辅助条件 有的命题初看上去似乎缺少条件 , 一时 不易入手 在这种情况下 , 可以暂时增加一些 寿盯助条件 , 以拓宽思路 例 设 又 十 又 夕 口 ① 数 学 通 讯 年第 期 求证 , , 。 、 , , — 一 、口 一 夕州卜 —一 一 夕 一 丝三 卜 。 二 — 思 考 方 法 要 证 明 ②式 , ② 必 须 先 求 出 , , 一 一 一 的表达式 注意到 已知条件 有些命题 , 证明的困难来 自结论的高度 概括 , 难以直接和条件联系起来 这时 , 可以 考虑一下 , 能否先把结论分解成几个 比较简 单的部分 , 以便各个击破 , 证出原题 例 过 △ 内一点 尸 , 引 , , , , , , 、 ‘ 、一, 图 求证汽若 升号, 占 ‘ ’ 二 ‘ “ 、例 ‘ 产 ’ 勺 、 ‘ ’ ’ ①是由等比形式给出的 , 所以 , 如果运用辅助 未知量 , 设 ①式的比值为 , 则上述表达式 就容易求得 由此运用有关的三角公式 , 本题 就可以证出 证 设 ①式的比值为 , 则 夕 , 少 月 , 夕 , 所以 器一 · 思 考方法 结论 左边有三个分式 , 包 含六条两两平行的线 段 , 右边是常数 为 了便于考察结论两边 、 图 十 一 · , 一夕 夕 月 夕 一 月 · , 一夕 的关系 , 可以把结论左边分解为三个部分 , 利 用图中的一些相似三角形 , 把这三个分式分 别转化为 △ 某一边 如 上有关线段 的比 ①②粤孕悠黔粤缪骡牛华典烈嘿牛粤鲤典黔华 印一 少 戈 一 少一 气口十叼 戈 一 夕 一 一口 证 ‘ , 月 刀 ’ · ’ 反 二 一 月 · , 一夕 ,’ , 注意到四边形 尸 和 尸 均为平行四 月 一夕 。 , , 。 、 ‘ , , 、 , 万 乙气口 , 卜拼少一 乙又口曰卜 少」乙 一 ③ 边形 , 则 尸一 , 尸 刀刀 , 一 同理可得 一 由此 , 一 ③ · 月一 。 , 。 二 、 , 。 。、 , 几万 乙气 州卜 一 乙气口日 祥少」 乙 一 ④ ① ② ③ , 得 下不不 十万 一下 十气井石 力 七 生丈〕 八刀 十 一一一下 , 万一一了 力 一一习 十 , 、 、 — 气 一— , 。 、 。 , , , , 、 , 又 , 乙 口州卜口 夕一 乙气口 , 卜 少 」乙 一 一 ⑤ ③ ④ ⑤ , 得 , 。、 , 。 、 、 — 气“ 一 夕 , , — 一 气尸 一 ,一 一 州卜 — 一 气 , 一 夕一 。 — 例 设置辅助未知数的方法 , 有一定的 普遍意义 对于条件由等比形式给出的命题 , 一般都可设比值为 或 , 从而通过辅助 未知数 或 把条件和结论联系起来 三 、恰当分解结论 例 设 △ · 的三边为 , , , 三个 对应 内角的角平分线 为 。 , 。 , 。 求证 , ‘ 思考方法 直接证 明不易得手 联想有关 三 角形 内角平分线的 图 命题 , 有 ‘ 。 。 比 图 于是可 以把结论分成 此 , 蜻, 好三个部 分来证明 年第 期 数 学 通 讯 公井井共参 谈 分 琪葬牛 汀效 爪 一 介班共澎共沐爪沐共李共资共寿效 本刊在 年第 期刊登 了陕西永寿 县中学安振平的《一类分式不等式的新证法 》 一文 本文给出了另一种更初等 、更简单的证 法 , 思路 自然 , 方法更容易被高中学生所接受 和掌握 应用到 的结论 若 。 , , , ⋯ , , , 。 任 , 则 年莫斯科竟赛试题 证 丁 下一 十 — 一 不一下 口 州卜 州卜 叫 十 、 , 万 一一 十 , 十 气—洲卜 月一 叫 一共十 , 一 州卜口州卜 少 万, 丁一 州卜 —州卜 一 产下 , 口 州卜 卜 州卜 、 , 气 卜 州卜 一卜 少气一 州卜一 日一 ⋯ 竺 、 十一 少护 “ 当且仅当 , 一 召 口 一 时等号成立 尸 , , 、 , 、 , , 、 , 一 万万 气 州卜 少 卜气 州卜 少州卜气 十白少乙 一 一 , 气下一下一 一卜 — 叫卜一 二 丁 少 州一 一 寸一 一妻 此命题源 于 高中课本代数 例 已知 , , 〔 十 , 求证 了丫一 十 —十 一下 、 石 多 几万卜 ‘ 州一 一 乙 证 延长艺 平分线 交 △ 外 接圆于 图 卜 △ 的 △ 思考方法 结论左边是三角形三 内角的 半角正切的平方和 , 右边是 如果联想三角 一 , 二 一 、 , , ‘ 一 , 、 二 , 一 、形内有关正切半角的恒等式 苦 · 答十· 刁 二 、一 , 动 , , “ ’一 , 一、 一 一 一 , 则原题结论一十一 匕 一 匕 艺 一 匕 一万五 又万井 卜 卜 , 即 营 同理可得 。 嵘 子 ①又 ②又 ③ , 得 , 占 云会子, ‘ 四 、等价替换结论 万 一 乙 一 妻一可 改变 为 求 证 , 万 十 白 万 十 ‘ 自 万 万 十 万 万 , 白 白 乙 奋 通过这一介‘一十 样的变换 , 原题就容易用代数方法证明 证 对于任意实数 , , 有 , ①②③ ①②③一一一 , 一 ‘ 万 心 , “ 石 一 ‘ ‘ 譬 普‘ 号、 譬‘ 有些命题 , 也可以通过联想把结论改换 成另一种与它等价的形式 , 从而启发寻求原 题的证明途径 例 设 △ 为任意三角形 , 证明 , 十 “ 万笋艺 百 百 一 ①十 ② ③ , 得 一一 。 十 ‘ 万十 ‘ 乙 , , 。 “ 万十 ’ 万十 ’ 万多 白 ‘ 乙 笋 百 万十 百 落十 百 百