天利考试信息网 www 盘点高考试题中关于三角函数的几种解题技巧 本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下： 一、关于 的关系的推广应用： 1、由于 故知道 ，必可推出 ，例如： 例1 已知 。 分析：由于 其中， 已知，只要求出 即可，此题是典型的知sin -cos ，求sin cos 的题型。 解：∵ 故： 2、关于tan +cot 与sin ±cos ，sin cos 的关系应用： 由于tan +cot = 故：tan +cot ， ，sin cos 三者中知其一可推出其余式子的值。 例2 若sin +cos =m2，且tan +cot =n，则m2 n的关系为（ ）。 A．m2=n B．m2= C． D． 分析：观察sin +cos 与sin cos 的关系： sin cos = 而： 故： ，选B。 例3 已知：tan +cot =4，则sin2 的值为（ ）。 A． B． C． D． 分析：tan +cot = 故： 。 答案选A。 例4 已知：tan +cot =2，求 分析：由上面例子已知，只要 能化出含sin ±cos 或sin cos 的式子，则即可根据已知tan +cot 进行计算。由于tan +cot = ，此题只要将 化成含sin cos 的式子即可： 解： = +2 sin2 cos2 -2 sin2 cos2 =（sin2 +cos2 ）- 2 sin2 cos2 =1-2 (sin cos )2 =1- = = 通过以上例子，可以得出以下结论：由于 ，sin cos 及tan +cot 三者之间可以互化，知其一则必可知其余二。这种性质适合于隐含此三项式子的三角式的计算。但有一点要注意的；如果通过已知sin cos ，求含 的式子，必须讨论其象限才能得出其结果的正、负号。这是由于（ ）2=1±2sin cos ，要进行开方运算才能求出 二、关于“托底”方法的应用： 在三角函数的化简计算或证明题中，往往需要把式子添加分母，这常用在需把含tan （或cot ）与含sin （或cos ）的式子的互化中，本文把这种添配分母的方法叫做“托底”法。方法如下： 例5 已知：tan =3，求 的值。 分析：由于 ，带有分母cos ，因此，可把原式分子、分母各项除以cos ，“造出”tan ，即托出底：cos ； 解：由于tan =3 故，原式= 例6 已知：cot = -3，求sin cos -cos2 =? 分析：由于 ，故必将式子化成含有 的形式，而此题与例4有所不同，式子本身没有分母，为了使原式先出现分母，利用公式： 及托底法托出其分母，然后再分子、分母分别除以sin ，造出cot ： 解： 例7 （95年全国成人高考理、工科数学试卷） 设 ， 求： 的值 分析：此题是典型已知含正弦函数的等式求含正切、余切的式子，故要用“托底法”，由于 ，故 ，在等式两边同除以 ，托出分母 为底，得： 解：由已知等式两边同除以 得： “托底”适用于通过同角的含正弦及余弦的式子与含正切、余切的式子的互化的计算。由于 ， ，即正切、余切与正弦、余弦间是比值关系，故它们间的互化需“托底”，通过保持式子数值不变的情况下添加分母的方法，使它们之间可以互相转化，达到根据已知求值的目的。而添加分母的方法主要有两种：一种利用 ，把 作为分母，并不改变原式的值，另一种是通过等式两边同时除以正弦或余弦又或者它们的积，产生分母。 三、关于形如： 的式子，在解决三角函数的极值问题时的应用： 可以从公式 中得到启示：式子 与上述公式有点相似，如果把a，b部分变成含sinA，cosA的式子，则形如 的式子都可以变成含 的式子，由于-1≤ ≤1， 所以，可考虑用其进行求极值问题的处理，但要注意一点：不能直接把a当成sinA，b当成cosA，如式子： 中，不能设sinA=3，cosA=4，考虑：-1≤sinA≤1，-1≤cosA≤1，可以如下处理式子： 由于 。 故可设： ，则 ，即： ∴ 无论 取何值，-1≤sin(A±x)≤1， ≤ ≤ 即： ≤ ≤ 下面观察此式在解决实际极值问题时的应用： 例1（98年全国成人高考数学考试卷） 求：函数 的最大值为（ ） A． B． C． D． 分析： ，再想办法把 变成含 的式子： 于是： 由于这里： ∴ 设： ∴ 无论A-2x取何值，都有-1≤sin(A-2x)≤1，故 ≤ ≤ ∴ 的最大值为 ，即答案选A。 例2 （96年全国成人高考理工科数学试卷） 在△ABC中，已知：AB=2，BC=1，CA= ，分别在边AB、BC、CA上任取点D、E、F，使△DEF为正三角形，记∠FEC=∠α，问：sinα取何值时，△EFD的边长最短？并求此最短边长。 分析：首先，由于 ，可知△ABC为Rt△，其中AB为斜边，所对角∠C为直角，又由于 ，则∠B= 90°—∠A=60°，由于本题要计算△DEF的最短边长，故必要设正△DEF的边长为 ，且要列出有关 为未知数的方程，对 进行求解。观察△BDE，已知：∠B=60°，DE= ，再想办法找出另两个量，即可根据正弦定理列出等式，从而产生关于 的方程。在图中，由于EC= ·cosα，则BE=BC-EC=1- ·cosα。 而∠B+∠BDE+∠1=180° ∠α+∠DEF+∠1=180° ∠BDE=∠α ∠B=60°，∠DEF=60° ∴在△BDE中，根据正弦定理： 在这里，要使 有最小值，必须分母： 有最大值，观察： ∴ 设： ，则 故： ∴ 的最大值为 。 即： 的最小值为： 而 取最大值为1时， ∴ 即： 时，△DEF的边长最短，最短边长为 。 从以上例子可知，形如 适合于计算三角形函数的极值问题。计算极值时与式子的加、减是无关，与 的最值有关；其中最大值为 ，最小值为 。在计算三角函数的极值应用题时，只要找出形如 的关系式，即能根据题意，求出相关的极值。 以上三点是在三角函数教学中的一些心得，通过以上方法，使学生能开阔视野，拓展思路，对帮助学生以清晰思路应对，解决上述类型题有一定的作用，因此，对其进行了上述的浅论和总结。
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