·198· 跨世纪2008年7月第16卷第7期cmscentury，June2008。Voll6，No．7
不等式证明的八种方法
罗 猛
(旬阳县蜀河中学，陕西，旬阳，725700)
【摘要】 不等式证明是高中数学最为常见的
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
型之一，本文讲述了其中8种方法。
【关键词】 中学；数学；教学方法
【中图分类号】c632．479 【文献标识码】B 【文章编号】 1005—1074(2008)06一0198一02
例l，设a>o，b>o，求证：(})÷+．(譬)}≥a寺+b÷
(})÷+(等)÷一a手-b÷=岩+去=一石一石
：(五=固堑±固劫
故(})÷+(譬)÷≥a号+b÷D a Z
；庠 ．、， (鲁)手+(譬)÷ 岩+老所以之i±-2铹5a虿+b÷ √a+√D
(矗±正)(皇二歪±垃
湎(五+石)垒掣：篮』磐：掣+1≥1
所以 (})专+(导)÷≥a专+b÷D a 二
的是作商比较只适用于两个正数比较大小。
2 综合法
例2：。，b，。为互不相等的正数，且。bc：1，求证：上+士
+上>矗+5+再
证明：因为abc=1，且a，b，c为互不相等的正数。
所以÷+÷+÷：bc+ac+bc：坠÷塑+竺÷尘+
a D C Z Z
坐÷竖>川i瓦i+0i而+“i豇_(基本不等式)：压
+再+矗
所以上+士+上>石+压+矗
小结：利用综合法证明不等式时，注意基本不等式的应用
及相应的技巧。
3 分析法
例3：设a>o，b>o，2c>a+b，求证：c一~／c2一ab
O；
也就是证：a+b<2c，显然成立
]●1—r]『-]●1—●—丫’]●1r1—'r—丫—r—r‘’r-]■1—r1■]，-’r'r]●1—1—丫—r．’r]r1—1—丫’1，_1—'r—丫—r’r]广1—1—'r—丫。—r]●丫
2
an2歹i
这就是数学思想方法化归在求递推数列通项中应用的一
个很好的例子。
例2：己知当x∈[O，1]时，不等式x2coc0一x(1一x)2sino
=O恒成立，试求0的取值范围。
分析：用构造思想方法，设f㈤=x2cos0一x(1一x)+(1一
x)2sin0=(cos0+sinO=1)x2一(1+2sin0)x+sin0
题设知黜：=三三 出
在条件(1)(2)下，对称轴x=磊面笔竿烹暑=万∈(o，1)
只要△
标准
excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载
的要求，实施素质教育，有效激
发数学热情，全面认识数学价值，通过介绍数学史来渗透数学
文化教育，渗透数学思想方法，培养正确的世界观、完善认知
结构，培养数学创新意识论证了渗透数学文化教育在高中数
学教学中的必要性。从而使学生体验到学习数学的自信和成
就感，培养了学生的科学态度和科学意识，创新思维和创造能
力。
4 参考文献
l 张顺燕．数学的思想、方法和应用[M]．北京：北京大学出版社．
2003
2 朱哲张。维忠．一节基于数学史的教学课例[J]．中学数学教与学，
2004(7)：56—58
跨世纪2008年7月第16卷第7期crossc∞tury，June2008，Voll6，No．7 ．199．
故原不等式c一／7=面l
求证：a，b，c，d中至少有一个为负数。
证明：假设a，b，c，d都为非负数，由a+b=c+d=l，a、b、
c、d∈[o，1]
从而ac≤／i≤生#，bd≤／丽≤蔓掣
所以ac+bd≤坐鱼#型：1
这与已知ac+bd>1矛盾
所以a，b，c，d中至少有一个为负数
小结：用反证法证明时，推出的矛盾可以是多种多样的，
有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与定理、公理矛盾，需
要注意的是推出的矛盾必须是明显的。
5 换元法
例5：已知x，y∈R，且x2+y2≤l，求证Ix2+2xy—y2I≤
挖
证明：设x=rcoso，y=r8ino，rI≤1，则
x2+2xy—y2I=r2c0820+2coso吕ine一8in2eI
=r2c∞20+sill20I
=厨|BiIl(20+詈)卜厄
小结：换元法中常用的有三角换元，利用正余弦函数的有界性
进行证明。
6 放缩法
例6：证明：÷+古+孝+⋯+÷<2(n∈N宰)
证明：k∈N木，2≤k≤n，有
1 l l 1F<可不可2酉一i
所以古+砉+当+⋯+÷<，+[(}一÷)+(÷一
÷)+．．．+(击一÷)]
=1+(1一。j一)=2一』一<2
所以原不等式成立
小结：利用放缩法证明不等式时，常用的放缩方法有增
项，减项，利用分式性质、不等式性质等，但注意放缩时要适
度。
7 判别式法
例7：设a，b，c∈R，证明：a2+∞+b2+3b(a+b+c)≥O
并指出等号何时成立。
证明：左边整理成关于a二次式，f(a)=a2+(c+3b)a
+c2+3b2+3bc
贝9△=(c+3b)2—4(c2+3b2+3bc)=3(b+c)2≤O
所以有：f(a)≥0成立，即原不等式成立。
当△=O时等号成立，即b+c=0时，这时
f(a)=a2+ac+c2+3ab=a2+2ab+b2=(a+b)2=
O
所以：a=一b=c时，等号成立。
8柯西不等式
(a；+a；+⋯+a：)(b：+b；+⋯+b：)≥(a，b。+a2b2+⋯
+anb。)2
其中：ai，b。∈R，i：l，2，⋯n，取等号的条件为：生：皇生：⋯
a1 叱
一生
一a“
例8：已知a'b，c为正数，且a+b+c=1，求证：a2+b2+c2≥
土
3
证明：因为：(12+12+12)(a2“2+c2)≥(a+b+c)2=1
所以：a2“2+c2≥÷
例9：已知a，b为正数，且a+b=l，求证：√a+÷+
√b+÷≤2
证明：因为：(1×√a+÷+l×√b+÷)2≤(12+l2)(a+
÷+b+÷)且a“=l
引孵+乒再2≤4
即：丹+再Q
小结：利用柯西不等式进行证明时，注意一定要配凑成公
式中所需要的形式，然后再利用
公式
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。
不等式证明的八种方法
作者： 罗猛
作者单位： 旬阳县蜀河中学,陕西,旬阳,725700
刊名： 跨世纪（学术版）
英文刊名： CROSS CENTURY
年，卷(期)： 2008，16(7)
被引用次数： 0次
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1.期刊
论文
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彭艳贵.Peng Yan-gui 中学数学教师数学教学观的现状调查研究 -鞍山师范学院学报2007,9(6)
中学数学教师是数学教学的实践者,他们的数学教学观直接影响看中学数学教学的质量.研究发现,中学数学教师数学教学观总体上来说还是比较符合
我国数学教学的发展的,但是在调查中也看到还有一少部分教师的数学教学观需要完善.
2.期刊论文 郇中丹.HUAN Zhong-dan 对提高中学数学教师数学修养的思考和尝试 -数学教育学报2006,15(1)
提高中学数学教师的数学修养在塑造人的过程中具有不可替代的作用.在实际调查中我们发现:一方面,教师们对提高自身数学修养水平的热情很高
;另一方面,在涉及到具体数学知识时,教师们又往往把自己的眼光仅局限在个人所讲授或熟悉的具体中学课程中,而对关系"较远"的内容则倾向于采取回
避和应付的态度.提高教师自身的数学修养是解决目前数学教育中种种弊端的关键.在实际教学中可采用如下方法加强数学教育中数学类课程:(1)加强对
数学内容的数学思想和方法论的讲解;(2)加强数学计算和论证的训练;(3)加强与中学数学课程的结合.
3.期刊论文 武建春 中学数学教育中培养数学直觉的途径 -内蒙古师范大学学报(教育科学版)2004,17(10)
中学数学教育中培养数学直觉的途径是:培养良好个性,促进直觉发展;展示知识发生过程,启发直观力;运用审美方法,开启数学直觉;提高归纳、类比
能力,引导大胆猜想;发展发散思维,促进直觉力的提高;建构智力图像,提高整体思维能力.
4.期刊论文 岑燕斌.王珏琴.王荣方.刘文武.CEN Yan-bin.WANG Jue-qing.WANG Rong-fang.LIU Wen-wu 民族地区
中学"问题探究与自主创新"数学教学模式的探索与实践研究报告 -黔南民族师范学院学报2005,25(3)
本课题研究以民族地区中学数学教学为切入点,运用文献检索法,自然实验法,对比观察法、问卷法、测验法等方法,在黔南民族地区中学开展本课题
的理论研究与实验教学.经过三年时间取得了较为显著的成效,实验班的学生对数学学科的"问题探究与自主创新"能力有显著提高,初步构建了适合民族地
区中学新的数学教学模式和教学体系,形成了有特色的创新性教学.
5.期刊论文 岑燕斌.刘文武.王珏琴 数学创新教育中民族地区中学转化"学困生"的策略 -黔南民族师范学院学报
2004,24(6)
简略地分析了民族地区中学数学学困生形成的原因,并对学困生进行了分类,着重从数学创新教育的角度提出了一新的转化策略.
6.期刊论文 童行义 中学数学实验教学探讨 -中国科教创新导刊2008,""(5)
提高中学生的数学素质,采用中学数学实验教学,是一个新的课题.本文就中学数学实验教学进行详细的阐述.
7.期刊论文 鲍曼.张红伟.郭慧莹.马丽丽.BAO Man.ZHANG Hong-wei.GUO Hui-ying.MA Li-li 哈尔滨市私立中学学
生数学成就动机调查研究 -数学教育学报2008,17(1)
从高一到高三学生的数学价值认可、数学自我效能感、表现目标、学习目标、内部归因都极其显著地下降;同普通班相比,优秀班学生的学习更倾向
于学习目标,并且更加注重对所学数学内容的理解;理科学生在数学学习成就动机诸维度的得分要显著高于文科的学生;班主任不是数学老师班级的学生对
数学价值的认可、数学成就内部归因都极其显著地高于班主任为数学老师班级的学生;男生对数学价值的认可和内化要明显高于女生,同时男生的数学自
我效能感极其显著地高于女生.在私立中学的数学教学中要落实人本主义的教学理念,培养积极健康的数学学习心理,拓宽中学生的关联性知识和策略性知
识.
8.学位论文 史中美 “做中学”及其数学课程设计和实施 2007
义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律
，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得数学理解的同时，在思维能
力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。《全日制义务教育数学课程标准》中指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手
实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”为此，“做中学”成为初中数学课堂中一种有效的学习方式，要对“做中学”的理论基础、
“做中学”与青少年认知发展规律、建构主义的关系进行深入研究，认识“做中学”的历史背景和内涵，结合多年教学实践力求探索出基于“做中学
”的数学课程实施的原则与方法。在研究的过程中参阅各种文献资料，学习有关“做中学”的理论成果，并且将理论应用于实践，不断从中得到反馈
，在教学中体会如何将“做中学”与“例中学”有机结合寻求更加行之有效的数学课堂实施模式。
经过研究发现“做中学”与“例中学”在初中的数学课堂中各自发挥着不同的作用，“做中学”非常适合初中阶段学生的身心发展和认知水平，通
过“做中学”可以调动学生的学习主动性，学生进行活动时需要学生自己去
计划
项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载
和探索，有助于提高他们独立思考、分析问题与解决问题的能力和动手
操作能力，通过“做中学”获得的知识，理解得更深，记得更牢。但是，单纯或过分依靠“做中学”会使学生的活动流于形式，不利于基本知识和基本
技能的掌握，不利于知识体系的构建，所以要将“做中学”与“例中学”有机结合，课堂中既能按学科知识的逻辑系统循序渐进地教学，使学生掌握系
统的数学知识与技能，能在单位时间内培养更多的学生以提高教学的功效，能使学生简捷有效地掌握知识，又能激发学生学习兴趣，培养学生的创新精
神和实践能力。
我们的数学课堂应该是灵活的，在实施过程中应该根据不同教学内容，学生的不同特点进行，让“做中学”充分发挥其优势，使学生放开束缚，充
分发挥其想象力，使之自主、积极地参与到数学活动中，让学生有机会亲历探索知识形成的过程，使他们在观察、提问、设想、动手实验、表达、交流
的探究活动中，体验探究的过程，建构基础性的数学知识，获得初步的探究能力，从而促进学生的全面发展。
9.期刊论文 李春兰.代钦.LI Chun-lan.Daiqin 民国时期中学混合数学教学法发展研究 -内蒙古师范大学学报（自
然科学汉文版）2007,36(6)
在阐述中学混合数学教学法诞生的基础上,论述了民国时期混合数学教学法在中国的实施及其教学原则,讨论了混合教学法在实施过程中所引起的争
论.
10.期刊论文 何龙泉 上通现代数学下达中学课堂--数学高考压轴题的数学背景分析 -中学数学研究2006,""(4)
新加坡数学教育家李秉彝先生认为数学教育要"上通数学、下达课堂".的确,中学数学课堂上通数学并不容易,但数学高考题的编制却在十年前就做到
了.
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