学案6《万有引力定律的应用》

nullnull学案 万有引力定律的应用知识回顾 1.在处理天体的运动问题时,通常把天体的运动看成是 运动,其所需要的向心力由 提供.其基本关系式为: . 在天体表面,忽略自转的情况下有: .匀速圆周万有引力null2.卫星的绕行速度、角速度、周期与轨道半径r的关系 （1）由 ,得v= ,即r越大,v越小. （2）由 ,得ω= ,即r越大,ω越小. （3）由 ,得T= ,即r越大,T越大.null3.三种宇宙速度 （1）第一宇宙速度（环绕速度）:v1= ,是人造地球卫星的最小发射速度. （2）第二宇宙速度（脱离速度）:v2= ,使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度. （3）第三宇宙速度（逃逸速度）:v3= ,使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度.7.9 km/s11.2 km/s16.7 km/snull4.天体质量M、密度ρ的估算 测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T,由 r0为天体的半径. 当卫星沿天体表面绕天体运行时,r=r0,则ρ= .null方法点拨 1.分析天体运动类问题的一条主线就是F万=F向,抓住黄金代换GM= . 2.近地卫星的线速度即第一宇宙速度,是卫星绕地球做圆周运动的最大速度,也是发射卫星的最小速度. 3.因卫星上物体的重力用来提供绕地球做圆周运动的向心力,所以均处于 状态,与重力有关的仪器不能使用,与重力有关的实验不能进行. 4.卫星变轨时,离心运动后速度变 ,向心运动后速度变 . 5.确定天体表面重力加速度的方法有:①测重力法;②单摆法;③ （或竖直上抛）物体法;④近地卫星环绕法.gR2完全失重小大平抛null类型一 万有引力定律及其应用 例1（2009·南京模拟）图1所示是我国的“探月工程”向月球发射一颗绕月探测卫星“嫦娥一号”的过程简图.“嫦娥一号”进入月球轨道后,在距离月球表面高为h的轨道上绕月球做匀速圆周运动.图1null（1）若已知月球半径为R月,月球表面的重力加速度为g月,则“嫦娥一号”环绕月球运行的周期为多少? （2）若已知R月= R地,g月= g地,则近月卫星的运行速度约为近地卫星运行速度的多少倍？解析 （1）设“嫦娥一号”环绕月球运行的周期是T,根据牛顿第二定律得null解得T= （2）对于靠近天体表面的行星或卫星有 mg= ,v= 由v= 知, 将R月= R地,g月= g地 代入计算,可知null答案 （1） （2） 解题归纳 万有引力提供天体或卫星做匀速圆周运动的向心力是解决这类问题最基本的一个关系.null预测1 “嫦娥一号”探月卫星发动机 关闭，轨道控制结束，卫星进入地 月转移轨道.图2中MN之间的一段曲 线表示转移轨道的一部分，P是轨道 上的一点，直线AB过P点且和两边轨 道相切.下列说法中正确的是（ ） A.卫星在此段轨道上，动能一直减小 B.卫星经过P点时动能最小 C.卫星经过P点时速度方向由P向B D.卫星经过P点时加速度为零BCD图2null类型二 中心天体质量、密度的计算 例2 把地球绕太阳公转看作匀速率圆周运动，轨道平均半径约为1.5×108 km,已知万有引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2,则可估算出太阳的质量大约是多少?（结果取一位有效数字）解析 题干给出地球轨道半径r=1.5×108 km,虽没直接给出地球运转周期数值，但日常知识告诉我们：地球绕太阳公转一周为365天，故周期 T=365×24×3 600 s=3.2×107 s. 万有引力提供向心力 ,故太阳质量nullM= ≈2×1030 kg.答案 2×1030 kg解题归纳 求天体的质量、密度 通过观察天体做匀速率圆周运动的卫星的周期T、半径r,由万有引力等于向心力 ,得天体质量M= . （1）若知天体的半径R，则天体的密度 ρ= .null（2）若天体的卫星环绕天体表面运动，其轨道半径r等于天体半径R，其周期为T，则天体密度ρ= .预测2 美国“勇气”号火星车在火星表面成功登陆，登陆时间选择在6万年来火星距地球最近的一次，火星与地球之间的距离仅有5 580万千米，火星车在登陆前绕火星做圆周运动，距火星表面高度为H，火星半径为R，绕行N圈的时间为t.求： （1）若地球、火星绕太阳公转为匀速圆周运动，其周期分别为T地、T火，试比较它的大小； （2）求火星的平均密度（用R、H、N、t、万有引力常量G表示）；null（3）火星车登陆后不断地向地球发送所拍摄的照片，地球上接收到的第一张照片大约是火星车多少秒前拍摄的. 解析 （1）设环绕天体质量为m,中心天体质量为M， 即 故T火>T地 （2）设火星车质量为m，火星质量为Mnull（3）宇宙间用电磁波传输信息：c=3×108 m/s t≈x/c=（5 580×107）/（3×108）s=186 s，是在186秒前拍摄的. 答案 （1）T火>T地 （2） （3）186null类型三 卫星变轨问题 例3 （2009·山东卷·18）2008年9月25日至28日,我国成功实施了“神舟”七号载人航天飞行并实现了航天员首次出舱.飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟.下列判断正确的是 （ ） A.飞船变轨前后的机械能相等 B.飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态 C.飞船在此圆轨道上运动的角速度大于同步卫星运动 的角速度 D.飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变 轨后沿圆轨道运动的加速度null解析 由于变轨过程中需点火加速，所以变轨后飞船的机械能增大，选项A错误；宇航员出舱前后均与飞船一起做匀速圆周运动，万有引力提供了做圆周运动的向心力，因此出舱前后航天员都处于失重状态，选项B正确；飞船在圆轨道上运行的周期为90分钟，而同步卫星的周期为24小时，所以飞船在圆轨道上运动的角速度大于同步卫星的角速度，选项C正确.只要在同一点受到的万有引力相同，由牛顿第二定律得a= ,即加速度相同，选项D错误.答案 BCnull解题归纳 卫星的变轨问题应结合离心运动和向心运动去分析，因为变轨的过程中不满足稳定运行的条件F向=F万，而是在原轨道上因为速度减小做向心运动而下降，速度增大做离心运动而升高，但是一旦变轨成功后又要稳定运行，这时又满足F向=F万，进而按规律分析即可，在这里要注意，因为原轨道上的速度减小做向心运动轨道降低了，但是降低后在低轨道运行的速度要比原高轨道的速度大.null预测3 （2009·上海十校联考）2008年9月25日我国 成功发射了“神舟七号”飞船，关于“神舟七号”飞船 的运动，下列说法中正确的是 （ ） A.点火后飞船开始做直线运动时，如果认为火箭所 受的空气阻力不随速度变化，同时认为推力F（向后喷气获得）和重力加速度g不变，则火箭做匀加速直线运动 B.入轨后，飞船内的航天员处于平衡状态 C.入轨后，飞船内的航天员仍受到地球的引力作用，但该引力小于航天员在地面时受到的地球对他的引力 D.返回地面将要着陆时，返回舱会开启反推火箭， 这个阶段航天员处于超重状态CDnull类型四 万有引力与航天科技 例4（2009·天津卷·12）2008年12月，天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座A”的质量与太阳质量的倍数关系.研究发现，有一星体S2绕人马座A做椭圆运动，其轨道半长轴为9.50×102天文单位（地球公转轨道的半径为一个天文单位），人马座A就处在该椭圆的一个焦点上.观测得到S2星的运动周期为15.2年. （1）若将S2星的运动轨道视为半径r=9.50×102天文单位的圆轨道，试估算人马座A的质量MA是太阳质量MS的多少倍（结果保留一位有效数字）；null（2）黑洞的第二宇宙速度极大，处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚.由于引力的作用，黑洞表面处质量为m的粒子具有的势能为Ep=- （设粒子在离黑洞无限远处的势能为零），式中M、R分别表示黑洞的质量和半径.已知引力常量G=6.7×10-11N·m2/kg2，光速c=3.0×108 m/s，太阳质量MS=2.0×1030 kg，太阳半径RS=7.0×108 m，不考虑相对论效应，利用上问结果，在经典力学范围内求人马座A的半径RA与太阳半径RS之比应小于多少（结果按四舍五入保留整数）.null解析 （1）S2星绕人马座A做圆周运动的向心力由人马座A对S2星的万有引力提供，设S2星的质量为mS2，角速度为ω，周期为T，则 ① 设地球质量为mE,公转轨道半径为rE，周期为TE，则 ③ 综合上述三式得 式中TE=1年 ④nullrE=1天文单位 ⑤ 代入数据可得 =4×106 ⑥（2）引力对粒子作用不到的地方即为无限远，此时粒子的势能为零，“处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚”，说明了黑洞表面处以光速运动的粒子在远离黑洞的过程中克服引力做功，粒子在到达无限远之前，其动能便减小为零，此时势能仍为负值，则其能量总和小于零.根据能量守恒定律，粒子在黑洞表面处的能量也小于零，则有null mc2- <0 ⑦ 依题意可知R=RA，M=MA 可得RA< ⑧ 代入数据得RA<1.2×1010m ⑨ <17 ⑩答案 （1）4×106（2）17null预测4 （2009·四川卷·15）据报道，2009年4月29 日，美国亚利桑那州一天文观测机构发现一颗与太 阳系其他行星逆向运行的小行星，代号为2009HC82.该小行星绕太阳一周的时间为3.39年， 直径2~3千米，其轨道平面与地球轨道平面呈 155°的倾斜.假定该小行星与地球均以太阳为中心 做匀速圆周运动，则小行星和地球绕太阳运动的速 度大小的比值为 （ ） A. B. C. D.null解析 由开普勒行星运动定律知 =恒量，由于线速度v= ，所以线速度v与 成正比，只有A正确.答案 A1.（2009·安徽卷·15）2009年2月11日，俄罗斯的“宇宙—2251”卫星和美国的“铱—33”卫星在西伯利亚上空约805 km处发生碰撞.这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件.碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境.假定有甲、乙两块碎片，绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是 （ ）nullA.甲的运行周期一定比乙的长 B.甲距地面的高度一定比乙的高 C.甲的向心力一定比乙的小 D.甲的加速度一定比乙的大解析 根据万有引力提供向心力有 . 由于v甲>v乙，所以甲离地面的高度小于乙离地面的高度，甲的周期小于乙的周期，甲的向心加速度比乙的大.由于甲、乙质量未知，所受向心力大小无法判断.综上所述正确选项为D项.答案 Dnull2.（2009·上海市高三物理质量抽查卷）某探月卫星经过多次变轨，最后成为一颗月球卫星.设该卫星的轨道为圆形，且贴近月球表面，则该近月卫星的运行速度率约为（已知月球的质量约为地球质量的 ，月球半径约为地球半径的 ，近地地球卫星的速率为7.9 km/s） （ ） A.1.8 km/s B.0.4 km/s C.11 km/s D.36 km/snull 解析 近地球轨道 =7.9 km/s 近月轨道 =1.8 km/s 答案 Anull3.（2009·徐州三检）卫星甲、乙、丙在如图4所示的三个椭圆轨道上绕地球运行，卫星甲与卫星乙的运行轨道在P点相切.不计大气阻力，以下说法正确的是 （ ） A.卫星甲运行时的周期最大 B.卫星乙运行时的机械能最大 C.卫星丙的加速度始终大于卫星乙的加速度 D.卫星甲、乙分别经过P点时的速度相等图4null 解析 =k所以甲轨道周期最大，且机械能最大，所以A正确，B错误；卫星的加速度的大小取决于卫星与地球间的引力，所以C错；甲过P点比乙过P点的速度要大，所以D错.应选择A. 答案 Anull4.（2009·苏锡常镇学情调查二）我国发射的“亚洲一号”地球同步通信卫星的质量为1.24 t,在某一确定的轨道上运行.下列说法正确的是 （ ） A.“亚洲一号”卫星定点在北京正上方太空，所以我 国可以利用它进行电视转播 B.“亚洲一号”卫星的轨道平面一定与赤道平面重合 C.若要发射一颗质量为2.48 t的地球同步通信卫 星，则该卫星的轨道半径将比“亚洲一号”卫星 轨道半径小 D.若要发射一颗质量为2.48 t的地球同步通信卫 星，则该卫星的轨道半径和“亚洲一号”卫星轨道 半径一样大null 解析 同步卫星一定在赤道上方，周期24 h，且高度一定，所以本题应选择B、D. 答案 BD5.（2009·长春调研）如图5所示，从地球表面发射一颗卫星，先让其进入椭圆轨道Ⅰ运动，A、B分别为椭圆轨道的近地点和远地点，卫星在远地点B变轨后沿圆轨道Ⅱ运动，下列说法中正确的是 （ ） 图5nullA.卫星沿轨道Ⅱ运动的周期大于沿轨道Ⅰ运动的周期 B.卫星在轨道Ⅱ上C点的速度大于在轨道Ⅰ上A点的速度 C.卫星在轨道Ⅱ上的机械能大于在轨道Ⅰ上的机械能 D.卫星在轨道Ⅱ上C点的加速度大于在轨道Ⅰ上A点的加 速度 解析 由 =k知轨道Ⅱ运动的周期大于沿轨道Ⅰ运动周期，A正确；轨道Ⅰ上A点速度大于等高圆轨道上的线速度，所以大于轨道Ⅱ上C点速度，B错；轨道Ⅱ上的机械能大于轨道Ⅰ上的机械能，A点的加速度大于C点，所以本题应选择A、C. 答案 ACnull6.（2009·苏北四市联考）为纪念伽利略将望远镜用于天文观测400周年，2009年被定为以“探索我的宇宙”为主题的国际天文年.我国发射的“嫦娥一号”卫星绕月球经过一年多的运行，完成了既定任务，于2009年3月1日16时13分成功撞月.如图6为“嫦娥一号”卫星撞月的模拟图，卫星在控制点1开始进入撞月轨道.假设卫星绕月球作圆周运动的轨道半径为R，周期为T，引力常 量为G.根据题中信息，以 下说法正确的是 （ ）图6null A.可以求出月球的质量 B.可以求出月球对“嫦娥一号”卫星的引力 C.“嫦娥一号”卫星在控制点1处应减速 D.“嫦娥一号”在地面的发射速度大于11.2 km/s 解析 则M月= ,A正确；不知道卫星质量，B错；“嫦娥一号”在控制点1处应减速，C正确；发射速度大于11.2 km/s将会脱离地球引力场，所以D错.应选择A、C. 答案 ACnull7.（2009·天津模拟）2007年10月24日18时29分,图7星箭成功分离之后,“嫦娥一号”卫星进入半径为205 km的圆轨道上绕地球做圆周运动,卫星在这个轨道上“奔跑”一圈半后,于25日下午进行第一次变轨,变轨后,卫星轨道半径将抬高到离地球约600 km的地方,如图7所示.已知地球半径为R,表面重力加速度为g,质量为m的“嫦娥一号”卫星在地球上空的万有引力势能为Ep=- （以无穷远处引力势能为零）,r表示物体到地心的距离.null（1）质量为m的“嫦娥一号”卫星以速率v在某一圆轨道上绕地球做圆周运动,求此时卫星距地球地面高度h1. （2）要使“嫦娥一号”卫星上升,从离地面高度h1再增加h的轨道上做匀速圆周运动,卫星发动机至少要做多少功?图7null解析 （1）设地球质量为M,万有引力常量为G,卫星距地面高度为h1时速度为v 对卫星有 对地面上物体有mg= 解以上两式得h1= -Rnull（2）卫星在距地面高度h1的轨道做匀速圆周运动 有 所以此时卫星的动能 Ek1= mv2=万有引力势能Ep1=- 卫星在距地面高度h1时的总机械能nullE1=Ek1+Ep1= 同理,卫星在距地面高度（h1+h）时的总机械能 E2= 由功能关系,卫星发动机至少要做功 W=E2-E1=答案 （1） （2）null8.（2009·上海卢湾区）牛顿在1684年提出这样一些理论：当被水平抛出物体的速度达到一定数值v1时，它会沿着一个圆形轨道围绕地球飞行而不落地，这个速度称为环绕速度；当抛射的速度增大到另一个临界值v2时，物体的运动轨道将成为抛物线，它将飞离地球的引力范围，这里的v2我们称其为逃离速度，对地球来讲逃离速度为11.2 km/s. 法国数学家兼天文学家拉普拉斯于1796年曾预言：“一个密度如地球而直径约为太阳250倍的发光恒星，由于其引力作用，将不允许任何物体（包括光）离开它.由于这个原因，宇宙中有些天体不会被我们看见.”这种奇怪的天体也就是爱因斯坦在广义相对论中预言的“黑洞（black hole）”.null已知对任何密度均匀的球形天体，v2恒为v1的2倍， 万有引力恒量为G，地球的半径约为6 400 km,太阳 半径为地球半径的109倍，光速c=3.0×108 m/s.请根 据牛顿理论求： （1）求质量为M，半径为R的星体逃离速度v2的大 小； （2）如果有一黑洞，其质量为地球的10倍，则其半 径满足什么条件？ （3）若宇宙中一颗发光恒星，直径为太阳的248倍， 密度和地球相同，试通过计算分析，该恒星能否被我 们看见.null解析 （1） （2）M黑洞 =10M地球 对地球：v2地球= ； 对黑洞：v2黑洞= >c（c为光速） R黑洞≤ =0.089 m≥null（3）R恒星=248×109R地球， M恒星=（248×109）3M地球（密度相同） v2恒星= =11.2×103×248×109 m/s=3.028×108 m/s>c 所以不能被我们看见. 答案 （1） （2）R黑洞 ≤0.089 m（3）见解析返回