1989年 ]月 系统
工程
路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理
理 论与实践 55
评价相对有效性的几个重要 DEA模型
一 数据包络分析(二)
魏权龄 崔 字 刚
‘ 川目人 民太学 )
在过部分,我们将介绍三个重要的DEA模型 c关lf最早的DEA模型C2R,我们已经详细地进行过
讨论“ 。在 最初 的 c R模 中,央策单元的 (DEA1有救 陀是 同时针对规模有效性和技术有效性而 言
的 从所给出的例 j’.我们 可以看到,牲 c R模趔下, 一个决策单元虽然足技术有效 的 (即该决策单 L
佗十有技生产 前并j}直i上1,但 也 一一定垃 DEA 香救的,原因在于该决策单元非规模 有救。下面将 要介
绍:i)C GS 模型 1,是用柬单纯地评价部门-口】相对技术有效性的。ii)具有锥结构的 C:WH模型吲广泛
而深刻地推广了 C R模型。这个樘型能够处理决策单元具有较多的输入.输出指标的评价问题,并且决
策者可 以通过 对模型 中各 个锥的选取束体现 自己的 偏 好 。iii)C 模型口 则是在另一个 方面推广 了
DEA 模型,它是研究具有无穷多个决策单元系统的帽对效率问题 的,其意义在于 通过一组无穷多个 样
本观察值 (即决策单元所对应的生产点 (x.,Y.)),去估计束知的有救生产前措面。
一
、 评价技术有效性的 C。GSz模型
假设有 n个决策单元,其输入数据干¨输出数据分别用 ∈Em, >0和Yj∈E ,Y=;>0来表示J 1,2,
‘
, n 。
在 C R模型 中淇 生产 可能集 T满足四条公理:
I) 陛:
2)锥性:
3)无数 性:
4】最小性。
其中第 :)条公理“锥性 的作用能够帮助我们通过有敢规模值 (对于给定的输^.输出点)来外推最有效
的决策单元的行为,同时也能够鉴别在整体 (郎 部决策单元)水平上可能反映出的规模 非有效性 将这
条公理击掉,我们的研究就可 严格地集中在单个决策单j 水平上的生产非有被性上。由此我们可以得到
这样一个效率测量手段,一个决策单元的效率指数为 1当且仅当该决策单元位于有效生产面上,甚至它可
以不足规模自强的。
这样,我们 的 作 出 整体 转八 个体 ,由同时评价挑模有效性和技术有效性转为单纯评价技术有效
肚。此时,牛产可8E集 T为一个 面体:
r 。 一 。 1
r一 ,y)’ ≥∑ ,y≤∑ y 。∑i,=1,t≥0,/=I,2,⋯, }
L _‘ 一
它满址公理 【】、3).4)【
F面我们建立在这个生产可能集上进行 DEA效率评价的 DEA模型— C Gs2模型:
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L
56 评价相对有效性的几十重要 D性 樱型 第 2期
ra in0 VD
∑ ≤0Xo
∑i, ≥y。
∑I.=1
≥ 0 1,2,一,n .
披 其对 偶 『司题 :
fmax Y0 。) Vp
l st
(.P ∞ — 一 。/>0 = 1 2
{ ∞ 。=1
【 ∞≥0
, ≥ 0
定义 1.1 若线性规划问题 存在量优解 , ,i 满足
V : ” y
。 十叠o=1
则称决策单元J。为弱DEA~ t(c2Gs2)。如果进 步有
∞
。 > 0,p。> 0
.
则称决策单元j0为DEA有救(c s2)。
作为一种判别手段,我们在上面两个规划问题中引人非阿基米德无穷小量 £(例如取 £=10 :
fmax(t~ y0 o)一VP(£)
f s_t
(.P l ∞T 一 一 。)≥0,j=l,2’⋯,n
l 。 _=r。_-
∞ ≥ s . Ⅱ ≥ 船
min 一s( 一+P )】= Va(£)
S.t.
∑ ix +S =OX。
; , 一 ’=r。
∑ , ≥0j=1,⋯,一
一
≥ 0. ≥ 0
其中 =(1,1,。。,1)EE ,P =(1 1“,1)∈E
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989年 3月 系统工程理论与实聩
我们得到如下判别定理。
定理 l_1 设线性规划问题(D )的最优解为
。
, ,
s ,oo
则有
1)若 oo=1,则决策单元j0为弱 DEA有效(c ;
2)若 =l,且 =0,S+o=0则决策单元jo为DEA有效(czGs ).
从定理 1.1中可看到,决策单元jn是 DEA有效(czGs )'则它一定位于有效生产前沿面上.
下面我们通过一个简单的例子,给出 C Gs'-模型对决策单元的效率评价以及 C Gs 模型与 C R模型
的效率评价结果差异.
例子 l_1 考虑如下单输^ 单输出问题:
1 2 3
1 1 3 4 l
[二二二二二] 一一
对决策单元 1有相应的规划问题
mini0一£(s L+ 】’)]
l
+ 3 2+4 3+s L 0
2i L+ 322+ 3一 s L’ 2
l
+ 2+ 3 1
l
≥ 0,22≥ 0, ]≥ 0
.
≥ 0, ’
利用单纯形方法求解,得最优解:
= fln口i .f = =o =1
知决策单元 1为 DEA有效(c G
对决策单元 2有相应的规划问题
mini0一s l+ I)]
l
+ 3i2+4i3+ s L 30
2i L+ 3Z2+ 3^一 s L 3
l
+ 2+ i 3 1
^l≥0,i 2≥ 0, 3≥ 0
s ≥ 0,
它的最优解为
= (0,1, , =s 0, =1
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58 评价相对有效性的几个重要 DEA模型 第 2期
因此决策单元 2为 DEA有效fc:GS )。下面是决策单元 3对应的规划问题
fmini0一如 l+ 1)】
l St.
j l^+3i 2+42】+ 40
(D 2 3 2 —l
l ^l+z 2+上 一 l
} l^≥0,i2≥0,^3≥0
i ≥0
y
3
2
。 I
r
0 1 2 3 4 )
T
3 -
2 .
1 。
图 2
其最优解为
^=(;,0 0) ,D。=
因此决策单元 2不是 DEA有敢 R】
图 3
X
所以我们知道决策 单元 2是技术有效但非规模有效 ,这一 点在图
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989年 3月 系统工程理论与实践
l和图 2中可以精楚地看到。
圈 3描述 了技术有效性和规模有效性 的概念
点 A为被评价决策单元,其技术和规模综合效率由比率 给出,即点 A与点 N的对比,后者反映可达
到最健生产规模(由点E表示)的平均生产率 点A的单纯的(输入)技术有效性由比率等等给出,这
是点 A 与点 B的对比,后者处在与点 A相 同规模值的有效生产前沿面上 点 A 的 (输入 )规模有效性 由
比牛~面M N路出
,
这样,技术和规模综.z ~M平M 面N寸 川 M B1 儇.月.MI工 M百N的乘积
卜面我们讨论与技术有效性密切相关的规模收益问题 考察有效生产前沿面L的一个点 (xDYE),
我们将通过 评价点 (x ,YE)有效性的规划 问题 (P)中的“截距 的符号来检验该点 的规模 收益问题。
殴茴,五, ..是闽题 (p]的最优解,可以证明[tq.平面
— i Y—i =0 《1)
是生产可能集过点 E(座标为(x Y ))的一个支撑超平 面
足规划问题(P】的唯一是优解 对于过有效点【x E.Ye)的唯
a)规模收益递增= >0,
b)规模收益不变=i =0;
c)规模收益递减; <0
这个支撑超平面是唯~确定 的觅要条件为面,一g,一P
确定的支撑平面(1),我们有 5(x卧Y )为
对于 C GS 模型也可 定义决策单元在 DEA相对有效面(即有效生产前沿 面】上的 投影 令
j。=0。X。 一
一 。
= ∑ ^
, l
。=Y。+S+0=∑ Y
式申 =i . --, ) 、s ,s十0,口。为线性规划问题【D 的最忧解 称 《 。, 。) 为决策单元 在 DEA相对有
效面上的 投影 有如 下定理。
定理 1.2 决策单元 J。在 DEA相对有效面上的。投影 ( 。.P )相对于原来的 n个决策单元来说,
是 DEA有效的{C:GS )。
由于“投影 (膏。, 。)是 DEA有效的(c GS ), 投影”指明丁决策单元 由非 DEA有效转变为 DEA有
救的改进方向。这个管理信息在实际当中是十分有意义的。
~ 个有效的生产晦该是比较少的投^ 母较多的输出的效果,也即考虑如下的多 标规划问题
l V — m in
(VP]{( ,~yr)
L ‘ " ∈T
式中r={c ,-毒i ,主I r,主 ,=¨ 。, = ⋯, } · L — I ·; J= J
如_卜的等价定理
定理 1.3 (X_lEY0)是{VP)的 Pareto有敏解的充要条件是 决策单元 jⅡ为 DEA有救 (c2GS:)。
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60 评价相对 有效性的几十重要 DEA 模型 第 2期
二、锥 比率的 C WH模型
锥比率的 DEA模型 c2wH比起 C R横型不但更具有一般性,更为重要的是它可以体现决策者的 偏
好 。C2WH 模型在美国财政管理系统的效率评价中得到成功地应用。
设 vcE , U、c 均为闭凸锥,并且 IntV=~o,IntU=~qb,以及
= (0,--,0,1,O,⋯,0) ∈一K’,
J= 1,2,⋯ ,
其中K =(xlxry<~0,V yE K)为K 的负极锥。11个决策单元的输入、输出矩阵分别为
x= (X】,X2,⋯,X )⋯
Y (Y】,Y2,一,Y )⋯
并且设
X_∈Int卜V’)’ J=1,2,⋯,n
YiE Int卜U ), J=l,2,⋯,11
对于决策单元 j0,考虑锥比率的 C。WH模型
f “ Y0 1
(c 日){0一t·
l v X 一“‘Y∈K
1 v∈ \{0)
“E【,\(D)
由分式规划的 Charnes-Cooper变换 .
f= — L一, ∞ = “,, = f“
V 0
得到与(c WH)等价的凸规划 问题
fmax# y V
l s-t-
(P){ ∞ X一 Y∈
I ∞ 。=1
【 ∞E ∈【,
由 KcE~+,得知规划问题(P)的最优值 Vv
O)
U={B >O}
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式 巾
则它们的
评价褶对有救性的几个 萤耍 DEA模型
B =
此时.舰划问题(P)和(D)分荆化为
a (BY .1
fP 1) ∞ 【 x)一 ( Y)∈K
1
rm !n
1 st.
1 ( x)i—O(AX。)≤0
l ( Y)i—O(BY0)≤0
∈7-K
{vlAv
、● 、●● J
O O
r r
∞ 、8
仉 叽
≥ ≥
一
∞ . .
∞ ,
= .
O
.
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评价相对有效性的儿个重要 DEA模型 第 2期
三、具有无穷多个决策单元的 C W 模型
当决策单元为无穷多个时,我们可以用 A.Charnes;W.W.Cooper和 K
. O .Kortanek
等人建立的半无限规划理论建立相应的 DEA模型 c w。设
Z=决策单元的集合,z是 EK中的有界闭集。
£(Z)决策单元 z对第 i项输入的投入量,为线性函数,i=1,2
,
⋯
,m 。
gr(z)=决策单元 z=对第 r项输 出的产 出量,为线性函数.r=1,2 ⋯
对任意 z∈Z,设
f )=( (z),⋯, (z)) >0
g(z) (g】(z),⋯,g (z)) >0
即对应于下表给出的输入一 输出问题:
z∈ Z
评价决策单元 z。的
丽u rg(z o)=
(c -
l ≤1,v Z。 l V f(z)
,
l v≥0
. “≥ 0
通过分式规划的 Charnes-Cooper变换
1
’ 一
(c!w)可化为等价的半无限规划问题 ’
fsup# g(zo) V,. -
l s.t
(P){ ∞ ,l(=)一 g0)≥0, v:∈z
l co rf(z。) 1 一
∞ ≥ 0.“≥ 0
— -1
:
— ’S
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989年 3月 系统工程理论与实践 67
其对偶规划为
finf 0 VD
l s-t-
(D)J 一0f(zD)≤。
l —Yg(z)a(z)+g(z 0)≤0 【
v
式中 2(z)6E,. =【^(z):z∈z]∈ ,S为广义有限序列空间(即 S是 由所有 向量 =^【^(z):z∈z】组
成‘苴中 i只有有限多个分量不为零。
定理 3.1 对于规划问题(P)和(D),有
)
定理 3.2 规划问题(P)和(D)均存在可行解。
定理 3_3(对偶定理) 对偶规划问题(P)和aD)有相同的最优值,且规划问题aD)可以达到
下确界,即
Vp=sup~u g(zo)=VD=infO=minO
定义 3.1 设 zo∈Z,如果半无限规划问嚣【P)存在最优解 c。。, 满足
vP= Y0=1
则称决策单元 z。为弱 DEA有效(c w)。若进一步满足
>0, > 0
则称决策单元 Zo为 DEA有效(c w)。
我们可以同样地建立具有非阿基米德无穷小量 £的C W 模型: 。
(D
mini0一£ 一+e )】= 。∽
s.t.
∑ 0 )+ 一= z )
EZ
∑ 0培(z)一 g(z )
=∈
a(z)≥0.VzeZ
s一 ≥ 0
. ≥ 0
定理 3.4 如果半无限规划问题(D )的最优解 (z)、z∈Z,$--o、s 、0。满足 oO=l,则
决策单元 Zo为弱 DEA有效(c w)’若进而有
≥
r 1 ≥
^。 ;q
T ∞ ∞ ∞
啪
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68一 评价相对有效性 的几个重要 DEA模 型 第 2期
S-0=O
.s =0
则决策单元z0为DEA有效(C w)
考虑多 目标规划问题
fV—min{~l(:),⋯ (z),一gl(=),⋯,一g (z
( P){s.t.
Z∈T 、
式中 : :圭 ,z : ez :,2,⋯,f,,≥1}。 、
定义 3.2 设 z0∈z,若不存在 Z∈Z,使得
]<『
贝4称 z0为多 目标规划(vP)的弱 Parcto有效解。
定义 3.3 设 z0E z,若不存在 z∈z,使得
]≤[ ]
则称 0为多 目标规划(vP)的 Pamto有效解。
在某些假设之下,有如下定理 。
定理 3.5 决策单元 zo为 (弱)DEA有效(C w)当且仅当 zo为多 目标规划(VP)的
(弱)Pareto有效解。
参 考 文 献
|t]Ckaraes,A、W.W.Cooper.B GoLaay,L.Sciford and J Stutz, F0uⅡda 0ns ofDadaEnwlopmeniAnalysisfor
Pareto-goopmans Efficient Empirical Production nlⅡ oⅡ5 .^ ofEoonometrics.30(1988)
[2]Charnes,A.,W.W.Cooper Q.L Wei and z.M.Huang,℃oⅡc Ratio Data Envelopment Analysis and
Multiobjective Programming ,TheUniv.ofTexas atAustin.CenterforCybernetic StmticsRetortCCS 559.Dec,
1986
[3]charⅡ ,A.W.W.Cooper and Q L.Wei, A Semi-Infinite Multicriteria Programmgag Approoach to Data
Envelopm em Analysis 血 Infinitely M an y Decision M aking Units*,The Univ.of Texas at Austin.Center for
Cybernhtic Studies RetortCCS551,sep.,I"986
|4]Charnes,A.W W Cooer and E.Rhodes, Measuring血cEfrici ofDecision Making Units European J of
Opcr Res 2f1978)429—444.
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