2011高考数学复习资料汇编：第4单元_数列(真题解析+最新模拟)

高考 地理事物空间分布特征语文高考下定义高考日语答题卡模板高考688高频词汇高考文言文120个实词 资源网 2011年最新高考+最新模拟——数列 1.【2010•浙江理数】设 为等比数列 的前 项和， ，则 （A）11 （B）5 （C） （D） 【答案】D 【解析】解析：通过 ，设公比为 ，将该式转化为 ，解得 =-2，带入所求式可知答案选D，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式，属中档题 2.【2010•全国卷2理数】如果等差数列 中， ，那么 （A）14 （B）21 （C）28 （D）35 【答案】C 【解析】 3.【2010•辽宁文数】设 为等比数列 的前 项和，已知 ， ，则公比 （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 【答案】B 【解析】两式相减得， ， . 4. 【2010•辽宁理数】设{an}是有正数组成的等比数列， 为其前n项和。已知a2a4=1, ,则 （A） (B) (C) (D) 【答案】B 【解析】由a2a4=1可得 ，因此 ，又因为 ，联力两式有 ，所以q= ,所以 ，故选B。 5.【2010•全国卷2文数】如果等差数列 中， + + =12，那么 + +•••…+ = （A）14 (B) 21 (C) 28 (D) 35 【答案】C 【解析】∵ ，∴ 6. 【2010•江西理数】等比数列 中， ， =4， 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数 ，则 （ ） A． B. C. D. 【答案】C 【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。考虑到求导中，含有x项均取0，则 只与函数 的一次项有关；得： 。 7.【2010•江西理数】 （ ） A. B. C. 2 D. 不存在 【答案】B 【解析】考查等比数列求和与极限知识.解法一：先求和，然后对和取极限。 8.【2010•安徽文数】设数列 的前n项和 ，则 的值为（ ） （A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64 【答案】A 【解析】 . 9. 【2010•重庆文数】在等差数列 中， ，则 的值为（ ） （A）5 （B）6 （C）8 （D）10 【答案】A 【解析】由角标性质得 ，所以 =5 10. 【2010•浙江文数】设 为等比数列 的前n项和， 则 (A)-11 (B)-8 (C)5 (D)11 【答案】A 【解析】通过 ，设公比为 ，将该式转化为 ，解得 =-2，带入所求式可知答案选A，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式 11. 【2010•重庆理数】在等比数列 中， ，则公比q的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 12.【2010•北京理数】在等比数列 中， ，公比 .若 ，则m=（ ） （A）9 （B）10 （C）11 （D）12 【答案】C 13.【2010•四川理数】已知数列 的首项 ，其前 项的和为 ，且 ，则 （A）0 （B） （C） 1 （D）2 【答案】B 【解析】由 ,且 作差得an＋2＝2an＋1 又S2＝2S1＋a1，即a2＋a1＝2a1＋a1 a2＝2a1 故{an}是公比为2的等比数列 Sn＝a1＋2a1＋22a1＋……＋2n－1a1＝(2n－1)a1 则 14. 【2010•天津理数】已知 是首项为1的等比数列， 是 的前n项和，且 ，则数列 的前5项和为（ ） （A） 或5 （B） 或5 （C） （D） 【答案】C 【解析】本题主要考查等比数列前n项和公式及等比数列的性质，属于中等题。 显然q 1，所以 ，所以 是首项为1，公比为 的等比数列， 前5项和 . 15. 【2010•广东理数】 已知 为等比数列，Sn是它的前n项和。若 ， 且 与2 的等差中项为 ，则 =（ ） A．35 B.33 C.31 D.29 【答案】C 【解析】设{ }的公比为 ，则由等比数列的性质知， ，即 。由 与2 的等差中项为 知， ，即 ． ∴ ，即 ． ，即 ． 16.【2010•全国卷1文数】已知各项均为正数的等比数列{ }， =5， =10，则 =（ ） (A) (B) 7 (C) 6 (D) 【答案】A 【解析】由等比数列的性质知 ， 10,所以 , 所以 17.【2010•湖北文数】已知等比数列{ }中，各项都是正数，且 ， 成等差数列，则 A. B. C. D 18. 【2010•安徽理数】设 是任意等比数列，它的前 项和，前 项和与前 项和分别为 ，则下列等式中恒成立的是（ ） A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】取等比数列 ,令 得 代入验算，只有选项D满足。 对于含有较多字母的客观题，可以取满足条件的数字代替字母，代入验证，若能排除3个选项，剩下唯一正确的就一定正确；若不能完全排除，可以取其他数字验证继续排除.本题也可以首项、公比即项数n表示代入验证得结论. 19. 【2010•福建理数】设等差数列 的前n项和为 ,若 , ,则当 取最小值时,n等于（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【解析】设该数列的公差为 ，则 ，解得 ， 所以 ，所以当 时， 取最小值。 20.【2010·大连市三月双基测试卷】若数列 的前 项和为 ，则下列关于数列 的说法正确的是 （ ） A． 一定是等差数列 B． 从第二项开始构成等差数列 C． 时， 是等差数列 D．不能确定其为等差数列 【答案】A 【解析】依题意，当n≥2时，由 ，得 ，当n=1时，a1=a+1，适合上式，所以 一定是等差数列，选择A 21.【2010·茂名市二模】在等差数列 中，已知 则 = （ ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】B 【解析】依题意，设公差为d，则由 得 ，所以1+2（n-1）=39，所以n=20，选择B 22．【2010·北京宣武一模】若 为等差数列， 是其前 项和，且 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由 ，可得 ，∴ ． = ，选择B 23.【2010·蚌埠市三检】等差数列 的值是（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【解析】依题意，由 ，得 ，所以 ，选择C 24.【2010·福建省宁德三县市一中第二次联考】已知等比数列 的前三项依次为 ,则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，(a+1)2=(a-1)(a+4)，所以a=5，等比数列 首项a1=4，公比q=,所以 ，选择C; 25.【2010·北京丰台一模】已知整数以按如下规律排成一列： 、 、 、 、 ， ， ， ， ， ，……，则第 个数对是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 根据题中规律，有 为第 项， 为第2项， 为第4项，…， 为第 项，因此第 项为 ． 26.【2010·北京市海淀区第二学期期中练习】已知等差数列1， ，等比数列3， ，则该等差数列的公差为 （ ） A．3或 B．3或 C．3 D．-3 【答案】C 【解析】依题意得1+b=2a，(a+2)2=3(b+5),联立解得a= -2， b= -5（舍）或a=4， b=7，所以，则该等差数列的公差为3，选择C； 27.【2010·北京顺义区二模】已知等比数列 中， ， ， ，则 ( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】依题意，设公比为q，则由 ， ，得q= ， ，解得 选择C； 28.【2010·石家庄市教学质量检测（二）】已知等比数列 满足 ，则 等于（ ） A．128 B．16 C．256 D．64 【答案】C 【解析】依题意，设 公比为q，则由 得，q8=16，所以 =256，选择C 29.【2010武汉市四月调研】已知等差数列 =（ ） A． B． C．—3 D．6 【答案】B 【解析】依题意，设首项为a1，公差为d，则 ，解得 ， ，选择B 30.【2010·河北隆尧一中五月模拟】等差数列 中， 是其前 项和， ，则 = （ ） A．－11 B．11 C.10 D．－10 【答案】A 【解析】 ，得 ，由 ，得 ， ， ， ，选 A。 31.【2010·北京海淀一模】已知等差数列 ，等比数列 ，则该等差数列的公差为（ ） A． 或 B． 或 C． D． 【答案】C 【解析】 ，解得 ．因此该等差数列的公差为 ． 32.【2010·广东省四月调研模拟】公差不为零的等差数列 中， ， ， 成等比数列，则其公比 为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 C 【解析】∵等差数列 中 ， ， 成等比数列，∴ ，即 ， ∵公差不为零，∴ ，∴所求公比 33.【2010·湖南师大附中第二次月考试卷】在等比数列{an}中，已知a3＝ ，a9＝8，则a5·a6·a7的值为 （ ） A．±8 B．－8 C． 8 D．64 【答案】A 【解析】因为{an}为等比数列，则a62＝a5·a7＝a3·a9＝4，所以a6=±2，a5·a6·a7＝±8，故选A. 34.【2010·哈尔滨市第九中学第三次模拟】在等比数列中，已知 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，由 得 ， ，选择B 35.【2010·河北隆尧一中四月模拟】已知等差数列 的前n项和为 ，若 ，且A、B、C三点共线（该直线不过原点），则 （ ） A. 2009　　　　B. 2010　　　　　C. -2009　　　　　D. -2010 【答案】C 【解析】 由 ， ，得 。 36.【2010·邯郸市二模】设 为等差数列， 为其前 项和，且 ，则 A． B. C. D. 【答案】B 【解析】依题意，由 得 ，选择B 37.【2010·南宁市二模】设数列 是等差数列，且a2=-8, a15=5, Sn是数列 的前n项和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设公差为d，则d= ,所以an=n-10，因此 是前n项和中的最小值，选择C; 38.【2010·抚州市四月质检】等比数列 的前 项和为 ，若 成等差数列，则 的公比 等于 （ ） 【答案】C 【解析】依题意，由 得 ，解得 ，选择C 39.【2010·北京东城一模】已知数列 的通项公式 ，设其前 项和为 ，则使 成立的最小自然数 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ，解得 ． 40．【2010·青岛市二摸】已知在等比数列 中, ,则等比数列 的公比 的值为 A. B. C. D. 【答案】Ｂ 【解析】依题意，设公比为q，由于 ，所以q3= =,q=,选择B 41．【2010重庆八中第一次月考】在等差数列 中， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意， ， ， 构成等差数列，所以 9+2×18=45，选择B 42．【2010·宁波市二模】等比数列的首项为 ，项数是偶数，所有的奇数项之和为 ，所有的偶数项之和为 ，则这个等比数列的项数为 （ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】设等比数列项数为2n项，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则S奇=85，S偶=170，所以q=2，因此,解得n=4，这个等比数列的项数为 ，选择C 43．【2010·成都石室中学高三“三诊”模拟考试】设等差数列 的前n项和为 则 = （ ） A．63 B．45 C．36 D．27 【答案】B 【解析】依题意，S3，S6-S3，S9-S6也构成等差数列，所以 = S9-S6=9+2×18=45，选择B； 44．【2010·拉萨中学第七次月考】等差数列{an}的公差不为零，首项 的等比中项，则数列{an}的前10项之和是 （ ） A．90 B．100 C．145 D．190 【答案】B 【解析】依题意，设等差数列公差为d（d≠0），则（1+d）2=1+4d,解得d=2，所以S10==100,选择B; 45．【2010·河北唐山一中三月月考】用数学归纳法证明“ ， ”时，由 不等式成立推证 ，左边应增加的项数是（ ） A． B． C． ＋1 D． －1 【答案】B 【解析】增加的项数为 ． 46．【2010·河南郑州市二模】一个n层台阶，若每次可上一层或两层，设所有不同上法的总数为 ，则下列猜想中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当 时， ，当 时， ，当 时，由于每次只能上一层或者两层，因此 ，故选D． 47. 【2010•辽宁文数】设 为等差数列 的前 项和，若 ，则 。 【答案】15 【解析】 ,解得 ， 48. 【2010•辽宁理数】已知数列 满足 则 的最小值为__________. 【答案】 【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2[1+2+…(n-1)]+33=33+n2-n 所以 设 ，令 ，则 在 上是单调递增，在 上是递减的，因为n∈N+,所以当n=5或6时 有最小值。 又因为 ， ，所以， 的最小值为 49. 【2010•浙江文数】在如下数表中，已知每行、每列中的树都成等差数列， 那么，位于下表中的第n行第n+1列的数是 【答案】 50.【2010•天津文数】设{an}是等比数列，公比 ，Sn为{an}的前n项和。记 设 为数列{ }的最大项，则 = 。 【答案】4 【解析】本题主要考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题。 因为 ≧8，当且仅当 =4，即n=4时取等号，所以当n0=4时Tn有最大值。 51. 【2010•湖南理数】若数列 满足：对任意的 ，只有有限个正整数 使得 成立，记这样的 的个数为 ，则得到一个新数列 ．例如，若数列 是 ，则数列 是 ．已知对任意的 ， ，则 ， ． 52. 【2010•福建理数】在等比数列 中,若公比 ,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式 ． 【答案】 【解析】由题意知 ，解得 ，所以通项 。 【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，属基础题。 53. 【2010•江苏卷）】函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=_________ 【答案】21 【解析】考查函数的切线方程、数列的通项。 在点(ak,ak2)处的切线方程为： 当 时，解得 ， 所以 。 54.【2010·河北隆尧一中三月月考】在数列 中， , , 则 通项公式 = 【答案】 【解析】 两边同除以 n(n+1) , 得 ， 令 ，得 ， ， 于是 ， 55．【2010·北京丰台一模】 设等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，则 ． 【答案】 【解析】 ． 56．【2010黄冈中学5月第一模拟考试】在等比数列 中，若 ， ，则 　 。 【答案】 【解析】 57.【2010·河北隆尧一中五月模拟】定义：我们把满足 （ 是常数）的数列叫做等和数列，常数 叫做数列的公和.若等和数列 的首项为1，公和为3，则该数列前2010项的和 . 【答案】3015 【解析】 得 。 58．【２０１０长沙市第一中学第九次月考】公比为4的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项积，则有 仍成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和，则有_____________________________也成等差数列，该等差数列的公差为 ． 【答案】S20-S10，S30-S20，S40-S30 300 【解析】依题意，S20-S10，S30-S20，S40-S30也构成等差数列公差为100d=300； 59．【2010·北京丰台一模】设等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，则 ． 【答案】 【解析】 ． 60．【2010·浙江省宁波市二模】在计算“ ”时，某同学学到了如下一种方法： 先改写第 项： ， 由此得 ， ，， ， 相加，得 类比上述方法，请你计算“ ”， 其结果为 ． 【答案】 【解析】裂项 ，相消得 61. 【2010•上海文数】已知数列 的前 项和为 ，且 ， (1)证明： 是等比数列； (2)求数列 的通项公式，并求出使得 成立的最小正整数 . 解：(1) 当n1时，a114；当n≥2时，anSnSn15an5an11，所以 ， 又a1115≠0，所以数列{an1}是等比数列； (2) 由(1)知： ，得 ，从而 (nN*)； 由Sn1>Sn，得 ， ，最小正整数n15． 62. 【2010•陕西文数】已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列. （Ⅰ）求数列{an}的通项; （Ⅱ）求数列{2an}的前n项和Sn. 解 （Ⅰ）由题设知公差d≠0， 由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得 ＝ ， 解得d＝1，d＝0（舍去）， 故{an}的通项an＝1+（n－1）×1＝n. (Ⅱ)由（Ⅰ）知 =2n，由等比数列前n项和公式得 Sm=2+22+23+…+2n= =2n+1-2. 63. 【2010•重庆文数】已知 是首项为19，公差为-2的等差数列， 为 的前 项和. （Ⅰ）求通项 及 ； （Ⅱ）设 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列 的通项公式及其前 项和 . 64. 【2010•北京文数】已知 为等差数列，且 ， 。 （Ⅰ）求 的通项公式； （Ⅱ）若等差数列 满足 ， ，求 的前n项和公式 解：（Ⅰ）设等差数列 的公差 。 因为 所以 解得 所以 （Ⅱ）设等比数列 的公比为 因为 所以 即 =3 所以 的前 项和公式为 65.【2010•北京理数】已知集合 对于 ， ，定义A与B的差为 A与B之间的距离为 （Ⅰ）证明： ，且 ; （Ⅱ）证明： 三个数中至少有一个是偶数 (Ⅲ) 设P ，P中有m(m≥2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为 (P). 证明： （P）≤ . （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 证明：（I）设 ， ， 因为 ， ，所以 , 从而 又 由题意知 ， ， . 当 时， ; 当 时， 所以 (II)设 ， ， ， ， . 记 ，由（I）可知 所以 中1的个数为 ， 的1的 个数为 。 设 是使 成立的 的个数，则 由此可知， 三个数不可能都是奇数， 即 , , 三个数中至少有一个是偶数。 （III） ,其中 表示 中所有两个元素间距离的总和， 设 种所有元素的第 个位置的数字中共有 个1， 个0 则 = 由于 所以 从而 66. 【2010•四川理数】已知数列{an}满足a1＝0，a2＝2，且对任意m、n∈N*都有 a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2 （1）求a3，a5； （2）设bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈N*)，证明：{bn}是等差数列； （3）设cn＝(an+1－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Sn. 解：(1)由题意，零m＝2,n－1,可得a3＝2a2－a1＋2＝6 再令m＝3,n＝1，可得a5＝2a3－a1＋8＝20 (2)当n∈N *时，由已知(以n＋2代替m)可得 a2n＋3＋a2n－1＝2a2n＋1＋8 于是[a2(n＋1)＋1－a2(n＋1)－1]－(a2n＋1－a2n－1)＝8 即 bn＋1－bn＝8 所以{bn}是公差为8的等差数列 (3)由(1)(2)解答可知{bn}是首项为b1＝a3－a1＝6,公差为8的等差数列 则bn＝8n－2，即a2n+=1－a2n－1＝8n－2 另由已知(令m＝1)可得 an＝ -(n－1)2. 那么an＋1－an＝ －2n＋1 ＝ －2n＋1 ＝2n 于是cn＝2nqn－1. 当q＝1时，Sn＝2＋4＋6＋……＋2n＝n(n＋1) 当q≠1时，Sn＝2·q0＋4·q1＋6·q2＋……＋2n·qn－1. 两边同乘以q，可得 qSn＝2·q1＋4·q2＋6·q3＋……＋2n·qn. 上述两式相减得 (1－q)Sn＝2(1＋q＋q2＋……＋qn－1)－2nqn ＝2· －2nqn ＝2· 所以Sn＝2· 综上所述，Sn＝ 67. 【2010•天津文数】在数列 中， =0，且对任意k ， 成等差数列，其公差为2k. （Ⅰ）证明 成等比数列； （Ⅱ）求数列 的通项公式； （Ⅲ）记 ，证明 . 【解析】本小题主要考查等差数列的定义及前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法，满分14分。 解：（I）证由题设可知， ， ， ， ， 。 从而 ，所以 ， ， 成等比数列。 （II）由题设可得 所以 . 由 ，得 ，从而 . 所以数列 的通项公式为 或写为 ， 。 （III）由（II）可知 ， ， 以下分两种情况进行讨论： （1）​ 当n为偶数时，设n=2m 若 ，则 ， 若 ，则 . 所以 ，从而 （2）​ 当n为奇数时，设 。 所以 ，从而 综合（1）和（2）可知，对任意 有 68. 【2010•天津理数】在数列 中， ，且对任意 . ， ， 成等差数列，其公差为 。 （Ⅰ）若 = ，证明 ， ， 成等比数列（ ） （Ⅱ）若对任意 ， ， ， 成等比数列，其公比为 。 【解析】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分14分。 解：（Ⅰ）由题设，可得 。 所以 = =2k(k+1) 由 =0，得 于是 。 所以 成等比数列。 （Ⅱ）证法一：（i）证明：由 成等差数列，及 成等比数列，得 当 ≠1时，可知 ≠1，k 从而 所以 是等差数列，公差为1。 （Ⅱ）证明： ， ，可得 ，从而 =1.由（Ⅰ）有 所以 因此， 以下分两种情况进行讨论： （1）​ 当n为偶数时，设n=2m( ) 若m=1,则 . 若m≥2，则 + 所以 (2)当n为奇数时，设n=2m+1（ ） 所以 从而 ··· 综合（1）（2）可知，对任意 , ,有 证法二：（i）证明：由题设，可得 所以 由 可知 。可得 ， 所以 是等差数列，公差为1。 （ii）证明：因为 所以 。 所以 ，从而 ， 。于是，由（i）可知所以 是公差为1的等差数列。由等差数列的通项公式可得 = ，故 。 从而 。 所以 ，由 ，可得 。 于是，由（i）可知 以下同证法一。 69.【2010•山东理数】已知等差数列 满足： ， ， 的前n项和为 ． （Ⅰ）求 及 ； （Ⅱ）令bn= (n N*)，求数列 的前n项和 ． 解：(Ⅰ）设等差数列 的公差为d，因为 ， ，所以有 ，解得 ， 所以 ； = = 。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，所以bn= = = ， 所以 = = ， 70. 【2010•湖南理数】数列 中， 是函数 的极小值点 （Ⅰ）当a=0时，求通项 ； （Ⅱ）是否存在a，使数列 是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。 71. 【2010•江苏卷】设各项均为正数的数列 的前n项和为 ，已知 ，数列 是公差为 的等差数列。 （1）求数列 的通项公式（用 表示）； （2）设 为实数，对满足 的任意正整数 ，不等式 都成立。求证： 的最大值为 。 【解析】本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。 解：（1）由题意知： ， ， 化简，得： ， 当 时， ，适合 情形。 故所求 （2）（方法一） ， 恒成立。 又 ， ， 故 ，即 的最大值为 。 （方法二）由 及 ，得 ， 。 于是，对满足题设的 ， ，有 。 所以 的最大值 。 另一方面，任取实数 。设 为偶数，令 ，则 符合条件，且 。 于是，只要 ，即当 时， 。 所以满足条件的 ，从而 。 因此 的最大值为 。 72.【2010·重庆八中第四次月考】设数列 满足： ． （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 ． 解：（1）∵ ①，∴ 时， ② ①—②得 ， ，在①中令 得 ，∴ （2）∵ 则当 时， ∴当 时， 则 相减得 又 ∴ 73.【2010·福建省宁德三县市一中第二次联考】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3=5，S15=225。 （1）求数列{a​n}的通项an； （2）设bn= +2n，求数列{bn}的前n项和Tn。 解：（1）设等差数列{a​n}首项为a1，公差为d，由题意，得 ，解得 ，∴an=2n－1 ； （2） ， ∴ = 74.【2010·北京石景山一模】在数列 中， ， 且 ． ⑴求 ， 的值； ⑵证明：数列 是等比数列，并求 的通项公式；⑶求数列 的前 项和 ． 解：⑴∵ ， ，∴ ， ． ⑵∵ ，∴数列 是首项为 ，公比为 的等比数列．∴ ，即 ，∴ 的通项公式为 ． ⑶∵ 的通项公式为 ，所以， ． 75.【2010·云南省玉溪一中、楚雄一中、昆三中五月联考】在等比数列 中， ，公比 ，且 ，又 与 的等比中项为 。 （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，数列 的前 项和为 ，求数列 的通项公式； （3）设 ，求 . 解：（1） ，又 与 的等比中项为 ， ，而 ， ， ， ； （2） ， ， 是以 为首项，1为公差的等差数列 ； （3）由（2）知 ； 76.【2010·石家庄市教学质量检测（二）】已知数列 满足 （t>0，n≥2），且 ，n≥2时， >0．其中 是数列 的前n项和． （I）求数列 的通项公式； （III）若对于n≥2，n∈N *，不等式 恒成立，求t 的取值范围． 解：（I）依题意， ， （1）－（2）得 （ ）（n≥3），由已知 ，故 ＝（n≥3）， 由 ， ，得 ， ， 即数列 从第二项开始是首项为 ，公差为的等差数列． 所以 ，又当 时， ，所以 。 （II）设 要使 ,对于 恒成立， 只要 成立， 所以 77．【2010·银川一中二模】在数列 中， ， ， ． （1）证明数列 是等比数列； （2）设数列 的前 项和 ，求 的最大值。 解：（1）由题设 ，得 ， ．又 ，所以数列 是首项为 ，且公比为 的等比数列． （2）由（Ⅰ）可知 ，于是数列 的通项公式为 ．所以数列 的前 项和 ． = ， 故n=1，最大0． 78．【2010·湖南师大附中第二次月考试卷】设数列 的各项都为正数，其前 项和为 ，已知对任意 ， 是 和 的等差中项． （Ⅰ）证明数列 为等差数列，并求数列 的通项公式； （Ⅱ）证明 ； （Ⅲ）设集合 ， ，且 ，若存在 ∈M，使对满足 的一切正整数 ，不等式 恒成立，求这样的正整数 共有多少个？ 解：（Ⅰ）由已知， ，且 .，当 时， ，解得 。当 时，有 .于是 ，即 .于是 ，即 。因为 ，所以 .故数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，且 . （Ⅱ）因为 ，则 .，所以 2( ； （Ⅲ）由 ，得 ，即 ，所以 . ，由题设， ， ，…， ， ， ，…， ，因为 ∈M，所以 ， ，…， 均满足条件，且这些数组成首项为 ，公差为 的等差数列.设这个等差数列共有 项，则 ，解得 ．故集合M中满足条件的正整数 共有 个。 79．【2010青岛市二摸】已知函数 的导函数 ,数列 的前 项和为 ,点 均在函数 的图象上. (Ⅰ)求数列 的通项公式及 的最大值; (Ⅱ)令 ,其中 ,求 的前 项和. 解：(Ⅰ) , ，由 得: ,所以 ，又因为点 均在函数 的图象上,所以有 ，当 时, ，当 时, ， -，令 得 , 当 或 时, 取得最大值 ，综上, ,当 或 时, 取得最大值 ； (Ⅱ)由题意得 ，所以 ,即数列 是首项为 ,公比是 的等比数列，故 的前 项和 ①， ② 所以① ②得： ， 。 80．【2010·河北省石家庄市二模】各项都为正数的数列 ，满足 （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）证明 对一切 恒成立. 解：（Ⅰ）∵ ，∴ 为首项为1，公差为2的等差数列， ∴ ，又 ，则 （Ⅱ）只需证： . 1​ 当 =1时，左边=1，右边=1，所以命题成立. 当 =2时，左边<右边，所以命题成立 ②假设 =k时命题成立，即 ， 当n=k+1时，左边= . = .命题成立 由①②可知，对一切 都有 成立 版权所有：高考资源网(www.k s 5 u.com) 版权所有：高考资源网(www.ks5u.com) 版权所有：高考资源网(www.ks5u.com)