从眼见为“实”到检验为“真”——《长方形和正方形的认识》基于数据分析图形的教学思考与实践一、背景介绍及学生情况《长方形和正方形的认识》是学生从眼见为实的定性描述走向理性实证的定量刻画的一次跨越，是学生从定性感知图形走向定量认识图形的开始。在几何与图形的学习板块中能理性认识图形是非常重要的，特别是学生要对垂直、平行、相等、重合等线的位置关系进行理性实证的推理，而非眼睛看看即可；另外对于后续其他图形的研究和认识也要埋下理性实证的种子，要明白眼见并非为实，需要通过度量验证用数据证明或者几何变换对图形特征加以验证和应用。培养学生基于数据分析图形的空间思维能力以及长方形和正方形的共性的认知是我们要突破的生长点。那么，学生在学习这一内容时是否具备验证意识以及认识的水平又如何呢？于是笔者对三年级的学生进行了一个小测试。设置了两组题目，如下：题目描述：第一组是选长方形和描述长方形，其中②③④是长方形，⑤号是一个接近长方形的平行四边形；第二组是选正方形和描述正方形，其中①③是正方形，⑤号是接近正方形的长方形。测查目的：这两组题目可以检测学生是否具备判断长方形和正方形的验证意识和学生的知识储备量。检测结果统计如下表：第一题①②③④⑤⑥正确率100%95.3%100%95.3%44.18%100%表1：长方形辨认情况
统计表
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第一题①②③④⑤正确率100%90.7%95.3%100%9.3%表2：正方形辨认情况统计表结果分析：学生对于倾斜放置的长方形和正方形辨认有一定难度，而对于接近于长方形或者接近于正方形的图形辨认正确率极低，这说明学生在辨认长方形或者正方形的时候完全依赖于定性判定的层面，也就是主观地认为眼见为“实”，而缺乏理性实证的意识。长方形的表述中，学生能用上下左右一样长，长长的，角尖尖的这种具体语言来描述。但是对于对边，长和宽这样的概念还是很陌生的。正方形的语言表述中，学生只关注到边的特征，未关注角的特征，但是在选择时，大部分同学不会去选择有弧度的，显然学生对正方形的特征都有一定的了解，说明学生能够看得清但是表达不清。从测测可知，学生对于辨识长方形和正方形的验证需求和意识不足，缺乏数学的严谨性，关联概念知识储备也不足，从而增加了本节课推进特征验证的难度。二、教学实施基于以上背景和学生情况的分析，笔者设计了通过微型实验的教学活动，让学生动手操作去验证自己的发现，逐步加深对长方形和正方形的特征的认识，并通过讨论推理比较，得出长方形和正方形的联系。然后结合数据推理巩固及应用特征。1、创设情境，激发验证需求笔者提供了墨水盒、数学书、电脑屏幕、魔方、停车场等图片，通过生活中熟悉的物体，发现图形，给图形分类，发现长方形、正方形的特征，进行猜想长方形有对边相等，四个角都是直角的特征，正方形有四边相等，四个角都是直角的特征，进而揭示课题。猜想特征后，教师通过质疑，达成验证特征的目的。接着组织学生自主探究验证。给学生充足的时间动手操作。在验证时，提供不同的长方形纸片、正方形纸片，方格图，学习单。提供长方形、正方形纸片是为了让学生可以通过量、折的方法来验证对边相等。提供方格图是因为可以数清楚格子，避免量长度出现的误差，通过第三方事物的对比，使验证更严谨。为什么提供多种纸片，是因为验证特征要从一类图形来验证不能从一个图形来验证，将特征从特殊性走向一般性，再得出结论。以此来达到在自主观察中验证特征的目的。通过几次试课，我们得到了一下几组数据：从前两次的的数据来看。由于分工合作的
要求
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是一人操作一人
记录
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，但是这种方式效率不高，于是在后续的要求中更改为一人选择一种图形进行验证，这样之后效率明显有所提高。接下来得到了第三次和第四次的数据，如下：结合前几次的数据可以发现，学生是能够验证边的特征的，而且方法不单一，但是在角的验证方面是有欠缺的，人数明显低于验证边的人数。可见在前期的提示是不足的，所以在教师提示操作要求的时候增加一个问题提问学生角要怎么验证？这样调整之后，我们有了第五次的数据。验证角的人数有了明显的提高。2、理性辩证，利用数据说话笔者设计了以下两个环节，巩固图形的特征。一是选取了小棒作为素材，在7根小棒中选取4根小棒来拼图形，在落实正方形和长方形特征的同时，扩大了学生的选择范围，给足了想象空间。但是这个想象并不是毫无根据的，在提供的小棒素材中给出了小棒的长度，学生不但能想象出图形，还能根据长度数据，得到图形的边长是多少，落实对边相等的特征。二是拼图形这个环节。选取了这样四组素材，学生经历先想象再用平移、旋转等方法拼长方形，再一次培养想象力，同时巩固长方形的特征。同时图形上的长度的标注，让学生的想象不仅仅浮于表面，更是让学生的想象有了数据的支撑，从而让学生脑海中的想象落了地。在A组图形中追问：你能想象拼成的长方形长是多少宽是多少吗？学生能根据数据回答出了长4宽2。随后在B组问题中追问：拼成的图形一定是长方形吗？学生能通过对边的长度相等来确定。在C组题中不把这个图形拼起来，学生也能判断此时的长方形长是7宽是2。可见学生是能够通过数据来进行判断，实证所拼的图形是长方形。在D组图形中，再次追问两个问题，若给两个这样的长方形，你能拼出什么样的图形呢？学生能够正确地说出拼成的两种长方形，同样利用了所给的数据支撑了自己的想象。接着追问几个这样的长方形能拼成正方形呢？学生也能回答出需要3个长6宽2的长方形可以拼成一个正方形，让正方形的特征也得到了落实。三、后测反馈，数据分析在经过这样的教学之后，学生对于知识的掌握程度又是如何呢？笔者对学生进行了后测，内容如下：其中，第一题检测了学生对于长方形和正方形边的特征的落实情况，第二题主要考察空间想象力以及正方形和长方形的联系。以下是后测的数据：这是我们第一次试课得到的数据，其中①是长方形的长和宽，②是正方形的边长，③是剪下正方形的边长，④和⑤是剩下长方形的长和宽。从表格中我们能看出第一题的正确率接近于100%，说明学生对于长方形和正方形边的特征的认识掌握得比较好了。第二题第一个小问的正确率较高说明大部分同学知道在长方形中剪一个最大的正方形跟原来长方形的宽有关。而剩下的长方形的长和宽错误率较高，也说明了学生还无法在脑海里呈现出长方形被剪掉一个正方形后剩下的图形的样子。为了解决这个问题，在教学时强调通过画图用数据标注的方法来尝试解决这个问题。随后我们得到了以下数据，这是我们第五次试课时的数据，明显可见第二题的正确率有所提高。在不断的调整之后，我们得到了下面最后一组数据，发现效果更好了，已经有70%的同学已经能正确的描述剩下的长方形的长和宽是多少了。可见学生掌握越来越好了。四、回顾历程，总结反思通过上述教学实践，这一内容的教学并不容易，因为学生在此之前有眼见为“实”的思维定势。而我们要做的是让孩子在眼见为“实”的快速判断的成就感中慢慢修缮他们的认知，从而形成理性实证的科学探究精神。用数据作为支撑的支架，进行理性的思维辩证，同时培养学生的数据分析观念，以及推理能力等数学核心素养。路漫漫其修远兮。只有不断学习，不断思考，经过一次次的磨砺，才能进一步明确数学教学的本质。我还将不断反思、前行！
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