1.3.2第二课时 函数奇偶性的应用(习题课)第PAGE页第二课时函数奇偶性的应用(习题课)【选题明细表】
知识点
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、方法题号利用奇偶性求函数值2,3,7利用奇偶性求解析式5,8奇偶性与单调性的综合应用1,4,6,9,10,11,12,131.以下函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数为( C )(A)y=(B)y=x2+1(C)y=(D)y=x解析:选项A,D中的函数是奇函数,选项B,C中的函数是偶函数,但函数y=x2+1在(0,+∞)上单调递增.应选C.2.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,那么f(2)等于( D )(A)6(B)-6(C)10(D)-10解析:由于f(x)是定义在R上的奇函数,因此f(2)=-f(-2),根据条件可得f(-2)=2×(-2)2-(-2)=10.故f(2)=-10.选D.3.f(x)=ax7-bx5+cx3+2,且f(-5)=m,那么f(5)+f(-5)的值为( A )(A)4(B)0(C)2m(D)-m+4解析:由f(-5)=a(-5)7-b(-5)5+c(-5)3+2=-a·57+b·55-c·53+2=m,得a·57-b·55+c·53=2-m,那么f(5)=a·57-b·55+c·53+2=2-m+2=4-m.所以f(5)+f(-5)=4-m+m=4.应选A.4.定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),都有(x2-x1)·[f(x2)-f(x1)]>0,那么( C )(A)f(-2)
0,故f(x)在x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2)上单调递增.又因为f(x)是偶函数,所以f(x)在[0,+∞)上单调递减,且满足n∈N*时,f(-2)=f(2),由3>2>1>0,得f(3)0时,f(x)=x-2013,且知f(x)在定义域上是奇函数,那么当x<0时,f(x)的解析式是( A )(A)f(x)=x+2013(B)f(x)=-x+2013(C)f(x)=-x-2013(D)f(x)=x-2013解析:设x<0,那么-x>0,所以f(-x)=-x-2013,又因为f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=x+2013,应选A.6.假设f(x)和g(x)都是奇函数,且F(x)=f(x)+g(x)+2,在(0,+∞)上有最大值8,那么在(-∞,0)上F(x)有( D )(A)最小值-8(B)最大值-8(C)最小值-6(D)最小值-4解析:根据题意有f(x)+g(x)在(0,+∞)上有最大值6,又因为f(x)和g(x)都是奇函数,所以f(x)+g(x)是奇函数且f(x)+g(x)在(-∞,0)上有最小值-6,那么F(x)在(-∞,0)上也有最小值-6+2=-4,应选D.7.假设函数f(x)=为奇函数,那么f(g(-1))= . 解析:根据题意,当x<0时,f(x)=g(x),f(x)为奇函数,g(-1)=f(-1)=-f(1)=-(12+2×1)=-3,那么f(g(-1))=f(-3)=-f(3)=-(32+2×3)=-15.答案:-158.设函数y=f(x)是偶函数,它在[0,1]上的图象如图.那么它在[-1,0]上的解析式为 . 解析:由题意知f(x)在[-1,0]上为一条线段,且过(-1,1),(0,2),设f(x)=kx+b,代入解得k=1,b=2,所以f(x)=x+2.答案:f(x)=x+29.(2021·孟坝中学高一期中)f(x)是定义在[-2,2]上的偶函数,且f(x)在[0,2]上单调递减,假设f(1-m)f(-3)(B)f(π)f(-3.14)>f(-3)(D)f(π)f(|-3.14|)>f(π),所以f(π)f()>f(1)>f()成立.应选D.12.函数f(x)为定义在[-1,1]上的偶函数,且在[0,1]上为单调递增函数,那么f(2x+1)>f(+1)的解集为 . 解析:根据函数f(x)为定义在[-1,1]上的偶函数,且在[0,1]上为单调递增函数,那么由f(2x+1)>f〔+1〕,可得|2x+1|>|+1|,①且|2x+1|≤1.②把①平方可得x〔x+1〕>0,所以x<-,或x>0.由②可得-1≤2x+1≤1,解得-1≤x≤0.综合可得,-1≤x<-.答案:[-1,-)13.定义在R上的函数f(x)对任意实数a,b都有f(a+b)+f(a-b)=2f(a)·f(b)成立,且f(0)≠0.(1)求f(0)的值;(2)试判断f(x)的奇偶性.解:(1)令a=b=0,那么f(0)+f(0)=2f(0)·f(0),即f(0)=f2(0).因为f(0)≠0,所以f(0)=1.(2)令a=0,b=x,那么f(x)+f(-x)=2f(0)·f(x).因为f(0)=1,所以f(x)+f(-x)=2f(x).所以f(x)=f(-x).所以f(x)是R上的偶函数.
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