精品文档精品文档精品文档精品文档高等数学练习题第十章曲线积分与曲面积分一．选择题系专业班姓名第一节对弧长的曲线积分学号1．设L是连接A(1,0)，B(0,1)，C(1,0)的折线，则L(xy)ds[B](A)0(B)2(C)22(D)2222．设L为椭圆xy1，并且其周长为S，则L(3x24y212)ds=[D](A)S(B)6S(C)12S(D)24S二．填空题1．设平面曲线L为下半圆周y1x2，则曲线积分(x2y2)ds2．设L是由点O(0,0)经过点A(1,0)到点B(0,1)的折线，则曲线积分L(xy)ds122三．
计算题
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1．(x2y2)nds，其中L为圆周xacost，yasint(0t2).解：原式0a2n(x)2(y)2dta2n10dt2a2n12．Lexyds，其中L为圆周x2y2a2，直线yx及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.解：设圆周与x轴和直线yx的交点分别为A和B，2yxxea在圆周AB上令xacos,yasin,04得aae422BeOxyds3．y2ds，其中L为摆线的一拱xa(tLsint)，ya(1cost)(0t2)22AeBxyds04ea(x)2(y)2d在直线BO上yx,ds2dx得2a22xa2edxeaa所以原式(24a)ea2解：原式2a20(1cost)2(x)2(y)2dt522a30(1cost)2dt256a315精品文档高等数学练习题第十章曲线积分与曲面积分系专业班姓名学号第二节对坐标的曲线积分一．选择题1．设L以(1,1)，(1,1)，(1,1)，(1,1)为顶点的正方形周边，为逆时针方向，则(A)1(B)2(C)4(D)02．设L是抛物线yx22(1x1),x增加的方向为正向，则xds和xdyydx[A]2525(A)0,(B)0,0(C),(D),0x2dyy2dx[D]3838．填空题2231．设设L是由原点O沿yx2到点A(1,1)，则曲线积分L(xy)dy2．设L是由点A(1,1)到B(1,1)的线段，则(x22xy)dx(y22xy)dy=三．计算题1．设L为取正向圆周x2y2a2，求曲线积分L(2xy2y)dx(x24x)dy.解：将圆周写成参数形式xacos,yasin,(02)，于是原式20{(2a2cossin2asin)(asin)(a2cos24acos)acos}d2{(2a3cossin22a2sin2)(a3cos34a2cos2)}d2a22．设L是由原点O沿yx2到点A(1,1)，再由点A沿直线yx到原点的闭曲线，求arctanydydxy1解：I1arctandydx(2xarctanx1)dxx精品文档4精品文档精品文档4精品文档21[xarctanxxarctanxx]0202I2yarctandydx(arctan11)dx1AOx14所以原式I1I22214413．计算L（xy）dx（yx）dy，其中L是：（1）抛物线y2x上从点（1，1）到点（4，2）的一段弧；（2）从点（1，1）到点（4，2）的直线段；（3）先沿直线从点（1，1）到点（1，2），然后再沿直线到点（4，2）的折线.222解：（1）原式｛（y2y）2y（yy2）｝dy2321（2y3y2y）dy343（2）过（1，1），（4，2）的直线方程为x3y2,dx3dy2所以原式｛3（4y2）（22y）｝dy21（10y4）dy11（3）过（1，1），（1，2）的直线方程为x1,dx0,1y221所以I11（y1）dy112（3）过（1，2），（4，2）的直线方程为y2,dy0,1x4427所以I2（x2）dx27于是原式I1I214精品文档精品文档精品文档精品文档4．求(y2z2)dxy2zdyxdz2,其中L为曲线xt,yt2,zt(A)3(B)(C)3(D)02．填空题1．设L是由点O(0,0)到点A(1,1)的任意一段光滑曲线，则曲线积分(0t1)按参数增加的方向进行.1解：由题意，原式{(tL(12xyy2)dx(xy)2dy2．设曲线L为圆周x2y29，顺时针方向，则(2xy2y)dx(x24x)dy18三．计算题t1．I(2xy3y2cosx)dx(12ysinx3x2y2)dy，其中L为在抛物线2xy2上从点)4t63t4}dt0(3t62t4)dt135高等数学练习题第十章曲线积分与曲面积分系专业班姓名学号第三节格林公式及其应用．选择题1．设曲线积分L(x44xyp)dx(6xp1y25y4)dy与路径无关，则p[C]TOC\o"1-5"\h\z(A)1(B)2(C)3(D)42．已知(xay)dx2ydy为某函数的全微分，则a[D](xy)2(A)1(B)0(C)1(D)2122xx23．设L为从A(1,)沿曲线2yx2到点B(2,2)的弧段，则曲线积分dx2dy=[D]2Lyy2(0,0)到(,1)的一段弧。解：设P(x,y)2xy3y2cosx,Q(x,y)12ysinx3x2y2,因为PQ6xy22ycosx，所以曲线积分与路径无关。yx于是I[(02,0)(2,0)](2xy3y2cosx)dx(12ysinx3x2y2)dy(2,)2．证明(3,4)(1,2)10(12y3y2)dy(6xy2y3)dx(6x2y3xy2)dy与路径无关并计算其积分值证明：设P(x,y)6xy2y3,Q(x,y)6x2y3xy2,因为P12xy3y2Q，并且连续，所以该积分与路径无关。yx分别记(1,2)，(3,2)，(3,4)为A,B,C因为积分与路径无关，所以原积分等于沿AB线段的积分加沿BC线段的积分。即，2)dy(3,2)2322(3,4)232原式(1,2)(6xy2y3)dx(6x2y3xy2)dy(3,2)(6xy2y3)dx(6x2y34281(3x1)dx92(6yy2)dy。2363．设f(u)是u的连续可微函数，且f(u)duA0，L为半圆周y2xx2，起点为原点，终点为(2,0)，求f(x2y2)(xdxydy)解：设P(x,y)xf(x2y2),Q(x,y)yf(x2y2),P22Q因为2xyf(x2y2)，所以该积分与路径无关。yx若记(0,0),(2,0)分别为O,A则原积分=OAf(x2y2)(xdxydy)220f(x2)xdx142f(u)du。(令ux2)A2
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