第二节幂级数

第二节幂级数第二节幂级数一、幂级数的概念二、幂级数的敛散性三、幂级数的运算和性质四、小结与思考机动目录上页下页返回结束*一、幂级数的概念特殊情形这种级数称为以a为心的幂级数.当时，*二、幂级数的敛散性求幂级数的收敛范围与和函数.解级数的部分和为*级数收敛,级数发散.且有收敛范围为一单位圆域在此圆域内,级数绝对收敛,*1.收敛定理(阿贝尔Abel定理)如果级数在收敛,那末对的级数必绝对收敛,如果在级数发散,那末对满足的级数必发散.满足阿贝尔介绍*证由收敛的必要条件,有因而存在正数M,使对所有的n,*而由正项级数的比较判别法知:收...

第二节幂级数一、幂级数的概念二、幂级数的敛散性三、幂级数的运算和性质四、小结与思考机动目录上页下页返回结束*一、幂级数的概念特殊情形这种级数称为以a为心的幂级数.当时，*二、幂级数的敛散性求幂级数的收敛范围与和函数 .解级数的部分和为*级数收敛,级数发散.且有收敛范围为一单位圆域在此圆域内,级数绝对收敛,*1.收敛定理(阿贝尔Abel定理)如果级数在收敛,那末对的级数必绝对收敛,如果在级数发散,那末对满足的级数必发散.满足阿贝尔介绍*证由收敛的必要条件,有因而存在正数M,使对所有的n,*而由正项级数的比较判别法知:收敛.另一部分的证明请课后完成.[证毕]*2.收敛圆与收敛半径对于一个幂级数,其收敛半径的情况有三种:(1)对所有的正实数都收敛.由阿贝尔定理知:级数在复平面内处处绝对收敛.幂级数的收敛范围是一个圆域，级数在圆内绝对收敛，在圆外发散。该圆称为幂级数的收敛圆，该圆的半径称为幂级数的收敛半径。*例如,级数对任意固定的z,从某个n开始,总有于是有故该级数对任意的z均收敛.*(2)对所有的正实数除z=0外都发散.此时,级数在复平面内除原点外处处发散.(3)既存在使级数发散的正实数,也存在使级数收敛的正实数.例如,级数通项不趋于零,如图:故级数发散.*..收敛圆收敛半径幂级数的收敛范围是以原点为中心的圆域.幂级数的收敛范围?*问题:幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?例如,级数:收敛圆周上无收敛点;在收敛圆周上处处绝对收敛.在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出一般的结论,要对具体级数进行具体分析 .注意*3.收敛半径的求法方法1:比值法:那末收敛半径即(极限不存在),即*方法2:根值法那末收敛半径说明:(与比值法相同)如果*例1试求幂级数的收敛半径及收敛圆.解(1)因为收敛圆为|z|<1.*(2)因为收敛圆为|z-2|<1.(3)因为幂级数在整个复平面都解析.*故收敛半径(4)收敛圆为|z|<1/e.*三、幂级数的运算和性质1.幂级数的有理运算*例2把函数表成形如的幂级数,其中是不相等的复常数.解把函数写成如下的形式:代数变形,使其分母中出现凑出*级数收敛,且其和为*例3解*例4求级数的收敛半径与和函数.解*定理四设幂级数的收敛半径为那末(2)在收敛圆内的导数可将其幂级数逐项求导得到,是收敛圆内的解析函数.(1)3.复变幂级数在收敛圆内的性质*(3)在收敛圆内可以逐项积分,简言之:在收敛圆内,幂级数的和函数解析;幂级数可逐项求导,逐项积分.(常用于求和函数)即*例5求级数的收敛半径与和函数.解利用逐项积分,得:所以*五、小结与思考这节课我们学习了幂级数的概念和阿贝尔定理等内容，应掌握幂级数收敛半径的求法和幂级数的运算性质.*思考题幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定?*由于在收敛圆周上确定,可以依复数项级数敛散性讨论.思考题答案*放映结束，按Esc退出.作业:P721(3)(4),2(1)(3)(5),*阿贝尔挪威数学家，是公认的椭圆函数论的创始人之一。是分析学严格化的推动者。NielsAbel1802---1829

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