损失和风险

TingBaowasrevisedonJanuary6,20021损失和风险第三章效用、损失和风险(Utility,LossandRisk)本章主要参考文献：60，56，86，87，92，129，156，169，183，184§3—1效用的定义和公理系统一、引言·为什么要引入效用决策问题的特点：自然状态不确定——以概率表示；后果价值待定：以效用度量。1.无形后果，非数字量(如信誉、威信、出门带伞问题的后果)需以数值度量；2.即使是数值量(例如货币)表示的后果，其价值仍有待确定，后果的价值因人而异。例一：同是100元钱，对穷人和百万富翁的价值绝然不同；对同一个人，身无分文时的100元，与已有10000元再增加100元的作用不同，这是钱的边缘价值问题。例二：上图作为商业、经营中实际问题的数学模型有普遍意义有人认为打赌不如礼品,即*由上面两个例子可知：在进行决策 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 时，存在如何描述(表达)后果的实际价值，以便反映决策的人偏好次序(preferenceorder)的问题*偏好次序是决策人的个性与价值观的反映，与决策人所处的社会、经济地位，文化素养，心理和生理(身体)状态有关。*除风险偏好之外，还时间偏好。i,折扣率ii,其他而效用(Utility)就是偏好的量化，是数(实值函数).DanielBernoulli在1738年指出：若一个人面临从给定行动集(风险性展望集)中作选择的决策问题，如果他知道与给定行动有关的将来的自然状态，且这些状态出现的概率已知或可以估计，则他应选择对各种可能后果的偏好的期望值最高的行动。二、效用的定义1.符号i,AB(即APB)读作A优于B：(Prefer(ed)AtoB)AB(即ARB)A不劣于BA～B(即AIB)A无差别于B(Indifference)ii,展望(prospect):可能的前景即各种后果及后果出现概率的组合P=(……)既考虑各种后果(consequence)又考虑了各种后果的概率(probabilityorlikelihood)分布所有P的集合记作piii,抽奖(lottery)与确定当量若(;)则称确定性后果为抽奖(;)的确定当量2.效用的定义(A)在集合p上的实值函数u，若它和p上的优先关系一致，即:若p,iffu()≥u()则称u为效用函数三、效用存在性公理理性行为公理VonNeumann-Morenstern,1994[169]·公理1连通性(Connectivity)又称可比性p,则oror·公理2传递性(Transitivity)p,若,则·公理3替代性公理(加等量时优先关系不变)若p,且01则对任何∈p,必有+(1-)+(1-)或者表达成：,则+(1-)+(1-)即二种后果中，决策人所偏好的后果出现机会较大的情况是决策人所喜爱的。·公理4连续性公理----偏好的有界性若则存在01,01,使+(1-)+(1-)由+(1-)可知不是无穷劣,即u()由+(1-)可知不是无穷优,即u()即使是死亡，亦不至于无穷劣例：i,过马路若死亡为无穷劣，则不能过马路ii,狂犬病疫苗上述公理看来是合乎理性的，事实上并不尽然.例：Allais悖论（Paradox〕例如，1953年Allais在一次学术会议上提出如下问题，请效用理论权威Svage回答Savage的回答是A组宁择i，B组宁择ii，Allais指出：B组的i,ii,均以的$500,000取代的$0，即与A组的i,ii,相对应，照公理3、A、B两组中i,ii,的优先关系应当不变。Savage当时语塞。·效用的公理化定义在上述公理系统中，若p上存在实值函数u，使i,当且仅当u()＞u()ii.u(α,;1-α,)=αu()+(1-α)u()iii,对满足上述条件的,必有()=b()+c,其中b,c∈,b＞0则u(P)称为(基数)效用函数*关于线性：将ii.u(α,;1-α,)=αu()+(1-α)u()推广到一般,若∈p;≥0,i=1,2,…m;=1;则u()=u()四、基数效用与序数效用(Cardinal&OrdinalUtility)基数：实数：1，2，3,π序数：第一，二，…，4，3，2，1·区别：1.基数效用定义在展望集p上(考虑后果及其概率分布),是实数;序数效用定义在后果集C上，不涉及概率，可以是整正数2.基数效用反映偏好强度：(正线性变换下唯一)原数列可变换为:b+c,2b+c,3b+c,πb+c;其中b,c∈,b＞0.而序数效用不反映偏好强度，(保序变换下唯一),原序数列可变换为16,9,4,1;或8,6,4,2,或10,7,6,1等.·序数效用的存在性公理1.连通性(可比)2.传递性3.对任何确定的后果x，优势集与劣势集均为闭集。(教材：P29§§效用函数的构造一、离散型的概率分布后果元素有限·各后果效用设定的步骤NM法由公理4:若,则可找到0<α<1,使α+(1-α)第一步：选定,C,使令u()=0,u()=1所选择的、应使比较易于进行.第二步：对,求α(0<α<1),使α+(1-α)则u()=u(α+(1-α))=αu()+(1-α)u()第三步：若,求α(0<α<1),使α+(1-α)则u()=u(α+(1-α))=αu()+(1-α)u()u()=α/(α-1)第四步：若,求α(0<α<1),使α+(1-α)则u()=u(α+(1-α))=αu()u()=1/α第五步：一致性校验设且,,已知，由α+(1-α)求得u’()若u’()与已知的u()不符，则反复进行二、三、四步，直到一致性校验通过.例设一、u()=0,u()=1二、+u()=三、+u()=校验设+u’()=≠重复二、三、若u()不变u()=则通过校验.二、连续型后果集·当C为连续变量时,u(c)是光滑的，因此可分段构造，求特征点的效用，再连成光滑曲线例1.每天学习时间的效用曲线在10～12小时／日处效用最大8小时／日处效率最高(效用／小时)例2.见讲义P31之例·注意：效用的唯一性(在正线性变换下唯一)使效用的值域为整个实轴，而不必限于[0,1]§风险与效用一、效用函数包含的内容1.对风险的态度风险厌恶(RiskAversion)风险中立(RiskNeutralness)风险追求(RiskProneness)即有冒险倾向以上是初期对风险的解释(PrattC.,1964)2.对后果的偏好强度钱的边缘价值：设某人现有积蓄为0，增加800地的作用(价值)与有了800元后再加1200元相等,则此人的财富的价值函数是凹函数。若他认为800元,0;,2000),则与其说此人是风险厌恶不如说他是相对风险中立。为此有必要对确定性后果的偏好强度加以量化。3.效用表示时间偏好十分复杂，我们在第八章再介绍。二、可测价值函数——确定性后果偏好强度的量化定义：在后果空间X上的实值函数v，对ω，x,y,z∈X有i,ωxyz当且仅当υ(ω)-υ(x)≥υ(y)-υ(z),且ii,v对正线性变换是唯一确定的。则称υ为可测价值函数 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 ：i，ωxyz表示ω,x之间偏好强度之差超过y,z之间偏好强度之差,ii,由定义之ii，可测价值函数具有基数性质但与基数效用不同：VF不反映DMer的风险态度。iii，它定在后果空间上，能起序数效用的作用但又与OUF不同：能反映后果的偏好强度.三、相对风险态度设效用函数u和测价值函数v在X上都是单调递增，且连续二次可微。1.风险的局部测度>0u在x处凹,风险厌恶r(x)=-u”(x)/u’(x)=0u在x处线性,风险中立<0u在x处凸,风险追求2.偏好强度的局部测度>0在x处有递减的边缘价值m(x)=-v”(x)/v’(x)=0在x处有不变的边缘价值<0在x处有递增的边缘价值3.真正的(相对)风险态度的定义若m(x)＜r(x)称为在X'区内相对风险厌恶m(x)=r(x)称为在X'内相对风险中立m(x)=r(x)称为在X'内相对风险追求四、风险酬金kE(x)-S这是决策人为了避免风险而顾意损失的金额k=f(v,P)五、钱的效用1.性质i,单调递增：愈多愈好有界：全世界财富总量不足$,u()与u()几乎无差异ii,x较小(相对于决策人资产而言)时,u(x)近乎线性iii,x>0时u(x)通常是凹的递减的边缘价值风险厌恶x>0与x<0的形状不同,负债较多有追求风险的倾向.2.钱的效用曲线的构成设某人现有1000元存款(某商店有资产10万，企业有1000万等等)i,NM法(见§利用～α+(1-α)ii,修正的NM法利用～+例:设u(0)=0),u(1000)=1有300～<0>+<1000>u(300)=又125～<0>+<100>u(125)=550～<300>+<1000>u(550)=由0～+<500>设a=-250则u(-250)=-u(500)=-250～+<0>原因：i,价值函数是S型ii,在一定范围内相对风险态度不变iii,负债到一定程度以上有冒险倾向Friedmann-Savage效用曲线(1948):§损失、风险和贝叶斯风险一、损失函数L有些文献采用损失函数进行分析∵u(c)=u(θ,a)∴l(θ,a)-u(θ,a)则损失函数与效用作用相同为了使损失值非负，可取l(θ,a)=u(θ,a)-u(θ,a)二、风险函数自然状态集Θ-----参数空间行动集A-----决策空间观察值集X-----测度空间决策规则δ:x→a,,Δ为策略空间损失l(θ,a)=l(θ,δ(x))由于X是随机变量，对给定的θ，采用决策规则δ时定义风险函数R(θ,δ)=[l(θ,δ(x))]=l(θ,δ(x))]f(x|θ)dx或l(θ,δ(x))p(x|θ)三、贝叶斯风险r(π，δ)EπR(θ,δ)含义：θ的先验分布为π，决策规则为δ时风险函数的期望值叫贝叶斯风险即:r(π，δ)=R(θ,δ)=l(θ,δ(x))f(x|θ)dx]π(θ)dθ或l(θ,δ(x))p(x|θ)π(θ)