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应用多元统计分析课后习题答案 部分习题解答

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应用多元统计分析课后习题答案 部分习题解答应用多元统计分析第三章习题解答第三章多元正态总体参数的假设检验3-1设X~Nn(μ,σ2In),A为对称幂等阵,且rk(A)=r(r≤n),证明证明因A为对称幂等阵,而对称幂等阵的特征值非0即1,且只有r个非0特征值,即存在正交阵Γ(其列向量ri为相应特征向量),使第三章多元正态总体参数的检验其中非中心参数为第三章多元正态总体参数的检验3-2设X~Nn(μ,σ2In),A,B为n阶对称阵.若AB=0,证明X′AX与X′BX相互独立.证明的思路:记rk(A)=r.因A为n阶对称阵,存在正交阵Γ,使得Γ′A...

应用多元统计分析课后习题答案 部分习题解答
应用多元统计分析第三章习题解答第三章多元正态总体参数的假设检验3-1设X~Nn(μ,σ2In),A为对称幂等阵,且rk(A)=r(r≤n),证明证明因A为对称幂等阵,而对称幂等阵的特征值非0即1,且只有r个非0特征值,即存在正交阵Γ(其列向量ri为相应特征向量),使第三章多元正态总体参数的检验其中非中心参数为第三章多元正态总体参数的检验3-2设X~Nn(μ,σ2In),A,B为n阶对称阵.若AB=0,证明X′AX与X′BX相互独立.证明的思路:记rk(A)=r.因A为n阶对称阵,存在正交阵Γ,使得Γ′AΓ=diag(λ1,…,λr0,..,0)令Y=Γ′X,则Y~Nn(Γ′μ,σ2In),第三章多元正态总体参数的检验且又因为X′BX=Y′Γ′BΓY=Y′HY其中H=Γ′BΓ。如果能够证明X′BX可表示为Yr+1,…,Yn的函数,即H只是右下子块为非0的矩阵。则X′AX与X′BX相互独立。第三章多元正态总体参数的检验证明记rk(A)=r.若r=n,由AB=O,知B=On×n,于是X′AX与X′BX独立;若r=0时,则A=0,则两个二次型也是独立的.以下设0<r<n.因A为n阶对称阵,存在正交阵Γ,使得第三章多元正态总体参数的检验其中λi≠0为A的特征值(i=1,…,r).于是令r第三章多元正态总体参数的检验由AB=O可得DrH11=O,DrH12=O.因Dr为满秩阵,故有H11=Or×r,H12=Or×(n-r).由于H为对称阵,所以H21=O(n-r)×r.于是由于Y1,…,Yr,Yr+1,…,Yn相互独立,故X′AX与X′BX相互独立.第三章多元正态总体参数的检验令Y=Γ′X,则Y~Nn(Γ′μ,σ2In),且设X~Np(μ,Σ),Σ>0,A和B为p阶对称阵,试证明(X-μ)′A(X-μ)与(X-μ)′B(X-μ)相互独立ΣAΣBΣ=0p×p.第三章多元正态总体参数的检验3-3由“1.结论6”知ξ与η相互独立第三章多元正态总体参数的检验性质4分块Wishart矩阵的分布:设X(α)~Np(0,Σ)(α=1,…,n)相互独立,其中又已知随机矩阵则第三章多元正态总体参数的检验试证明Wishart分布的性质(4)和T2分布的性质(5).3-4第三章多元正态总体参数的检验证明:设记,则即第三章多元正态总体参数的检验当Σ12=O时,对α=1,2,…,n,相互独立.故有W11与W22相互独立.由定义3.1.4可知性质5在非退化的线性变换下,T2统计量保持不变.证明:设X(α)(α=1,…,n)是来自p元总体Np(μ,Σ)的随机样本,X和Ax分别表示正态总体X的样本均值向量和离差阵,则由性质1有第三章多元正态总体参数的检验令其中C是pp非退化常数矩阵,d是p1常向量。则第三章多元正态总体参数的检验所以第三章多元正态总体参数的检验3-5对单个p维正态总体Np(μ,Σ)均值向量的检验问题,试用似然比原理导出检验H0:μ=μ0(Σ=Σ0已知)的似然比统计量及分布.解:总体X~Np(μ,Σ0)(Σ0>0),设X(α)(α=1,…,n)(n>p)为来自p维正态总体X的样本.似然比统计量为P66当Σ=Σ0已知μ的检验第三章多元正态总体参数的检验第三章多元正态总体参数的检验第三章多元正态总体参数的检验因所以由§3“一﹑2.的结论1”可知第三章多元正态总体参数的检验3-6(均值向量各分量间结构关系的检验)设总体X~Np(μ,Σ)(Σ>0),X(α)(α=1,…,n)(n>p)为来自p维正态总体X的样本,记μ=(μ1,…,μp)′.C为k×p常数(k0未知.检验H0似然比统计量为记其中第三章多元正态总体参数的检验其中A=A1+A2称为组内离差阵.B称为组间离差阵.第三章多元正态总体参数的检验因为似然比统计量第三章多元正态总体参数的检验所以第三章多元正态总体参数的检验由定义3.1.5可知由或由于第三章多元正态总体参数的检验可取检验统计量为检验假设H0的否定域为第三章多元正态总体参数的检验3-11表3.5给出15名2周岁婴儿的身高(X1),胸围(X2)和上半臂围(X3)的测量数据.假设男婴的测量数据X(α)(α=1,…,6)为来自总体N3(μ(1),Σ)的随机样本.女婴的测量数据Y(α)(α=1,…,9)为来自总体N3(μ(2),Σ)的随机样本.试利用表3.5中的数据检验H0:μ(1)=μ(2)(α=0.05).解:这是两总体均值向量的检验问题.检验统计量取为(p=3,n=6,m=9):第三章多元正态总体参数的检验其中故检验统计量为用观测数据代入计算可得:故H0相容.显著性概率值第三章多元正态总体参数的检验3-12在地质勘探中,在A、B、C三个地区采集了一些岩石,测其部分化学成分见表3.6.假定这三个地区岩石的成分遵从N3(μ(i),Σi)(i=1,2,3)(α=0.05).(1)检验H0:Σ1=Σ2=Σ3;H1:Σ1,Σ2,Σ3不全等;(2)检验H0:μ(1)=μ(2),H1:μ(1)≠μ(2);(3)检验H0:μ(1)=μ(2)=μ(3),H1:存在i≠j,使μ(i)≠μ(j);(4)检验三种化学成分相互独立.解:(4)设来自三个总体的样本为(p=3,k=3)检验H0的似然比统计量为第三章多元正态总体参数的检验似然比统计量的分子为第三章多元正态总体参数的检验称为合并组内离差阵.第三章多元正态总体参数的检验第三章多元正态总体参数的检验似然比统计量的分母为第三章多元正态总体参数的检验检验H0的似然比统计量可化为:第三章多元正态总体参数的检验Box证明了,在H0成立下当n→∞时,ξ=-blnV~χ2(f),其中V=0.7253,ξ=-blnV=3.2650,因p=0.3525>0.05.故H0相容,即随机向量的三个分量(三种化学成分)相互独立.第三章多元正态总体参数的检验或者利用定理3.2.1,当n充分大时,ξ=-2lnλ~χ2(f),其中f=p+p(p+1)/2-(p+p)=3,V=0.7253,λ=0.1240,ξ=-2lnλ=-n×lnV=4.1750,因p=0.2432>0.05.故H0相容,即随机向量的三个分量(三种化学成分)相互独立.第三章多元正态总体参数的检验3-13对表3.3给出的三组观测数据分别检验是否来自4维正态分布.(1)对每个分量检验是否一维正态?(2)利用χ2图检验法对三组观测数据分别检验是否来自4维正态分布.
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本人从事环境安全工程师工作,具有丰富的工作经验
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