经典例题透析类型一：复数的有关概念例1．已知复数，试求实数a分别取什么值时，z分别为：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.思路点拨：根据复数z为实数、虚数及纯虚数的概念，判断实部与虚部取值情况.利用它们的充要条件可分别求出相应的a值.解析：（1）当z为实数时，有，∴当时，z为实数.（2）当z为虚数时，有，∴当a∈（－∞，－1）∪（－1，1）∪（1，6）∪（6，+∞）时，z为虚数.（3）当z为纯虚数时，有∴不存在实数a使z为纯虚数.总结升华：由于a∈R，所以复数z的实部与虚部分为与.①求解第（1）小题时，仅注重虚部等于零是不够的，还需考虑它的实部是否有意义，否则本小题将出现增解；②求解第（2）小题时，同样要注意实部有意义的问题；③求解第（3）小题时，既要考虑实数为0（当然也要考虑分母不为0），还需虚部不为0，两者缺一不可.举一反三：【变式1】设复数z=a+bi（a、b∈R），则z为纯虚数的必要不充分条件是（）A．a=0B．a=0且b≠0C．a≠0且b=0D．a≠0且b≠0【答案】A；由纯虚数概念可知：a=0且b≠0是复数z=a+bi（a、b∈R）为纯虚数的充要条件.而题中要选择的是必要不充分条件，对照各选择支的情况，应选择A.【变式2】若复数是纯虚数，则实数的值为（）A.1B.2C.1或2D.-1【答案】B；∵是纯虚数，∴且，即.【变式3】如果复数是实数，则实数m=（）A．1B．－1C．D．【答案】B；【变式4】求当实数取何值时，复数分别是：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.【答案】（1）当即或时，复数为实数；（2）当即且时，复数为虚数；（3）当即时，复数为纯虚数.类型二：复数的代数形式的四则运算例2.计算：（1）；(2)(3);(4)解析：(1)∵，∴，，同理可得：当时，当时，，当时，当时，，∴(2)(3)(4)总结升华：熟练运用常见结论：1）的“周期性”（）2）3）举一反三：【变式1】计算：（1）(5―6i)+(―2―i)―(3+4i)（2）（3）（4）；【答案】（1）(5―6i)+(―2―i)―(3+4i)=[(5―2)+(―6―1)i]―(3+4i)=(3―7i)―(3+4i)=(3―3)+(―7―4)i=―11i.（2）（3）（4）【变式2】复数()A. B. C. D.【答案】A；【变式3】复数等于()A.iB.-iC.D.【答案】A；，故选A【变式4】复数等于()A.8B.－8C.8iD.－8i【答案】D；.类型三：复数相等的充要条件例3、已知x是实数，y是纯虚数，且满足(2x―1)+(3―y)i=y―i，求x、y.思路点拨：因x∈R，y是纯虚数，所以可设y=bi（b∈R且b≠0），代入原式，由复数相等的充要条件可得方程组，解之即得所求结果.解析：∵y是纯虚数，可设y=bi（b∈R，且b≠0），则(2x―1)+(3―y)i＝(2x―1)+(3―bi)i＝（2x－1+b）+3i，y―i=bi－i=（b－1）i由(2x―1)+(3―y)i=y―i得（2x―1+b）+3i=（b―1）i，由复数相等的充要条件得，∴，.总结升华：1.复数定义：“形如（）的数叫复数”就意味凡是复数都能写成这一形式，求一个复数，使用一个复数都可通过这一形式将问题化虚为实，把复数问题转化为实数问题来研究.这是解决复数问题的常用方法.2．复数相等是复数问题实数化的有效途径之一，由两复数a+bi与c+di（a，b，c，d∈R）相等的充要条件是a=c且b=d，可得到两个实数等式.3.注意左式中的3―y并非是(2x―1)+(3―y)i的虚部，同样，在右边的y―i中y也并非是实部.举一反三：【变式1】设x、y为实数，且【答案】由得即5x(1+i)+2y(1+2i)=5(1+3i)，即(5x+2y-5)+(5x+4y-15)i=0，故∴【变式2】若z∈C且(3+z)i=1(i为虚数单位)，则z=____.【答案】设z=a+bi(a,b∈R)，则(3+z)i=-b+(3+a)i=1由复数相等的充要条件得b=-1且a=-3，即z=-3-i.【变式3】设复数满足，则（）A．B．C．D．【答案】，故选C.类型四：共轭复数例4：求证：复数z为实数的充要条件是思路点拨：需要明确两个复数相等的条件以及共轭复数的概念解析：设（a，b∈R），则充分性：必要性：综上，复数z为实数的充要条件为举一反三：【变式1】，复数与复数的共轭复数相等，求x，y.【答案】【变式2】若复数z同时满足，（i为虚数单位），则z=________.【答案】―1+i【变式3】已知复数z=1+i，求实数a、b使.【答案】∵z=1+i，∴，∵a、b都是实数，∴由得两式相加，整理得a2+6a+8=0解得a1=―2，a2=―4，对应得b1=－1，b2=2.∴所求实数为a=―2，b=―1或a=－4，b=2.类型五：复数的模的概念例5、已知数z满足z+|z|=2+8i，求复数z.法一：设z=a+bi（a，b∈R），则，代入方程得.∴，解得∴z=－15+8i法二：原式可化为：z=2－|z|+8i，∵|z|∈R，∴2－|z|是z的实部.于是，即|z|2=68－4|z|+|z|2，∴|z|=17，代入z=2-|z|+8i得z=－15+8i.举一反三：【变式】已知z=1+i，a，b为实数.（1）若，求；（2）若，求a，b的值.【答案】（1）∴（2）∵∴∴类型六：复数的几何意义例6、已知复数（m∈R）在复平面上对应的点为Z，求实数m取什么值时，点Z（1）在实轴上；（2）在虚轴上；（3）在第一象限.思路点拨：根据点Z的位置确定复数z实部与虚部取值情况.解析：（1）点Z在实轴上，即复数z为实数，由∴当时，点Z在实轴上.（2）点Z在虚轴上，即复数z为纯虚数或0，故∴当时，点Z在虚轴上.3）点Z在第一象限，即复数z的实部虚部均大于0由，解得m＜―1或m＞3∴当m＜―1或m＞3时，点Z在第一象限.终结升华：复平面上的点与复数是一一对应的，点的坐标的特点即为复数实部、虚部的特征.举一反三：【变式1】在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】∵，∴，，故相应的点在第四象限，选D.【变式2】已知复数()，若所对应的点在第四象限，求的取值范围.【答案】∵∴，解得.∴的取值范围为.【变式3】已知是复数，和均为实数，且复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围.【答案】设()，∴，由题意得，，由题意得，∴∵，根据已知条件有，解得，∴实数的取值范围是.【变式4】已知复数z对应的点在第一象限的角平分线上，求复数在复平面上对应的点的轨迹方程.【答案】设z=a+ai（a＞0）则令，消a得x2－y2=2（）.
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