20182019数学北师大版选修11 第三章 变化率与导数 单元测试2

2018-2019数学北师大版选修1-1第三章变化率与导数单元测试2第PAGE页(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数f(x)＝eq\f(1,\r(3))，则f′(x)等于(　　)A．－eq\f(\r(3),3)B．0C.eq\f(\r(3),3)D.eq\r(3)解析：选B.∵f(x)＝eq\f(1,\r(3))，∴f′(x)＝(eq\f(1,\r(3)))′＝0.2．已知某质点的运动规律为s＝t2＋3(s的单位：m，t的单位：s)，则该质点在t＝3s到t＝(3＋Δt)s这段时间内的平均速度为(　　)A．(6＋Δt)m/sB．(6＋Δt＋eq\f(9,Δt))m/sC．(3＋Δt)m/sD．(eq\f(9,Δt)＋Δt)m/s解析：选A.平均速度为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(（3＋Δt）2＋3－（32＋3）,Δt)＝(6＋Δt)m/s.3．函数f(x)＝x3＋x＋1，则eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（1＋Δx）－3,Δx)＝(　　)A．1B．4C．5D．0解析：选B.由已知得f(1)＝3，故eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（1＋Δx）－3,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝f′(1)＝3x2＋1|x＝1＝4，故选B.4．已知函数y＝f(x)的图像如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　)A．f′(xA)＞f′(xB)B．f′(xA)＜f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB)D．不能确定解析：选B.由图像可知，f′(xA)＜f′(xB)．5．下列求导运算中正确的是(　　)A．(x＋eq\f(1,x))′＝1＋eq\f(1,x2)B．(lgx)′＝eq\f(1,xln10)C．(lnx)′＝xD．(x2cosx)′＝－2xsinx解析：选B.(x＋eq\f(1,x))′＝1－eq\f(1,x2)，故A错；(lnx)′＝eq\f(1,x)，故C错；(x2cosx)′＝2xcosx－x2sinx，故D错，故选B.6．已知y＝2x3＋eq\r(3,x)＋cosx，则y′等于(　　)A．6x2＋x－eq\f(2,3)－sinxB．6x2＋x－eq\f(2,3)＋sinxC．6x2＋eq\f(1,3)x－eq\f(2,3)＋sinxD．6x2＋eq\f(1,3)x－eq\f(2,3)－sinx解析：选D.y′＝(2x3)′＋(xeq\s\up6(\f(1,3)))′＋(cosx)′＝6x2＋eq\f(1,3)x－eq\f(2,3)－sinx.7．已知曲线y＝x3－1与曲线y＝3－eq\f(1,2)x2在x＝x0处的切线互相垂直，则x0的值为(　　)A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(\r(3,3),3)C.eq\r(3)D.eq\f(\r(3,9),3)解析：选D.因为y＝x3－1⇒y′＝3x2，y＝3－eq\f(1,2)x2⇒y′＝－x，由题意得3xeq\o\al(2,0)·(－x0)＝－1，解得xeq\o\al(3,0)＝eq\f(1,3)，即x0＝eq\r(3,\f(1,3))＝eq\f(\r(3,9),3)，故选D.8．已知函数y＝f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则该函数的图像是(　　)解析：选B.从导函数的图像可以看出，导函数值先增大后减小，x＝0时最大，所以函数f(x)的图像的变化率也先增大后减小，在x＝0时变化率最大．A项，在x＝0时变化率最小，故错误；C项，变化率是越来越大的，故错误；D项，变化率是越来越小的，故错误．B项正确．9．在函数y＝x3－8x的图像上，其切线的倾斜角小于eq\f(π,4)的点中，坐标为整数的点的个数是(　　)A．3B．2C．1D．0解析：选D.由于y′＝(x3－8x)′＝3x2－8，由题意，得0＜3x2－8＜1，eq\f(8,3)＜x2＜3，解得－eq\r(3)＜x＜－eq\f(2,3)eq\r(6)，eq\f(2,3)eq\r(6)＜x＜eq\r(3)，所以整数x不存在，故不等式的整数解有0个．10．定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”，若函数g(x)＝2x，h(x)＝lnx，φ(x)＝x3(x≠0)的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为(　　)A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．a＞c＞bD．b＞a＞c解析：选B.g′(x)＝2，h′(x)＝eq\f(1,x)，φ′(x)＝3x2(x≠0)．解方程g(x)＝g′(x)，即2x＝2，得x＝1，即a＝1；解方程h(x)＝h′(x)，即lnx＝eq\f(1,x)，在同一坐标系中画出函数y＝lnx，y＝eq\f(1,x)的图像(图略)，可得1＜x＜e，即1＜b＜e；解方程φ(x)＝φ′(x)，即x3＝3x2(x≠0)，得x＝3，即c以c＞b＞a.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)11．已知f(x)＝eq\f(1,3)x3＋3xf′(0)，则f′(1)等于________．解析：f′(x)＝x2＋3f′(0)，令x＝0得f′(0)＝3f′(0)，∴f′(0)＝0，f′(x)＝x2，∴f′(1)＝1.答案：112．正弦曲线y＝sinx上切线斜率等于eq\f(1,2)的点的横坐标为________．解析：y′＝cosx，令cosx＝eq\f(1,2)，x＝2kπ±eq\f(π,3)，k∈Z.答案：2kπ±eq\f(π,3)，k∈Z13．f(x)＝x3－eq\f(1,2)x2＋bx＋c的图像存在与直线y＝1平行的切线，则b的取值范围是________．解析：由题意知，存在x使f′(x)＝3x2－x＋b＝0，故Δ＝1－12b≥0，得b≤eq\f(1,12).答案：(－∞，eq\f(1,12)]14．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)，且f′(－1)＝0，则a＝________．解析：f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，f′(x)＝3x2－2ax－4，f′(－1)＝3＋2a－4＝0，∴a＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)15．对正整数n，设曲线y＝xn(1－x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n＋1)))的前n项和的公式为________．解析：由y＝xn(1－x)得y′＝nxn－1(1－x)＋xn(－1)，∴f′(2)＝－n·2n－1－2n.又∵切点为(2，－2n)．∴切线方程为：y＋2n＝－(n·2n－1＋2n)(x－2)．令x＝0，得an＝(n＋1)·2n.则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n＋1)))的通项公式为2n，由等比数列前n项和公式求得其和为2n＋1－2.答案：2n＋1－2三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分10分)求下列函数的导数：(1)f(x)＝ln(8x)；(2)f(x)＝x(x＋1)(x2－x＋1)；(3)f(x)＝eq\f(ex＋1,ex－1).解：(1)f(x)＝2ln2＋lnx，f′(x)＝(2ln2)′＋(lnx)′＝eq\f(1,x).(2)f(x)＝x(x＋1)(x2－x＋1)＝x(x3＋1)＝x4＋x，∴f′(x)＝4x3＋1.(3)法一：f′(x)＝eq\f(（ex＋1）′（ex－1）－（ex＋1）（ex－1）′,（ex－1）2)＝eq\f(－2ex,（ex－1）2).法二：因为f(x)＝eq\f(ex＋1,ex－1)＝1＋eq\f(2,ex－1)，所以f′(x)＝eq\f(－2（ex－1）′,（ex－1）2)＝eq\f(－2ex,（ex－1）2).17．(本小题满分10分)某物体按照s(t)＝3t2＋2t＋4的规律作直线运动，求物体运动4s时的瞬时速度．解：由于Δs＝3(t＋Δt)2＋2(t＋Δt)＋4－(3t2＋2t＋4)＝(2＋6t)Δt＋3(Δt)2.eq\f(Δs,Δt)＝2＋6t＋3Δt，所以当t趋于4s时，即Δt趋于0时，平均变化率趋于26，s′(4)＝26m/s.导数s′(4)表示当t＝4s时物体运动的瞬时变化率，即运动的瞬时速度．18．(本小题满分10分)求曲线y＝eq\f(1,x)和y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积．解：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,x),y＝x2))得x＝1，y＝1.即交点为(1，1)，y′＝(eq\f(1,x))′＝－eq\f(1,x2)，y′＝(x2)′＝2x，y′|x＝1＝－1，y′|x＝1＝2，过交点的切线为y－1＝－(x－1)和y－1＝2(x－1)．令y＝0分别得x＝2和x＝eq\f(1,2)，即它们与x轴的交点分别为(2，0)和(eq\f(1,2)，0)，三角形面积S＝eq\f(1,2)×1×|2－eq\f(1,2)|＝eq\f(3,4).19．(本小题满分12分)设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2xy＝f(x)的函数表达式．解：∵f′(x)＝2x＋1，∴f(x)＝x2＋x＋c(c为常数)，又∵方程f(x)＝0有两个相等的实根，即x2＋x＋c＝0有两个相等的实根，Δ＝12－4c＝0，即c＝eq\f(1,4)，∴f(x)的表达式为f(x)＝x2＋x＋eq\f(1,4).20．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋lnx.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当a≥1时，求证：当x∈[1，e]时，f′(x)≥0，其中e为自然对数的底数．解：(1)当a＝1时，f(x)＝x2－3x＋lnx，f′(x)＝2x－3＋eq\f(1,x)，因为f′(1)＝0，f(1)＝－2.所以切线方程是y＝－2.(2)证明：函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋lnx的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝2ax－(a＋2)＋eq\f(1,x)，即f′(x)＝eq\f(2ax2－（a＋2）x＋1,x)＝eq\f(（2x－1）（ax－1）,x)，当a≥1时，在x∈[1，e]上，2x－1＞0，ax－1≥0，可得f′(x)≥0.