一元二次方程及根的定义

一元二次方程及根的定义　　1.已知关于的方程的一个根为2,求另一个根及的值.　　思路点拨：从一元二次方程的解的概念入手,将根代入原方程解的值,再代回原方程,解方程求出另一个根即可.　　解：将代入原方程,得　　　　即　　　　　解方程,得　　　　　当时,原方程都可化为　　　　　　　　解方程,得.　　　　所以方程的另一个根为4,或-1.　　总结升华：以方程的根为载点.综合考查解方程的问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 是一个常考问题,解这类问题关键是要抓住“根”的概念,并以此为突破口.　　举一反三：　　变式1已知一元二次方程的一个根是,求代数式的值.　　思路点拨：抓住为方程的一个根这一关键,运用根的概念解题.　　解：因为是方程　的一个根,　　　　所以　,　　　　故　,　　　　,　　　　所以　.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.　　总结升华：“方程”即是一个“等式”,在“等式”中,根据题目的需要,合理地变形,是一种对代数运算综合要求较高的能力,在这一方面注意丰富自己的经验.类型二、一元二次方程的解法　　2.用直接开平方法解下列方程：　　13-27x2=0；241-x2-9=0.　　解：127x2=3　　　　　　　　　　　　　　　.　　　　241-x2=9　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3.用配方法解下列方程：　　1；　　　2.　　解：1由,　　　　　得,　　　　　,　　　　　,　　　　　所以,　　　　　故.　　　　2由,　　　　　得,　　　　　,　　　　　,　　　　　所以　　　　　故　　4.用公式法解下列方程：　　1；　　　2；　　　3.　　解：1这里　　　　　　并且　　　　　　所以,　　　　　　所以,.　　　　2将原方程变形为,　　　　　　则　　　　　　,　　　　　　所以,　　　　　　所以.　　　　3将原方程展开并整理得,　　　　　　这里,　　　　　　并且,　　　　　　所以.　　　　　　所以.　　总结升华：公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一个重点,要求熟练掌握,它对我们的运算能力有较高要求,也是提高我们运算能力训练的好素材.　　5.用因式分解法解下列方程：　　1；　　2；　　　3.　　解：1将原方程变形为,　　　　　　提取公因式,得,　　　　　　因为,所以　　　　　　所以或,　　　　　　故　　　　2直接提取公因式,得　　　　　　所以或,即　　　　　　故.　　　　3直接用平方差公式因式分解得　　　　　　　　　　　　即　　　　　　所以或　　　　　　故.　　举一反三：　　变式1用适当方法解下列方程．　　12x+32=xx+3；　　2x2-2x+2=0；　　3x2-8x=0；　　　　　4x2+12x+32=0.　　解：12x+32=xx+3　　　　　2x+32-xx+3=0　　　　　x+32x+3-x=0　　　　　x+3x+6=0　　　　　x1=-3,x2=-6．　　　　2x2-2x+2=0　　　　　这里a=1,b=-2,c=2　　　　　b2-4ac=-22-4×1×2=12＞0　　　　　x==　　　　　x1=+,x2=-　　　　3xx-8=0　　　　　x1=0,x2=8．　　　　4配方,得　　　　　x2+12x+32+4=0+4　　　　　x+62=4　　　　　x+6=2或x+6=-2　　　　　x1=-4,x2=-8．　　点评:要根据方程的特点灵活选用方法解方程.　　6.若,求的值.　　思路点拨：观察,把握关键：换元,即把看成一个“整体”.　　解：由,　　　　得,　　　　,　　　　,　　　　所以,　　　　故或舍去,　　　　所以.　　总结升华：把某一“式子”看成一个“整体”,用换元的思想转化为方程求解,这种转化与化归的意识要建立起来.类型三、一元二次方程根的判别式的应用　　7.武汉一元二次方程4x2+3x-2=0的根的情况是　　A.有两个相等的实数根;　　　　B.有两个不相等的实数根　　C.只有一个实数根;　　　　　　D.没有实数根　　解析:因为△=32-4×4×-2＞0,所以该方程有两个不相等的实数根.　　 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 :B.　　8.重庆若关于x的一元二次方程x2+x-3m=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是　　＞　　　＜　　　＞-　　　＜-　　思路点拨：因为该方程有两个不相等的实数根,所以应满足.　　解:由题意,得△=12-4×1×-3m＞0,　　　　解得m＞-.　　答案:C.　　举一反三：　　变式1当m为什么值时,关于x的方程有实根.　　思路点拨：题设中的方程未指明是一元二次方程,还是一元一次方程,所以应分和两种情形讨论.　　解：当即时,,方程为一元一次方程,总有实根；　　　　当即时,方程有根的条件是：　　　　,解得　　　　∴当且时,方程有实根.　　　　综上所述：当时,方程有实根.　　变式2若关于x的一元二次方程a-2x2-2ax+a+1=0没有实数解,求ax+3＞0的解集用含a的式子 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示．　　思路点拨：要求ax+3＞0的解集,就是求ax＞-3的解集,那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程a-2x2-2ax+a+1=0没有实数根,即-2a2-4a-2a+1＜0就可求出a的取值范围．　　解：∵关于x的一元二次方程a-2x2-2ax+a+1=0没有实数根．　　　　∴-2a2-4a-2a+1=4a2-4a2+4a+8＜0　　　　∴满足　　　　∵ax+3＞0即ax＞-3　　　　　　　　∴所求不等式的解集为.类型四、根据与系数的关系,求与方程的根有关的代数式的值　　9.河北若x1,x2是一元二次方程2x2-3x+1=0的两个根,则x12+x22的值是　　A.　　　B.　　　C.　　　　　思路点拨:本题解法不唯一,可先解方程求出两根,然后代入x12+x22,求得其值.但一般不解方程,只要将所求代数式转化成含有x1+x2和x1x2的代数式,再整体代入.　　解:由根与系数关系可得x1+x2=,x1·x2=,x12+x22=x1+x22-2x1·x2=2-2×=.　　答案:A.　　总结升华:公式之间的恒等变换要熟练掌握.类型五、一元二次方程的应用　　考点讲解：　　1．构建一元二次方程数学模型：一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型,通过审题弄清具体　　　问题中的数量关系,是构建数学模型,解决实际问题的关键．　　2．注重解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法,以保证解题过程简洁流畅,特别要　　　对方程的解注意检验,根据实际做出正确取舍,以保证结论的准确性．　　10.陕西在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图.如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方程是　　+130x-1400=0　　　　+65x-350=0　　=0　　　　=0　　解析:在矩形挂图的四周镶一条宽为xcm的金边,那么挂图的长为80+2xcm,宽为50+2xcm,由题意,可得80+2x50+2x=5400,整理得x2+65x-350=0.　　答案:B.　　11.海口某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克,现该商场要保证每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元　　解：设每千克水果应涨价x元,依题意,得500-20x10+x=6000．　　　　整理,得x2-15x＋50=0．解这个方程,x1=5,x2=10．　　　　要使顾客得到实惠,应取x=5．　　答：每千克应涨价5元．　　总结升华：应抓住“要使顾客得到实惠”这句话来取舍根的情况．　　12.深圳南山区课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地,开辟一个面积为130平方米的花圃如图,打算一面利用长为15米的仓库墙面,三面利用长为33米的旧围栏,求花圃的长和宽．　　解：设与墙垂直的两边长都为米,则另一边长为米,依题意得　　　　　　　　又∵当时,　　　　当时,　　　　∴不合题意,舍去．∴.　　　　答：花圃的长为13米,宽为10米．