2019届高考数学(理科)一轮复习讲义：函数的概念及其性质2019届高考数学(理科)一轮复习讲义：函数的概念及其性质PAGE2019届高考数学(理科)一轮复习讲义：函数的概念及其性质2019届高考数学（理科）一轮复习讲义：函数的概念及其性质函数的概念及其性质知识点一、函数的基本概念1、函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是非空的数集设A，B是非空的集合对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈A对应f：A→B2、函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．3、
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
示函数的常用方法列表法、图象法和解析法．4、分段函数在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这种函数称为分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．小题速通1、若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )2、下列函数中，与函数y＝x相同的函数是( )A．y＝eq\f(x2,x) B．y＝(eq\r(3,x2))eq\f(3,2)C．y＝lg10xD．y＝2log2x3、已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log\f(1,2)x，x>1，,2＋16x，x≤1，))则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))))＝( )A．－2B．4C．2D．－14、已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－1))＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于( )\f(7,4)B．－eq\f(7,4)\f(4,3)D．－eq\f(4,3)易错点1、解决函数有关问题时，易忽视“定义域优先”的原则．2、易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A，B若不是数集，则这个映射便不是函数．1、(2018·合肥八中模拟)已知函数f(x)＝2x＋1(1≤x≤3)，则( )A．f(x－1)＝2x＋2(0≤x≤2)B．f(x－1)＝2x－1(2≤x≤4)C．f(x－1)＝2x－2(0≤x≤2)D．f(x－1)＝－2x＋1(2≤x≤4)2、下列对应关系：①A＝{1,4,9}，B＝{－3，－2，－1,1,2,3}，f：x→x的平方根；②A＝R，B＝R，f：x→x的倒数；③A＝R，B＝R，f：x→x2－2；④A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数平方．其中是A到B的映射的是( )A．①③B．②④C．③④D．②③知识点二、函数定义域的求法函数y＝f(x)的定义域小题速通1、函数f(x)＝eq\f(\r(1－|x－1|),ax－1)(a＞0且a≠1)的定义域为________．2、函数y＝lg(1－2x)＋eq\r(x＋3)的定义域为________．易错点1、求复合型函数的定义域时，易忽视其满足内层函数有意义的条件.2、求抽象函数的定义域时，易忽视同一个对应关系后的整体范围.1、(2018·辽宁锦州模拟)已知函数f(x2－3)＝lgeq\f(x2,x2－4)，则f(x)的定义域为________．2、已知函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝f(2x)＋eq\r(8－2x)的定义域为________．知识点三、函数的单调性与最值1、函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1
f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．2、函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值小题速通1、(2018·珠海摸底)下列函数中，定义域是R且为增函数的是( )A．y＝2－x B．y＝xC．y＝log2xD．y＝－eq\f(1,x)2、函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是( )A．[1,2]B．[－1,0]C．[0,2]D．[2，＋∞)3、(2018·长春质量检测)已知函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则a的取值范围是( )A．(－∞，1]B．(－∞，－1]C．[－1，＋∞)D．[1，＋∞)4、已知定义在R上的函数f(x)为增函数，当x1＋x2＝1时，不等式f(x1)＋f(0)>f(x2)＋f(1)恒成立，则实数x1的取值范围是( )A．(－∞，0)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))D．(1，＋∞)5、函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，x≥1，,－x2＋2，x<1))的最大值为________．易错点1、易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．2、若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f(x)在区间(－1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是减函数，如函数f(x)＝eq\f(1,x).1、函数f(x)＝eq\f(x,1－x)在( )A．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数B．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数C．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数D．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数2、设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________．知识点四、函数的奇偶性1、定义及图象特征奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2、函数奇偶性的重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．小题速通1、下列函数中的偶函数是( )A．y＝2x－eq\f(1,2x)B．y＝xsinxC．y＝excosxD．y＝x2＋sinx2、定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－2)＝f(x＋2)，且当x∈[－2,0]时，f(x)＝3x－1，则f(9)＝( )A．－2B．2C．－eq\f(2,3)\f(2,3)3、(2018·绵阳诊断)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)f(1)C．f(m)＝f(1)D．f(m)与f(1)大小不能确定2、函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,log2－x，x<0))的奇偶性为________．知识点五、函数的周期性1、周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2、最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期．3、重要结论周期函数的定义式f(x＋T)＝f(x)对定义域内的x是恒成立的，若f(x＋a)＝f(x＋b)，则函数f(x)的周期为T＝|a－b|.若在定义域内满足f(x＋a)＝－f(x)，f(x＋a)＝eq\f(1,fx)，f(x＋a)＝－eq\f(1,fx)(a>0)．则f(x)为周期函数，且T＝2a为它的一个周期．4、对称性与周期的关系(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．(2)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．(3)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，4|a－b|是它的一个周期．小题速通1、已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin\f(x,4)π，x>0，,fx＋2，x≤0，))则f(－5)的值为( )A．0\f(\r(2),2)C．1\r(2)2、已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x＋1)＝f(1－x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(31)＝( )A．0B．1C．－1D．23、(2018·晋中模拟)已知f(x)是R上的奇函数，f(1)＝2，且对任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，则f(2017)＝________.易错点在利用周期性定义求解问题时，易忽视定义式f（x＋T）＝f（x）（T≠0）的使用而致误.已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－eq\f(1,f（x）)，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f＝________.过关检测练习一、选择题1．函数f(x)＝lg(x－1)－eq\r(4－x)的定义域为( )A．(－∞，4]B．(1,2)∪(2,4]C．(1,4]D．(2,4]2．(2017·唐山期末)已知f(x)＝x＋eq\f(1,x)－1，f(a)＝2，则f(－a)＝( )A．－4B．－2C．－1D．－33．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x)，x≥0，,\r(－x)，x<0，))若f(a)＋f(－1)＝2，则a的值为( )A．－3B．±3C．－1D．±14．下列几个命题正确的个数是( )(1)若方程x2＋(a－3)x＋a＝0有一个正根，一个负根，则a<0；(2)函数y＝eq\r(x2－1)＋eq\r(1－x2)是偶函数，但不是奇函数；(3)函数f(x＋1)的定义域是[－1,3]，则f(x2)的定义域是[0,2]；(4)若曲线y＝|3－x2|和直线y＝a(a∈R)的公共点个数是m，则m的值不可能是1.A．1B．2C．3D．45．如果二次函数f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1)上是减函数，则( )A．a＝－2B．a＝2C．a≤－2D．a≥26．若函数f(x)满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)”，则f(x)的解析式可以是( )A．f(x)＝(x－1)2B．f(x)＝exC．f(x)＝eq\f(1,x)D．f(x)＝ln(x＋1)7．已知函数f(x)＝logeq\f(1,3)(x2－ax＋3a)在[1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，2]B．[2，＋∞)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))8．(2018·长春调研)已知函数f(x)＝eq\f(x2＋x＋1,x2＋1)，若f(a)＝eq\f(2,3)，则f(－a)＝( )\f(2,3)B．－eq\f(2,3)\f(4,3)D．－eq\f(4,3)二、填空题9．f(x)＝asinx－blog3(eq\r(x2＋1)－x)＋1(a，b∈R)，若f(lg(log310))＝5，则f(lg(lg3))＝________.10．设a为实常数，y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝9x＋eq\f(a2,x)＋7，若f(x)≥a＋1对一切x≥0成立，则a的取值范围为________．11．设f(x)＝x3＋log2(x＋eq\r(x2＋1))，则对任意实数a，b，a＋b≥0是f(a)＋f(b)≥0的________条件(填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要)．12．设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x<1时，f(x)＝2x－1，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋f(1)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＋f(2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝________.三、解答题13．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b，x<0，,2x，x≥0，))且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)．(1)求f(x)的解析式；(2)画出f(x)的图象．14．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．高考研究课：一函数的定义域、解析式及分段函数全国卷5年命题分析考点考查频度考查角度函数的概念5年1考函数定义问题分段函数5年3考分段函数求值及不等式恒成立问题题型一、函数的定义域问题[典例] (1)(2018·长沙模拟)函数y＝eq\f(lgx＋1,x－2)的定义域是( )A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)C．(－1,2)∪(2，＋∞)D．[－1,2)∪(2，＋∞)(2)若函数f(x)＝eq\r(2－1)的定义域为R，则a的取值范围为________．方法技巧函数定义域问题的3种常考类型及求解策略(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解．(2)抽象函数：①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．(3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求． 即时演练1、函数f(x)＝eq\r(4－|x|)＋lgeq\f(x2－5x＋6,x－3)的定义域为( )A．(2,3)B．(2,4]C．(2,3)∪(3,4]D．(－1,3)∪(3,6]2、已知函数f(2－x)＝eq\r(4－x2)，则函数f(eq\r(x))的定义域为( )A．[0，＋∞)B．[0,16]C．[0,4]D．[0,2]题型二、函数解析式的求法函数的解析式是函数的基础知识，高考中重视对待定系数法、换元法、利用函数性质求解析式的考查.题目难度不大，以选择题、填空题的形式出现.[典例](1)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )A．y＝eq\f(1,2)x3－eq\f(1,2)x2－xB．y＝eq\f(1,2)x3＋eq\f(1,2)x2－3xC．y＝eq\f(1,4)x3－xD．y＝eq\f(1,4)x3＋eq\f(1,2)x2－2x(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.(3)(2018·合肥模拟)已知f(x)的定义域为{x|x≠0}，满足3f(x)＋5feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(3,x)＋1，则函数f(x)的解析式为________．方法技巧求函数解析式的常见方法待定系数法若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，根据函数类型设出函数解析式，根据题设条件，列出方程组，解出待定系数即可换元法已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)时，往往可设h(x)＝t，从中解出x，代入g(x)进行换元，求出f(t)的解析式，再将t替换为x即可构造法已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)的问题，往往把右边的g(x)整理构造成只含h(x)的式子，用x将h(x)替换函数方程法已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如f(－x)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))，则可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)即时演练1．如果feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(x,1－x)，则当x≠0且x≠1时，f(x)等于( )\f(1,x)\f(1,x－1)\f(1,1－x)\f(1,x)－12．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝________.题型三、分段函数分段函数是一类重要的函数，是高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为低档题或中档题.常见的命题角度有：1分段函数求值问题；2求参数值或自变量的取值范围；3研究分段函数的性质.角度一：分段函数求值问题1、已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x＋1，x≥1，,ex－1，x<1，))则f[f(ln2)]＝________.角度二：求参数或自变量的取值范围2、设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(21－x，x≤1，,log2\f(2,x)，x>1，))则满足f(x)≤2的x的取值范围是________．3、已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－|x|，x≤1，,x2－4x＋3，x>1，))若f(f(m))≥0，则实数m的取值范围是( )A．[－2,2]B．[－2,2]∪[4，＋∞)C．[－2,2＋eq\r(2)]D．[－2,2＋eq\r(2)]∪[4，＋∞)角度三：研究分段函数的性质4、已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x>0，,cosx，x≤0，))则下列结论正确的是( )A．f(x)是偶函数B．f(x)是增函数C．f(x)是周期函数D．f(x)的值域为[－1，＋∞)5、已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x－1，x≤0，,f（x－1），x>0，))若方程f(x)＝x＋a有两个不同实根，则a的取值范围为( )A．(－∞，1)B．(－∞，1]C．(0,1)D．(－∞，＋∞)方法技巧分段函数问题的3种类型及求解策略(1)根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．(3)研究分段函数的性质可根据分段函数逐段研究其性质，也可根据选项利用特殊值法作出判断． 高考真题演练1．(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lgx的定义域和值域相同的是( )A．y＝xB．y＝lgxC．y＝2xD．y＝eq\f(1,\r(x))2．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋log22－x，x<1，,2x－1，x≥1，))则f(－2)＋f(log212)＝( )A．3 B．6 C．9 D．123．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1－2，x≤1，,－log2x＋1，x>1，))且f(a)＝－3，则f(6－a)＝( )A．－eq\f(7,4)B．－eq\f(5,4)C．－eq\f(3,4)D．－eq\f(1,4)4．(2013·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x≤0，,lnx＋1，x＞0.))若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )A．(－∞，0]B．(－∞，1]C．[－2,1]D．[－2,0]高考达标检测一、选择题1．(2018·广东模拟)设函数f(x)满足feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,1＋x)))＝1＋x，则f(x)的表达式为( )\f(2,1＋x) \f(2,1＋x2)\f(1－x2,1＋x2)\f(1－x,1＋x)2．函数f(x)＝eq\f(1,ln2x＋1)的定义域是( )\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))∪(0，＋∞)\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))D．[0，＋∞)3．设函数f：R→R满足f(0)＝1，且对任意x，y∈R都有f(xy＋1)＝f(x)f(y)－f(y)－x＋2，则f(2017)＝( )A．0B．1C．2017D．20184．若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(1)＝( )A．2B．0C．1D．－15．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为( )A．g(x)＝2x2－3xB．g(x)＝3x2－2xC．g(x)＝3x2＋2xD．g(x)＝－3x2－2x6．(2018·青岛模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≤0，,|log2x|，x>0，))则使f(x)＝2的x的集合是( )\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，4))\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，4))\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,4)))\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,4)，4))7．(2018·莱芜模拟)已知函数f(x)的定义域为[3,6]，则函数y＝eq\f(f2x,\r(log\f(1,2)2－x))的定义域为( )\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))8．(2018·武汉调研)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinπx2，－11.))其中满足“倒负”变换的函数是________．(填序号)12．(2016·北京高考)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3－3x，x≤a，,－2x，x>a.))①若a＝0，则f(x)的最大值为________；②若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是________．三、解答题13．已知f(x)＝x2－1，g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，x>0，,2－x，x<0.))(1)求f(g(2))与g(f(2))；(2)求f(g(x))与g(f(x))的表达式．14．水库的储水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，以年初为起点，根据历年数据，某水库的储水量(单位：亿立方米)关于t的近似函数关系式为：v(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,240)－t2＋15t－51et＋50，01))在定义域[0，＋∞)上单调递增，且对于任意a≥0，方程f(x)＝a有且只有一个实数解，则函数g(x)＝f(x)－x在区间[0,2n](n∈N*)上的所有零点的和为( )\f(nn＋1,2)B．22n－1＋2n－1\f(1＋2n2,2)D．2n－12．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－[x]，x≥0，,fx＋1，x<0，))其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－]＝－2，[]＝2，若直线y＝k(x－1)(k<0)与函数y＝f(x)的图象只有三个不同的交点，则k的取值范围为( )\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,3)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,3)))\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))高考研究课二函数的单调性、奇偶性及周期性全国卷5年命题分析考点考查频度考查角度函数的单调性5年4考利用单调性解不等式、比较大小、求最值函数的奇偶性5年5考奇偶性的判断及应用求值函数的周期性未考查题型一、函数的单调性高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中.,常见的命题角度有：1确定函数的单调性；2求函数的值域或最值；3比较两个函数值；4解函数不等式；5利用单调性求参数的取值范围.角度一：确定函数的单调性1．(2018·昆明调研)下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是( )A．y＝eq\f(1,x)－x B．y＝x2－xC．y＝lnx－xD．y＝ex－x2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A．y＝eq\f(\r(x),2)B．y＝(x－1)2C．y＝2－xD．y＝3．(2018·广东佛山联考)讨论函数f(x)＝eq\f(ax,x2－1)(a>0)在(－1,1)上的单调性．方法技巧确定函数单调性的常用方法定义法先确定定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论图象法若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单调性导数法先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性[提醒] 复合函数y＝f(φ(x))的单调性可以利用口诀——“同增异减”来判断，即内外函数的单调性相同时，为增函数；单调性不同时为减函数．角度二：求函数的值域或最值4．函数y＝2x2＋2x的值域为( )\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))B．[2，＋∞)\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))D．(0,2]5．(2016·北京高考)函数f(x)＝eq\f(x,x－1)(x≥2)的最大值为________．方法技巧利用单调性求函数的最值的关键是准确判断其单调性，而判断方法常用定义法及导数法． 角度三：比较两个函数值6．(2017·天津高考)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－，b＝g，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )A．ax1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为( )A．c>a>bB．c>b>aC．a>c>bD．b>a>c方法技巧比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． 角度四：解函数不等式8．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，则满足f(2x－1)f(2－a)，则a的取值范围是________．方法技巧在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． 角度五：利用单调性求参数的取值范围10．(2018·济宁模拟)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax，x>1，\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(a,2)))x＋2，x≤1，))满足对任意的实数x1≠x2都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0成立，则实数a的取值范围为____________．方法技巧利用函数单调性求参数的策略(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． 题型二、函数的奇偶性[典例] (1)(2018·重庆适应性测试)下列函数为奇函数的是( )A．y＝x3＋3x2B．y＝eq\f(ex＋e－x,2)C．y＝xsinxD．y＝log2eq\f(3－x,3＋x)(2)(2018·湖北武汉十校联考)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝( )A．ex－e－x\f(1,2)(ex＋e－x)\f(1,2)(e－x－ex)\f(1,2)(ex－e－x)(3)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.方法技巧应用函数奇偶性可解决的4类问题(1)判定函数奇偶性①定义法： ②图象法：③性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．(2)求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．(3)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．(4)利用函数的奇偶性求值首先判断函数解析式或解析式的一部分的奇偶性，然后结合已知条件通过化简、转换求值．即时演练1．若函数f(x)＝eq\f(2x＋1,2x－a)是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为( )A．(－∞，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1，＋∞)2．已知函数f(x)＝asinx－btanx＋4coseq\f(π,3)，且f(－1)＝1，则f(1)＝( )A．3B．－3C．0D．4eq\r(3)－13．已知f(x)＝3ax2＋bx－5a＋b是偶函数，且其定义域为[6a－1，a]，则a＋b＝( )\f(1,7)B．－1C．1D．7题型三、函数的周期性[典例] (1)设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2018)＝________.(2)(2018·烟台模拟)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x（1－x），0≤x≤1，sinπx，1b>cB．a>c>bC．b>a>cD．c>b>a2．(2016·江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋a，－1≤x＜0，\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)－x))，0≤x＜1，))其中a∈R.若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))，则f(5a)的值是________．题型四、函数性质的综合应用高考对于函数性质的考查，一般不会单纯地考查某一个性质，而是对奇偶性、周期性、单调性的综合考查.常见的命题角度有：1单调性与奇偶性结合；2周期性与奇偶性结合；3单调性、奇偶性与周期性结合.角度一：单调性与奇偶性结合1．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－2)＝－f(x)，且在[0,1]上是增函数，则有( )A．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))0，则x的取值范围是________．5．(2014·全国卷Ⅱ)偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________.高考达标检测一、选择题1．(2017·北京高考)已知函数f(x)＝3x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，则f(x)( )A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数2．(2018·辽宁阶段测试)设函数f(x)＝ln(1＋x)＋mln(1－x)是偶函数，则( )A．m＝1，且f(x)在(0,1)上是增函数B．m＝1，且f(x)在(0,1)上是减函数C．m＝－1，且f(x)在(0,1)上是增函数D．m＝－1，且f(x)在(0,1)上是减函数3．已知x，y∈R，且x>y>0，则( )\f(1,x)－eq\f(1,y)>0 B．sinx－siny>0\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))y<0D．lnx＋lny>04．(2016·山东高考)已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x＞eq\f(1,2)时，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，则f(6)＝( )A．－2B．－1C．0D．25．(2018·湖南联考)已知函数f(x)是R上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,7)))，b＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(5π,7)))，c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tan\f(5π,7)))，则a，b，c的大小关系为( )A．bf(2x－1)成立的x的取值范围是( )\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))∪(1，＋∞)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))8．定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x)＝f(x＋4)，且当x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋eq\f(1,5)，则f(log220)＝( )A．1\f(4,5)C．－1D．－eq\f(4,5)二、填空题9．(2016·天津高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)＞f(－eq\r(2))，则a的取值范围是________．10．已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f(x)＝4x，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＋f(1)＝________.11．已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，且对于任意x1，x2∈[0，＋∞)，x1≠x2，均有eq\f(fx2－fx1,x1－x2)>0.若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝eq\f(1,2)，2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log\f(1,8)x))<1，则x的取值范围为________．12．(2017·江苏高考)已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－eq\f(1,ex)，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________．三、解答题13．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝logx.(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x2－1)>－2.14．(2018·湖南长郡中学测试)已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0,1)时，f(x)＝eq\f(2x,4x＋1).(1)求f(x)在[－1,1]上的解析式；(2)证明：f(x)在(0,1)上是减函数．能力提高训练题1．已知奇函数f(x)(x∈D)，当x>0时，f(x)≤f(1)＝2.给出下列命题：①D＝[－1,1]；②对∀x∈D，|f(x)|≤2；③∃x0∈D，使得f(x0)＝0；④∃x1∈D，使得f(x1)＝1.其中所有正确命题的个数是( )A．0B．1C．2D．32．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝eq\f(1,2)(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)，若∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，则实数a
浙公网安备 33021202002483