排列组合、二项式定理

学科：数学教学内容：第六章排列组合、二项式定理一、考纲要求掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 解决一些简单的问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 .理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题.二、知识结构'加法原理、乘法原理「排列数排列］排列数］排列数应用］］、列数应用I排列组合综合应用组合J组合数J'口［组合数应用、二项式定理三、知识点、能力点提示（一）加法原理、乘法原理说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据.例15位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种?解：5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3种不同的报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有3X3X3X3X3=35（种）（二）排列、排列数公式说明排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查.例2由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（）A.60个B.48个C.36个D.24个解因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有匕；小于50000的五位数，万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有Pij在首末两位数排定后，中间3个位数的排法有P3，得P1P3Pi=36（个）3332由此可知此题应选C.例3将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?解：将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即2143，3142，4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应3种填法，因此共有填法为3P1=9(种).3组合、组合数公式、组合数的两个性质说明历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用题，且基本上都是由选择题或填空题考查.例4从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有()A.140种B.84种C.70种D.35种解：抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有OO种；甲型2台乙型1台的45取法有C2・Ci种45根据加法原理可得总的取法有C2・C2+C2・Ci=40+30=70(种)4545可知此题应选C.例5甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式?解：甲公司从8项工程中选出3项工程的方式C3种；8乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有Ci种；5丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C2种；4丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有C2种.28x7x6-4x3根据乘法原理可得承包方式的种数有C3XCiXC2XC2^—X5x丁〒X85423x2x12x11=1680(种).二项式定理、二项展开式的性质说明二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，在数学中它是常用的基础知识，从1985年至1998年历届高考均有这方面的题目出现，主要考查二项展开式中通项公式等，题型主要为选择题或填空题.例6在(x-寿)10的展开式中，X6的系数是()A.-27C6B.27C4C.-9C6D.9C410101010解设(x-朽)10的展开式中第Y+1项含X6,因Ty+1二CY]oX10-y(-*3)y,10-y=6,Y=4于是展开式中第5项含X6,第5项系数是C410(-J3)4=9C410故此题应选D.例7(xT)-(xT)2+(xT)3-(xT)4+(xT)5的展开式中的X2的系数等于解：此题可视为首项为x-1,公比为-(x-1)的等比数列的前5项的和，则其和为(X+1)[1+(X-1)5]_(x-1)+(X-1)61+(X—1)X在(x-1)6中含X3的项是C3x3(-1)3=-20x3,因此展开式中X2的系数是-20.6综合例题赏析例8若(2时占川巴+于+兮卄巴刘+于4,则(a0+a2+a4)2-(ai+a3)2的值为()A.1B.-1C.0D.2解：A.例92名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士,不同的分配方法共有()A.6种B.12种C.18种D.24种解分医生的方法有P2=2种，分护士方法有C2=6种，所以共有6X2=12种不同的24分配方法。应选B.例10从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同取法共有().A.140种B.84种C.70种D.35种解：取出的3台电视机中，甲型电视机分为恰有一台和恰有二台两种情形.VC2・C1+C2・C1=5X6+10X4=70.TOC\o"1-5"\h\z4554・•・应选C.例11某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf ，至少有1名女生当选的不同选法有()A.27种B.48种C.21种D.24种解：分恰有1名女生和恰有2名女生代表两类：TCi・C1+C2=3X7+3=24,373・•・应选D.例12由数学0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有().A.210个B.300个C.464个D.600个解：先考虑可组成无限制条件的六位数有多少个?应有P1・P5=600个.55由对称性，个位数小于十位数的六位数和个位数大于十位数的六位数各占一半.1・•.有2X600=300个符合题设的六位数.应选B.例13以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有().A.70个B.64个C.58个D.52个解：如图，正方体有8个顶点，任取4个的组合数为C4=70个.8其中共面四点分3类:构成侧面的有6组;构成垂直底面的对角面的有2组;形如(ADB1C1)的有4组.・能形成四面体的有70-6-2-4=58(组)应选C.例14如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有().A.12对B.24对C.36对D.48对解：设正六棱锥为0—ABCDEF.任取一侧棱OA(O)则0A与BC、CD、DE、EF均形成异面直线对.6・•・共有C16X4=24对异面直线.应选B.例15正六边形的中心和顶点共7个点，以其中三个点为顶点的三角形共个(以数字作答).解：7点中任取3个则有C37=35组.其中三点共线的有3组(正六边形有3条直径).・三角形个数为35-3=32个.例16设含有10个元素的集合的全部子集数为S,其中由3个元素组成的子集数为T,贝y三的值为。S解10个元素的集合的全部子集数有：S=Co+C1+C2+C3+C4+C5+C6+C7+C8+C9+00=210=10241010101010101010101010其中，含3个元素的子集数有T=C310=120T12015［故—=—S1024128例17在50件产品n中有4件是次品，从中任意抽了5件，至少有3件是次品的抽法共种(用数字作答).解“至少3件次品”即“有3件次品”或“有4件次品”.・C2+C4・Ci=4186（种）46446例18有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有().B.2025种A.1260种C.2520种D.5040种解:先从10人中选2个承担任务甲©J再从剩余8人中选1人承担任务乙(O)8又从剩余7人中选1人承担任务乙(O7)・•.有C2•C1•C1=2520(种).1087应选C.例19集合｛1,2,3｝子集总共有().A.7个B.8个C.6个D.5个解三个元素的集合的子集中,不含任何元素的子集有一个,由一个元素组成的子集数C13，由二个元素组成的子集数C［。由33个元素组成的子集数C33。由加法原理可得集合子集的总个数是C1+C2+C3+1=3+3+1+1=8333故此题应选B.例20假设在200件产品中有3件是次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有两件次品的抽法有().A.C2C3种B.C2C3+C3C2319731973197C.C5-C5D.C5-C1C42001972003197解：5件中恰有二件为次品的抽法为C23C3197，5件中恰三件为次品的抽法为・•・至少有两件次品的抽法为C2C3+C3C2.31973197应选B.例21两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个座位，若8名学生入座（每人一个座位），则不同座法的总数是（）.A.C5C3B.P1C5C3TOC\o"1-5"\h\z88288C.P5P3D.P8888解：对于8个人的任意一个排列均可“按先前排从左到右再后排从左到右”的次序入座.・•・应有P88种不同的入座法.应选D.例227人并排站成一行，如果甲、乙必须不相邻，那么不同排法的总数是（）.A.1440B.3600C.4320D.4800解：7人的全排列数为P77.若甲乙必须相邻则不同的排列数为P2P6.26・•・甲乙必须不相邻的排列数为P7-P2P6=5P6=3600.7266应选B.例23用1,2,3,4,四个数字组成没有重复的四位奇数的个数个（用具体数字作答）.解：末位数（C*，前三位数（P33）.・•.有C1P3=12个四位奇数.23例24用1,2,3,4,四个数字组成的比1234大的数共有个（用具体数字作答）.解：若无限制,则可组成4!=24个四位数,其中1234不合题设.・有24-1=23个符合题设的数.例25用0,1,2,3,4这五个数字组成没有重复数字的四位数,那么在这些四位数中，是偶数的总共有（）.A.120个B.96个C.60个D.36个解：末位为0,则有P3=24个偶数.4末位不是0的偶数有P12P13P23=36个.・共有24+36=60个数符合题设.应选C.例26已知集合A和集合B各含有12个元素，AQB含4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数：（1）CuAUB，且C中含有3个元素；（2）CnAM©（©表示空集）.解：TAUB含有12+12-4=20个元素；B含12个元素，・•・AnB含20-12=8个元素，若C中恰含A中1个元素，则有O・C2个，128若C中恰含A中2个元素，则有C2・C2・C2个，1288若C中恰含A中3个元素，则有C312个，・••符合题设的集合C的个数为C1C2+C2C1+C3=1084个.12812812例27四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（）A.150种B.147种C.144种D.141种解：从10点中任取4点的组合数为C4io=210.其中有4・C4=60组点，每组中的四点恰为一个侧面上的点.6其中任取同一棱上3点它们和相对棱的中点共面，即有6组这种情况应排除.其中还有底面两棱中点和对面两棱中点共面，即有3组这种情况应排除.・符合题设的取法有150-6-3=141种.应选D.TOC\o"1-5"\h\zalx9例28已知（一-”的展开式中X3的系数为了，常数a的值为.x\24ai'x解：丁丘+厂叮-）9-k（）kHYPERLINK\l"bookmark12"kk=Ck•a9-k22•Xk-9+29k令k~9+=3，得k=8,29•・x3的系数为C8・a・2-4=.9499即—a=，得a=4.164例29(心x-)6的展开式中的常数项为()xA.-160B.-40C.40D.1602)k■v'x解：T=Ck(\-x)6-k(-k+166-k_k.=Ck•(-2)k•x226令耳—2=0,得k=3・••常数项为C3•(-2)3=-1606应选A.例30若（■:X+匚）n展开式中前三项系数成等差数列，求出展开式里的有理项。2萌x解由于展开式前三项系数成等差数列11n（n-1）所以2C1（牙）=Co+C2（汗）2,n=1+n2nn28解方程得n=9或n=l（舍去）又展开式的通项为1T=Cy(x2)8-yY+18_x2k11丄131兀X-(4)X=CY8(2)YX4-4因0W4-W&且4-是整数。44所以Y是4的倍数。取Y=0或Y=4故航+占）8展开式中第一项和第五项为有理项’其有理项为T=CoX4=X418TOC\o"1-5"\h\z118X7X6X535T=C4()4(X4-3)=XX=X582244x3x2x18例31(x+2)io(x2-1)的展开式中xio的系数是(用数字作答)。解因(x+2)10展开式中X10的系数是1,X8的系数为C21022=18O，所以(x+2)10(x2-1)的展开式中，X10的系数为180-1=179例329192除以100的余数.解：9192=(100-9)92=992(mod100).992=(10-1)92=1092+C90•100乂9110+19292=-C91•10+1(mod100)92-C91・10+1=-920+1=-919=-19(mod100),92-19=81(mod100).•••9192除以100的余数是81.例33由(、打x+3'2)100的展开所得的x的多项式中，系数为有理数的共有()A.50项B.17项C.16项D.15项解：T=Ck(朽x)10-k()kk+110=Ck•(*3)10-k(32)k(x)10-k(k=0,1,2,…,100)10由2GN,3GN,kw{0,1,2,…，100},得23k=0,6,12,18,…,96，共17项.・•・应选B.例34在(3-x)7的展开式中，X5的系数是(用数字作答).解：T=Ck•37-k•(-x)k=Ck•(-1)k•Xk,k+177T=C5•37-5•(-1)5X5=-189X5.67即X5的系数是-189.例35在(1-x3)(1+x)10的展开式中，X5的系数是().A.-297B.-252C.297D.207解：(1-X3)(1+x)10=(1_X3)(.—+C5X5+・・・+C2X2+…)5010.*.X5的系数为+C5—C2=207.5010应选D.例36求（2x3-丄）15的展开式的常数项.x2•Ck•25—k•Xl5—3k—2k51解：T=Ck•(2x3)5-k・(—)k=(—l)kk+15令15-5k=0,得k=3・••常数项为T=（—1）3•C3•25-3=—40.45例37在（x-1”的展开式中，X4的系数与丄的系数之差1()k=Ck•(—1)k•X8-k-k.X88-2k=4得k=2,1解：Tk+i=Ck8•(—x)8-k•TOC\o"1-5"\h\zHYPERLINK\l"bookmark22"XX4令8—2k=—4,得k=6,1.•・T=C6・(—1)6=28・一.T=C2(-1)2x4=28x478X4X438・•・x4与丄的系数之差是28-28=0.X4例38已知（x+a）7的展开式中，X4的系数是-280，则a=.解：T=C3•x4a3=C3a3X4.477由已知C3a3=—280O35a3=—280，得a=—2.7例39在（1-x2）2o的展开式中，如果第4r项和第r+2项的二项式系数相等,⑴求r的值；（2）写出展开式中的第4r项和第r+2项.解：（1）第4r项和第r+2项的二项式系数分别是C40-1和C2-C4r-1=Cr+1O4r—1=r+1或4r—1+r+1=20，20202得r=4和r=3(舍去).r=4(2)T=T=C15•(—x2)15=—15504x30,4r1620T=T=C5(—x2)5=—15504x10r+2620例40在(1+x+x2)(1-x)10的展开式中，X5的系数是(用具体数字作答).解：(1+x+X2)(1-X)10=(1+x+x2)(1Tx+45x2-120x3+210x4-252x5+…)二•••+(-120+210-252)x5+….••・X5的系数是-120+210-252=-162.TOC\o"1-5"\h\z例41已知(1-2x)7二a+ax+ax2+・・・+aX7：那么a+a+--+a=.0127127'解：令x=1,代入已知式，得-1=a+a+・・・+a,017将x=0代入已知式，得1=a0•a+a+・・・+a=—1—a=—2.1270例42如果n是正偶数，则C。+C2+C4+・・・+Cn-2+Cn=()・nnnnnA.2nB.2n—1C.2n—2D.(n—1)2n—1E.(n—1)2n—2解：*/C0+C2+•+Cn-2+Cn=C1+C?+^+Cn-1,nnnnnnn乂(C°+C2+・・・+Cn—2+Cn)+(Cl+C3+・・・+Cn—l)=2n,nnnnnnn•:2(Co+C2+・・+Cn-2+Cn)=2n,nnnnC0+C2+・+Cn-2+Cn=2n-1.nnnn应选B.同步达纲练习】四、能力训练选择题1.有多少个整数n能使(n+i)4成为整数()A.0B.1C.2D.3(2)已知(ax+1)2n和(x+a)2n+1的展开式中含xn项的系数相同右0为实数，nWN)，则a的取值范围是()A.a=1B.a>1C.aV1D.a三1f；TFT)3•在計一+彳一n的展开式中，所有奇数项二项式系数之和等于1024，则中间项的卞x乍x2丿二项式系数是()A.330B.462C.682D.792x14•在(怎—~1—)8的展开式中的常数项是()23xA.7B.-7C.28D.-28nWN,A=U;7+2)2n+1,B为A的小数部分，则AB的值应是()A.72n+1B.22n+1C.32n+1D.52n+1某小组有8名学生，从中选出2名男生，1名女生，分别参加数、理、化单科竞赛，每人参加一种，共有90种不同的参赛 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ，则男女生的人数应是()A.男生6名，女生2名B.男生5名，女生3名C.男生3名，女生5名D.男生2名，女生5名从0，1，2，3，4中每次取出3个不同的数字组成三位数，则这些三位数的个位数字之和等于()A.80B.90C.110D.120&从集合｛1,2，3，……10｝中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，则这样的子集共有()A.10个B.16个C.20个D.32个设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这5个球投放在这5个盒内，要求每个盒内投放一个球，并且恰有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的总数为()A.20B.30C.60D.120用0，1，2，3，4，5，6这7个数字排成一个数字不重复且个位数最大，十位数次之，百位数最小的三位数的个数是()A.10B.20C.30D.40要排一张5个独唱节目和3个合唱节目的演出节目表，如果合唱节目不排头，并且任何两个合唱节目不相邻，则不同排法的种类是()A.P8B.P5•P3C.P5•P3D.P5•P385355583人坐在一排8个座位上，若每人左右两边都有空座位，则坐法种数是()A.12B.6C.24D.12013•设A,B分别为(l+x)n展开式中的奇数项之和及偶数项之和，那么A2-B2的值为()A.(1+x)2nB.(1+x)nC.-(1-X2)nD.不是以上结果(2x+)2n的展开式中，X2的系数是224,则丄的系数是()2xx2A.14B.28C.56D.112在(车■—-Va2)・的展开中，倒数第三项的系数的绝对值是45,则展形式中a2项的a系数是()A.120B.-120C.210D.-210填空题TOC\o"1-5"\h\zn是正奇数，则7n+7n-iCi+7n-2C2+7Cn-i除以9的余数是.nnn今天是星期日，从今天起21991天后的第一天是星期.满足C7VC5的所有自然数X的和等于.XX19.1.0096精确到0.001的近似值是.解答题在10个数-9,-7，-5，-1，0，2，4，6，8中任取两个数构成虚数a+bi(aMb),求(1)这样不同的虚数有多少个?兀⑵有多少个辐角主值ew(—,n)的不同虚数?2(3)有多少个模大于5的不同虚数.将数字0，1，2，3，5组成没有重复数字的五位偶数，按从小到大次序排列，那么第25个数是什么?证明9•32n-8n-9能被64整除(n^N).23.设(2-、；3x)100=a+ax+ax2+012+aXi。。，求(a+a+a+100024+a)2-(a+a+a+i。。i35+a99）2的值.24.若（i；2x2+52-2x）“展开式的二项式系数中第二、第三、第四项的系数成一个等差数列，且展开式第六项是21,求x.参考 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 【同步达纲练习】1.B2.A3.B4.A5.C6.C7.B&D9.A10.B11.C12.C13.C14.A15.C16.717.四18.4519.1.。552。.(1)81，(2)2。，(3)6421.3215。22.略23.124.x=。