第三章点线面

第3章点、直线、平面的投影3.1点的投影3.2直线的投影3.3平面的投影3.4直线与平面及两平面的相对位置本章 小结 学校三防设施建设情况幼儿园教研工作小结高血压知识讲座小结防范电信网络诈骗宣传幼儿园师德小结 结束放映Pb●●AP采用多面投影。过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。B3●B2●B1●点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。1.点在一个投影面上的投影a●3.1点的投影解决办法？HWV2.点的三面投影投影面◈正面投影面（V面）◈水平投影面（H面）◈侧面投影面（W面）投影轴OXZ◈OX轴V面与H面的交线◈OZ轴V面与W面的交线◈OY轴H面与W面的交线三个投影面互相垂直YWHVOXZY空间点A在三个投影面上的投影a点A的正面投影a点A的水平投影a点A的侧面投影注意：空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。a●a●a●A●●●●●XYZOVHWAaaaxaazay向右翻向下翻不动投影面展开WVHaaxazZaayayaXYYO●●●Z点的投影规律:①aa⊥OX轴②aax=aax=aay=azY●●YZaXayOaaxaya●aa⊥OZ轴=y=Aa（A到V面的距离）aaz=x=Aa（A到W面的距离）aay=z=Aa（A到H面的距离）●●●●XYOVHWAaaaxaazayaaz●●aaax例：已知点的两个投影，求第三投影。●aa●●aaxazaz解法一:通过作45°线使aaz=aax解法二:用圆规直接量取aaz=aaxa●3.两点的相对位置两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。判断方法：▲x坐标大的在左▲y坐标大的在前▲z坐标大的在上B点在A点之前、之右、之下。baaabb●●●●●●XYYZO⑴在图上直观判断⑵利用点的坐标判断aaabbb●●●●●●3.2直线的投影两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。1)直线对一个投影面的投影特性1.直线的投影特性BA●●●●ab直线垂直于投影面投影重合为一点积聚性直线平行于投影面投影反映线段实长ab=AB直线倾斜于投影面投影比空间线段短ab=ABcosB●●A●●abAMB●a≡b≡m●●●2)直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线正平线（平行于Ｖ面）侧平线（平行于Ｗ面）水平线（平行于Ｈ面）正垂线（垂直于Ｖ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面其投影特性取决于直线与三个投影面间的相对位置。⑴投影面平行线γβYXZba″aOYa′b′b″水平线实长①在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角的实大。②另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，其到相应投影轴距离反映直线与它所平行的投影面之间的距离。投影特性：VHabAγβBWβγa′b′a″b″判断下列直线是什么位置的直线？侧平线正平线与H面的夹角:与V面的角:β与W面的夹角:γ实长β实长γbaabab直线与投影面夹角的表示法：baabba反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。⑵投影面垂直线铅垂线正垂线侧垂线②另外两个投影，①在其垂直的投影面上，投影有积聚性。投影特性:●aba(b)ab●c(d)cddc●efefe(f)⑶一般位置直线ZYaOXbbYaba三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段的实长。投影特性：HaβγaAbVBbWabacXYYbOZb′a″c′a′c″b″AHacVBbCWb′c′a′b″c″a″2.直线与点的相对位置◈若点在直线上,则点的投影必在直线的同名投影上。　◈点的投影将线段的同名投影分割成与空间线段相同的比例。即：AC:CB=ac:cb=ac:cb=ac:cb定比定理例1：判断点C是否在线段AB上。②cabcab●●abcabc①●●在不在ab●c不在应用定比定理另一判断法?●●aabcb③c●aabbk●●k●例2：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。解法一：（应用第三投影）解法二：（应用定比定理）●aabbkab●k●k3.两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉（异面）、垂直。1)两直线平行空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。acdbcdabOXbcdHAdaCcVaDbB例：判断图中两条直线是否平行。对于一般位置直线，只要有两组同名投影互相平行，空间两直线就平行。AB与CD平行。AB与CD不平行。对于特殊位置直线，只有两组同名投影互相平行，空间直线不一定平行。abcdcbaddbac②bdca①abcdcabd2)两直线相交若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影特性。交点是两直线的共有点cabdbacdkkacVXbHDacdkCAkKdbOB●cdkkd例：过C点作水平线CD与AB相交。先作正面投影a●bbac例：判断直线AB、CD的相对位置。′c′′a′bdabcd相交吗？不相交！为什么？交点不符合空间一个点的投影特性。判断方法？⒈应用定比定理⒉利用侧面投影3)两直线交叉为什么？两直线相交吗？不相交！交点不符合一个点的投影规律！cabdOXd′b′a′c′acACVbHdDBc′d′b′a′acACVbHdDBc′d′b′a′cabdOXd′b′a′c′1(2)●2●′1●′投影特性：★同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。★“交点”是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。●1(2)ⅡⅠ1′2′●●●●′′Ⅳ43(4)3Ⅲ●●●●●●3(4)34●●′′4)两直线垂直（垂直相交或垂直交叉）直角的投影特性：若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。设直角边BC//H面因BC⊥AB,同时BC⊥Bb所以BC⊥ABba平面直线在H面上的投影互相垂直即∠abc为直角因此bc⊥ab故bc⊥ABba平面又因BC∥bc证明：BACabcH·acbabc.cababc●●d例：过C点作直线与AB垂直相交。AB为正平线,正面投影反映直角。.d3.3平面的投影1.平面的表示法不在同一直线上的三个点直线及线外一点abcabc●●●●●●d●d●两平行直线abcabc●●●●●●两相交直线平面图形c●●●abcab●●●c●●●●●●ababcb●●●●●●acabc2.平面的投影特性垂直倾斜投影特性：★平面平行投影面——投影就把实形现★平面垂直投影面——投影积聚成直线★平面倾斜投影面——投影类似原平面实形性类似性积聚性1)平面对一个投影面的投影特性平行2)平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜正垂面侧垂面铅垂面正平面侧平面水平面⑴投影面垂直面为什么？是什么位置的平面？类似性类似性积聚性铅垂面γβ投影特性：在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。另外两个投影面上的投影为类似形。ccabcabbaabcabcabc⑵投影面平行面积聚性积聚性实形性水平面投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映实形。另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。⑶一般位置平面三个投影都类似。投影特性：abcacbabcacbcaabc●b例：正垂面ABC与H面的夹角为45°，已知其水平投影及顶点B的正面投影，求△ABC的正面投影及侧面投影。思考：此题有几个解？45°3.平面上的直线和点位于平面上的直线应满足的条件：1)平面上取任意直线●●MNAB●M⑴若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面上。⑵若一直线过平面上的一点且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面上。abcbcadd例：已知平面由直线AB、AC所确定，在平面内任作一条直线。解法一：解法二：有多少解？有无数解！n●m●n●m●abcbca例：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。nmnm10唯一解！有多少解？cabcab2)平面上取点先找出过此点而又在平面上的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。bacakb●①c面上取点的方法：dd利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解首先面上取线k●②●abcabkck●bckkb例：已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。解法一：解法二：cadadbcadadbcdede1010m●m●例：在△ABC内取一点M，并使其到H面和V面的距离均为10mm。bcXbcaaO3.4直线与平面及两平面的相对位置相对位置包括平行、相交和垂直。1.平行问题直线与平面平行平面与平面平行包括1)直线与平面平行若平面外的一直线平行于平面内的某一直线，则该直线与该平面平行。n●●acbmabcmn例：过点M作直线MN平行于平面ABC。有无数解有多少解？dd正平线例：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。唯一解nnddc●●bamabcm2)两平面平行⑴若一平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。⑵若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。cfbdeaabcdeffhabcdefhabcdekk由于ek不平行于ac,故两平面不平行。例：判断平面ABDC与平面EFHM是否平行，已知AB∥CD∥EF∥MHacebbaddfcfehhOXmm直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。2.相交问题直线与平面相交平面与平面相交1)直线与平面相交要讨论的问题：●求直线与平面的交点。●判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。●●例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。空间及投影 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。①求交点②判别可见性由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。还可通过重影点判别可见性。作图用线上取点法⑴平面为特殊位置abcmncnbamk●k●1(2)2●1●●1(2)km(n)b●mncbaac⑵直线为特殊位置空间及投影分析直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。①求交点②判别可见性点Ⅰ位于平面上，在前；点Ⅱ位于MN上，在后。故k2为不可见。k●2●1●作图用面上取点法●2)两平面相交两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。要讨论的问题：(1)求两平面的交线方法：①确定两平面的两个共有点。②确定一个共有点及交线的方向。只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。(2)判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别可见性。可通过正面投影直观地进行判别。abcdefcfdbeam(n)空间及投影分析平面ABC与DEF都为正垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂直于OX轴。①求交线②判别可见性作图从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。n●m●●能!如何判别？例：求两平面的交线MN并判别可见性。⑴能否不用重影点判别？abcdefcfdbeam(n)●例：求两平面的交线MN并判别可见性。⑴空间及投影分析①求交线②判别可见性作图从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。m●n●平面ABC与DEF都为正垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂直于OX轴。a′abd(e)e′b′d′h(f)cf′c′h′1(2)′′空间及投影分析平面DEFH是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与ac、bc的交点m、n即为两个共有点的水平投影，故mn即为交线MN的水平投影。①求交线②判别可见性点Ⅰ在MC上，点Ⅱ在FH上，点Ⅰ在前，点Ⅱ在后，故mc可见。作图⑵2●1●m′●m●n●●n′●abd(e)e′b′d′h(f)cf′c′h′⑵m●n●n′●m′●空间及投影分析平面DEFH是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与ac、bc的交点m、n即为两个共有点的水平投影，故mn即为交线MN的水平投影。①求交线②判别可见性点Ⅰ在MC上，点Ⅱ在FH上，点Ⅰ在前，点Ⅱ在后，故mc可见。作图cdefababcdef⑶投影分析N点的水平投影n位于△def的外面，说明点N位于△DEF所确定的平面内，但不位于△DEF这个图形内。所以△ABC和△DEF的交线应为MK。n●n●m●k●m●k●互交cdefababcdef⑶投影分析N点的水平投影n位于△def的外面，说明点N位于△DEF所确定的平面内，但不位于△DEF这个图形内。所以△ABC和△DEF的交线应为MK。互交m●k●k●m●3.垂直问题直线与平面垂直平面与平面垂直1)直线与平面垂直若直线垂直于平面，则直线的正面投影一定垂直于平面上的正平线的正面投影，直线的水平投影一定垂直于平面上的水平线的水平投影。例：过点M作直线MN垂直于△ABC所确定的平面nde′de′′n●m●abcb′′a′c′m根据直线与平面垂直时的投影特性，所作直线的正面投影应垂直于△ABC上的正平线的正面投影，水平投影应垂直于△ABC上的水平线的水平投影。因此，作图时应首先在△ABC内作一条正平线和一条水平线。分析：例：过点A作平面垂直于直线MN。bcc′b′mnan′m′a′分析：根据直线与平面垂直的几何条件，所作平面内应包含两条相交直线与MN垂直，假设它们是相交于点A的一条正平线和一条水平线，则该正平线的正面投影应垂直于mn，水平线的水平投影应垂直于mn。2)平面与平面垂直若一平面通过另一平面的垂线，则两平面相互垂直。绘制相互垂直平面的两种方法：⑴使一平面包含另一平面的一条垂线。⑵使一平面垂直于另一平面内的一条直线。ABQPABQP例：过点M作一平面垂直于△ABC所确定的平面。dend′e′n′kk′分析：假设所作平面由相交于点M的两条直线构成，根据两平面垂直的几何条件，使其中一条为△ABC的垂线即可。abcm●●a′c′b′m′abcabc①直线为一般位置时②直线为特殊位置时babkak●●本章小结★点、直线、平面的投影特性，尤其是特殊位置直线与平面的投影特性。重点掌握：★点、直线、平面的相对位置的判断方法及投影特性。1.直线上的点(1)点的投影在直线的同名投影上。(2)点的投影必分线段的投影成定比——定比定理。(3)判断方法:2.两直线的相对位置1)平行同名投影互相平行。对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。abcdcabd①对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。cbddbac②a2)相交同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律。3)交叉（异面）同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一对重影点的投影。cabbacdkkd①c′′a′bd′abcd②4)垂直直角的投影特性：若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。BACabcHacbabc.3.点与平面的相对位置面上取点的方法:bacakb●①c利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解②●abcabkc4.直线与平面的相对位置1)直线与平面平行直线平行于平面内的一条直线。2)直线与平面相交⑵投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用交点的共有性和直线的积聚性，采取平面上取点的方法求解。⑴一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用交点的共有性和平面的积聚性，采用直线上取点的方法求解。abcmncnbamm(n)b●mncbaac3)直线与平面垂直若直线垂直于平面，则直线的正面投影一定垂直于平面上的正平线的正面投影，直线的水平投影一定垂直于平面上的水平线的水平投影。5.两平面的相对位置1)两平面平行⑴若一平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。⑵若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。cfbdeaabcdeffhabcdefhabcde2)两平面相交⑴两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置，有时可找出两平面的一个共有点，根据交线的投影特性画出交线的投影。⑵一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用特殊位置平面的积聚性找出两平面的两个共有点，求出交线。a′abd(e)e′b′d′h(f)cf′c′h′abcdefcfdbea3)两平面垂直一平面通过另一平面的垂线。绘制两平面互相垂直的方法：⑴使一平面包含另一平面的一条垂线。⑵使一平面垂直于另一平面内的一条直线。