2332高数小抄

（一） 单项选择题下列各函数对中，（C.，）中的两个函数相等．A.，B.，C.，D.，设函数的定义域为，则函数的图形关于（C.轴）对称．A.坐标原点B.轴C.轴D.函数的图形关于（B.轴）对称．　　(A)坐标原点　　　(B)轴　(C)轴　　　　　(D)函数的图形关于（A.坐标原点　）对称．　　(A)坐标原点　　　　(B)轴(C)轴　　　　　　(D)设函数f(x)的定义域为(一∞，+∞)，则函数f(x)-f(-x)的图形关于(D.坐标原点)对称.A.B.轴C.轴　D.坐标原点下列函数中为奇函数是（B.）．A.B.C.D.下列函数中为基本初等函数是（C.）．A.B.C.D.设，，则复合函数=B..A.B.C.D.下列等式中正确的是（B.　）．　　(A)　　(B)(C)　　　(D)=A.0.A。0B.1C.D.不确定下列极限存计算不正确的是（D.）．A.B.C.D.当时，变量（C.）是无穷小量．A.B.C.D.在下列指定的变化过程中，（A.）是无穷小量．　　A.　B.　C.　　　D.在下列指定的变化过程中，（C.）是无穷小量．　　(A)　(B)(C)　　(D)以下叙述正确的是D.当时，是无穷小.A.是无穷小B.当时，是无穷小C.是无穷小D.当时，是无穷小若函数在点满足（A.），则在点连续。A.B.在点的某个邻域内有定义C.D.设且极限存在，则（C.）．A.B.C.D.cvx设在可导，则（D.）．A.B.C.D.设，则（A.）．A.B.C.D.设在可导，则（C.　）．　　(A)　(B)　(C)(D)设存在，则=C..A.0B.C.D.1若，则（B.）．　　(A)(B)(C)　(D)若，则（C.）．　　(A)(B)(C)(D)若，则（B.）．　　(A)　　(B)　　(C)　(D)设的一个原函数为，则=C..A.B.C.D.下列积分计算正确的是（D.　）．　　(A)　　　　(B)　　(C)　　　　　(D)设，则（D.）．A.B.C.D.下列结论中正确的是（C.若在点可导，则在点有极限）．A.若在点有极限，则在点可导．B.若在点连续，则在点可导．C.若在点可导，则在点有极限．D.若在点有极限，则在点连续．若函数满足条件（D.在内连续，在内可导），则存在，使得．A.在内连续B.在内可导C.在内连续且可导D.在内连续，在内可导若函数在不连续，则在B.必不可导.A.必定可导B.必不可导C.不一定可导D.必无定义若函数在不连续，则在B.必不可导.A.必定可导B.必不可导C.不一定可导D.必无定义是可导函数在处有极值的B.必要条件.A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非必要又非充分条件是函数在处有极值的D.既非必要又非充分条件A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非必要又非充分条件函数的单调增加区间是（D.　）．A.B.C.D.函数在区间内满足（A.先单调下降再单调上升　）．A.先单调下降再单调上升B.单调下降C.先单调上升再单调下降D.单调上升函数的图形在区间（0，2）内是A.单调减少，凹的.A.单调减少，凹的B.单调增加，凹的C.单调减少，凸的D.单调增加，凸的函数满足的点，一定是的（C.驻点　）．A.间断点B.极值点C.驻点D.拐点设在内有连续的二阶导数，，若满足（C.），则在取到极小值．A.B.C.D.设在内有连续的二阶导数，且，则在此区间内是（A.单调减少且是凸的）．A.单调减少且是凸的B.单调减少且是凹的C.单调增加且是凸的D.单调增加且是凹的设的一个原函数为，则=A..A.B.C.D.若的一个原函数是，则（D.）．A.B.C.D.下列等式成立的是（D.）．AB.C.D.若，则（B.）．A.B.C.D.（B.）．A.B.C.D.若，则（B.）．A.B.C.D.下列无穷限积分收敛的是（D.）．A.B.C.D.填空题函数的定义域是．函数的定义域是　　　　　.函数的定义域是　　　　　．已知函数，则x2-x．设，，则复合函数=.．=0=d=.d=.若函数，在处连续，则　e．是函数的第一类间断点函数的间断点是．设函数由方程确定，则曲线上横坐标点处的切线方程为.抛物线过点切线方程为若，则当时，称为。设函数，则　　0．设，则。曲线在处的切线斜率是。曲线在处的切线斜率是　　　　　．曲线在处的切线斜率是　　　　　曲线在处的切线方程是。设，则设，则。设在内可导，，且当时，当时，则是的极小值点．若函数在点可导，且是的极值点，则0．函数的单调减少区间是．.函数的单调增加区间是　　　　　．.函数的单调增加区间是　　　函数的单调增加区间是函数的单调增区间是若函数在内恒有，则在上的最大值是．函数的拐点是函数的不定积分是。若函数与是同一函数的原函数，则与之间有关系式。设某商品的需求函数为，则P=2时的需求弹性为-1。　。若，则。若，则　3若无穷积分收敛，则。计算题设函数求：．解：，，求函数的定义域．解：有意义，要求解得则定义域为计算极限．解：求．解：＝求．解：求．解：求．解：求．解：求．解：求.求.计算极限．解利用重要极限，及极限的运算法则得计算极限．解利用极限的运算法则得.设，求．解：设，求．解利用导数的运算法则和复合函数求导法则得设，求．解利用导数的运算法则和复合函数求导法则得求由参数方程所 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示的函数的二阶导数.求下列函数的导数：解:解：解：解：解：解：解：解：解：解：解：解：解：解：解：解：解：在下列方程中，是由方程确定的函数，求：解：解：解：解：解：解：解：解：设，求．解：设，求.求下列函数的微分：（注：）解：解：解：解：设，求函数的微分.设，求函数的微分.求下列函数的二阶导数：解：解：解：解：计算不定积分．解：由换元积分法得　　　　　求不定积分.求不定积分.求不定积分.求不定积分.令，则，于是　计算定积分．解：由分部积分法得计算．解利用分部积分法得应用题某制罐厂要生产一种体积为V的无盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？　　解设容器的底半径为，高为，则其表面积为因为，所以由，得唯一驻点，此时，由实际问题可知，当底半径和高时可使用料最省．某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？　解：设容器的底半径为，高为，则其表面积为由，得唯一驻点，由实际问题可知，当时可使用料最省，此时，即当容器的底半径与高分别为与时，用料最省．欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底长为x，高为h。则：侧面积为：令答：当底连长为5米，高为2.5米时用料最省。用钢板焊接一个容积为62.5的底部为正方形的水箱（无盖），问水箱的尺寸如何选择，可使水箱的表面积最小？解设水箱的底边长为，高为，表面积为，且有，所以令，得，因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当时水箱的表面积最小.欲做一个底为正方形，容积为32cm3的长方体开口容器，怎样做法可使用料最省?解：设底边的边长为x，高为h，用材料为y，由已知x2h=32,h=32x2y=x2+4xh=x2+4x。32x2=x2+128x令y'=2x-128x2=0，解得x=4是唯一驻点，易知x=4是涵数的极小值点，此时有h=3242=2,所以当x=4(cm),h=2(cm)时用料最省.在抛物线y2=4x上求一点，使其与x轴上的点A(3，0)的距离最短.解:设所求点P(x,y),则x,y满足y2=4x.点P到点A的距离之平方为L=(x-3)2+y2=x-32+4x令L'=2(x-3)十4=0，解得x=l是唯一驻点，易知x=l是函数的极小值点，当x=l时，y=2或y=-2，所以满足条件的有两个点(1，2)和(1，一2).圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？解：设园柱体半径为R，高为h，则体积一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？解：设园柱体半径为R，高为h，则体积答：当时表面积最大。求曲线上的点，使其到点的距离最短．解：，d为p到A点的距离，则：。求曲线上的点，使其到点的距离最短．　　解曲线上的点到点的距离公式为。与在同一点取到最小值，为计算方便求的最小值点，将代入得令得．可以验证是的最小值点，并由此解出，即曲线上的点和点到点的距离最短．在半径为的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数．解：AROhEBC设梯形ABCD即为题中要求的梯形，设高为h，即OE=h，下底CD＝2R直角三角形AOE中，利用勾股定理得则上底＝故已知，求a，b的值。解：由于，所以必有且可分解为，从而有又，得于是有设，已知在连续，确定a，b的值。解：由已知而从而。已知是的原函数，求.（6分）解：由已知某家电厂在生产一款新冰箱，它确定，为了卖出新套冰箱，其单价应为，同时还确定，生产台冰箱的总成本可表示为。为使利润最大，公司必须生产并销售多少台冰箱，并求此最大利润与冰箱的单价。（10分）解：总收入总利润，解得，由于，只有一个驻点，所以为最大值。最大利润为冰箱的单价为某服装有限公司确定，为卖出x套服装，其单价应为，同时还确定，生产x套服装的总成本可表示成，为使利润最大，公司必须生产并销售多少套服装，并求此最大利润与服装的单价。（10分）解：总收入总利润，解得，由于，只有一个驻点，所以为最大值。最大利润为所需的单价为证明题设函数讨论的连续性。解：分别对分段点处讨论连续性（1）所以，即在处不连续（2）所以即在处连续由（1）（2）得在除点外均连续设，证明：.解：设，显然在上满足拉格朗日中值定理的条件，于是因为，故有由于，所以求函数的单调区间和极值．解：令X1(1,5)5+0—0+y上升极大值32下降极小值0上升列表：极大值：极小值：求函数在区间内的极值点，并求最大值和最小值．解：令：，列表：（0,1）1（1,3）+0—上升极大值2下降设是可导的奇函数，试证是偶函数．证：因为f(x)是奇函数所以两边导数得：所以是偶函数。当时，证明不等式．证：在区间其中，于是由上式可得当时，证明不等式．证：证明：若在上可积并为奇函数，则．证:证毕证明：若在上可积并为偶函数，则．证：