数列求和方法

数列求和的方法数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础。而数列求和又是数列问题的精髓，重中之重，往往是进一步处理问题的基础，常与函数、不等式、极限糅合命题，有一定的综合性■除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。下面就把我的积累与大家分享，不当之处，敬请批评指正。一、利用常用求和公式求和1等差数列求和公式:&=空1込=na12na2、等比数列求和公式:Sn二ai(1-q)I(q=1)-0nq3、Jn(n1)25、nSn八k'k112Fn(n1)］［例1］已知Iog3x=解：由log3x1-q011-q(q=1)4、Snn八k2kA」n(n1)(2n1)6-123，求xxx+…的前n项和.log23-1\log23log3x--Iog32=1x=_2由等比数列求和公式得:11Sn=xx2x3宀:;：'xn1-xx(1_xn)2(1_齐*［例2］设Sn=1+2+3+…+n,n€N，求f(n)二Sn(n32)Sn1的最大值.解：由等差数列求和公式得11S-2n(n1)，&厂尹52)…f(n)「(n32)Sn1n234n641=64n34(.n-n125050•••当珂'n=辛fn，即n=8时，f(n)max二丄二、错位相减法求和错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置，需要我们的学生认真掌握好这种方法。这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法。这种方法主要用于求数列｛an•bn｝的前n项和，其中｛an｝、｛bn｝分别是等差数列和等比数列.［例3］求和：Sn^13x5x27x3诩5胡'(2n-1)xnJI解：由题可知，｛(2n-1)xnJ｝的通项是等差数列｛2n—1｝的通项与等比数列｛xnJ｝的通项之积。设xS^lx3x25x37x^—(2n-1)xn…②(设置错位)①-②得(1-x)Sn=12x2x22x32x^2xnJ-(2n-1)xn(错位相减),再利用等比数列的求和公式得:1_x(1-x)Sn=12x-1-x_(2n_1)xn。n1n(2n_1)x-(2n+1)xSn(1x)(1-x)2［例4］求数列一，—2,，…；~~n，…前n项的和.2222｛一｝的通项是等差数列｛2n｝的通项与等比数列｛步｝的通项之积土』…卫…22232n解：由题可知,设SniSn+.+_2n_小2小3小4j12222122222①一②得(1-一)Sn二一•一一•=—22222n22n2n2n12nSn=4-4三、裂项相消法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用列中的每项(通项)分解，然后重新组合，使之能消去的目的..裂项相消法的实质是将数一些项，最终达到求和适用于*anan+，其中｛an｝是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。通项分解(裂项)如：(1)an=f(nT)-f(n)(2)tan(n1)-tanncosncos(n1)(3)an1n(n1)(2n)2(2n-1)(2n1)12n1(5)an1n(n-1)(n2)1(n1)(n2)⑹ann212(n1)-n1111n,则Sn=1n(n1)2(n1)2n(n-1)2nn(n1)nn」2n2[例5]求数歹||_111…的前n项和.121.2S'.nin1'1n解：设aS-亠n1、2——11解：设S=-cos0cos1cos1cos2cos88cos89—亠亠_2.3.n、n1=(..2-.1)(.3-2)(n1-n)=、n1-1［例6］在数列｛an｝中，an——，又n1bn，求数列｛bn｝anan-1的前n项的和.解:an2++...+n1n1111s.二8[(1-mn2.1=8(),•数列｛bn｝的前n项和:nn1()(I」)，丄一丄)]=8(1-丄)2334nn18nn1［例7］求证:sin1cosncos(n1)-=tan(n1)-tann111cos1"r■■■2cos0cos1cos1cos2cos88cos89sin11cos88cos89__11—cos0cos1cos1cos21{(tan「'-tanO)(tan2“-tan1)(tan3“-tan2)[tan89“-tan88]}sinlTOC\o"1-5"\h\z11cosl(tan89-tan0)=cotl=—sin1sin1sin1原等式成立四、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1an).［例8］求证：CO3Cn5C2-■(2n1)C；=51)2nTOC\o"1-5"\h\z 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ：设Sn二CO■3Cn■5C2-■■(2n1)C；把①式右边倒转过来得Sn=(2n・12；(2n-1)C：」•3C,•C又由cm二C：』可得：Sn二(2n•1)Cn-(2n-1)C：•3C：」•C：②①+②得：2Sn=(2n2)(C0C：九…ncj-C；^2(n1)2nSn=(n1)2nTOC\o"1-5"\h\z9<59O9<59O9<5［例9］求sin21sin22sin2sin288sin289的值2。2。202。20解：设S=sin1+sin2+sin3+…+sin88+sin89①oo<5o-QnoO将①式右边反序得：S=sin89sin88飞in3sin2sin1……②又因为sinx=cos(90-x),sin2xcos2x=1，①+②得：2。2。2。2~2~2。2S=(sin1cos1)(sin2cos2)宀宀(sin89cos89)=89S=44.5五、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.若数列①1的通项公式为cn=anbn，其中中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般用分组结合法。111［例10］求数列的前n项和：11,4^77/，—百•3n-2，…aaa111解：设Sn=(11)(4)(27)亠亠(~n3n-2)TOC\o"1-5"\h\zaaa将其每一项拆开再重新组合得1115=(12~nr)(147飞n—2)(分组)aaa当a=1时，c(3n—1)n(3n+1)n/八如+知、Sn=n=(分组求和)22当a=1时，1111nan(3n~^1)na—'a(3n—1)nSn=2a-12a［例11］求数列｛n(n+1)(2n+1)｝的前n项和.TOC\o"1-5"\h\z解：设ak=k(k1)(2k1)=2k33k2knn32Sn二、'k(k1)(2k1)八(2k33k2k)kAk二将其每一项拆开再重新组合得:nSn=2kJnk33'kT=2(1323…n3)3(1222…n2)(12n)_n2(n+1)2丄n(n+1)(2n+1)丄n(n+1)=n(n+1)2(n+2)=2222六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.［例12］求cos1°+cos2°+cos3°+•…+cos178°+cos179°的值.解：设Sn=cos1°+cos2°+cos3°+•••+cos178°+cos179°•••cosn'=-cos(180-n)(找特殊性质项)•••Sn=(cos1°+cos179°)+(cos2°+cos178°)+(cos3°+cos177°)+•••+(cos89°+cos91°)+cos90°=0(合并求和)［例13］数列{an}:a^1,a2=3,a3=2耳2F1_a“，求S2002.解：设S2002=a1a2a3爲…-^2002，由a1=1,a2=3,a^2,an・2=an1—an可得a^-1,a5--3,a6--2,a7=i,a8-3,a9一2,ai0一一1,aii一一3,ai2一一2,a6ki=ija6k2=3,a6k3=2,a6k.4=-i,a6k-^=一3,a6k6=-2a6k1■a6k2■a6k3■a6k4■a6k5a6k6=0S2002=ai■a2'a^■a2002=(aia2.a3.-a6)(a7.a8.…a!2).…•(a6k1'a6k2'a6k6)'"+(ai993'ai994ai998)'ai999'a2000'a2001'a2002=ai999■a2000■a200i■a2002=a6ki■a6k2■a6k3■a6k4=5［例14］在各项均为正数的等比数列{an)中，若a5a6=9,求log3ai•log3a2亠亠log3ai0的值。解：设Sn=log3ailogsa?」og3ai0由等比数列的性质m■n=pq=aman二apaq和对数的运算性质logaMlogaN=logaMN得：Sn=(log3ailog3a^)(log3a?ga?)亠亠(log385ga6)=(log3aiai0)(log3a2a?)…Jog3观)=log39log3"log39=i0七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.［例15］求iiiIII爲'「iiiI之和.n个iiiiiiiiiii=I(i0i-i)i(i02-i)99I(i03-i)9i(I0n_i)911=—(10110210…幕10n)(11仁…id)99n个1110(10n—1)910-1-=—(10n1-10-9n)981已知数列{an}:an8(n1)(n3)□0,求'(n1)(ann4-an1)的值.解:(n1)(an-an1)=8(n1)[1(n1)(n3)1(n2)(n4)1(n2)(n4)1(n3)(n4))-8(□0、(n1)(an-a..Jn4cdF(nA)8、(nA1332解：由于iiii9999(i0k-i)k个i9k个i9