24.1.4圆周角教学目标【知识与技能】理解圆周角的概念.探索圆周角与同弧所对的圆心角之间的关系，并会用圆周角定理及推论进行有关计算和证明.【过程与
方法
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】经历探索圆周角定理的过程，初步体会分类讨论的
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思想，渗透解决不确定的探索型问题的思想和方法，提高学生的发散思维能力.【情感态度】通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验.【教学重点】圆周角定理及其推论的探究与应用.【教学难点】圆周角定理的证明中由一般到特殊的数学思想方法以及圆周角定理及推论的应用.教学过程一、情境导入，初步认识如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗AB观看窗内的海洋动物，同学甲站在圆心O的位置.同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（∠AOB和∠ACB）有什么关系？如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角（∠ADB和∠AEB）和同学乙的视角相同吗？［相同，2∠ACB=2∠AEB=2∠ADB=∠AOB］二、思考探究，获取新知1.圆周角的定义探究1观察下列各图，图（1）中∠APB的顶点P在圆心O的位置，此时∠APB叫做圆心角，这是我们上节所学的
内容
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.图（2）中∠APB的顶点P在⊙O上，角的两边都与⊙O相交，这样的角叫圆周角.请同学们
分析
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（3）、（4）、（5）、（6）是圆心角还是圆周角.【教学说明】
设计
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这样的一个判断角的问题，是再次强调圆周角的定义，让学生深刻体会定义中的两个条件缺一不可.【归纳结论】圆周角必须具备两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都与圆相交.二者缺一不可.2.圆周角定理探究2如图，（1）指出⊙O中所有的圆心角与圆周角，并指出这些角所对的是哪一条弧？（2）量一量∠D、∠C、∠AOB的度数，看看它们之间有什么样的关系？（3）改变动点C在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化？你发现其中有规律吗？若有规律，请用语言叙述.解：（1）圆心角有：∠AOB圆周角有：∠C、∠D，它们所对的都是（2）∠C=∠D=1/2∠AOB.（3）改变动点C在圆周上的位置，这些圆周角的度数没有变化，并且圆周角的度数恰好等于同弧所对圆心角度数的一半.为了进一步研究上面发现的结论，如图，在⊙O上任取一个圆周角∠ACB，将圆对折，使折痕经过圆心O和∠ACB的顶点C.由于点C的位置的取法可能不同，这时折痕可能会：（1）在圆周角的一条边上；（2）在圆周角的内部；（3）在圆周角的外部.已知：在⊙O中，所对的圆周角是∠ACB，圆心角是∠AOB，求证：∠ACB=1/2∠AOB.［提示分析：我们可按上面三种图形、三种情况进行证明.］如图（1），圆心O在∠ACB的边上，∵OB=OC，∴∠B=∠C，而∠BOA=∠B+∠C，∴∠B=∠C=1/2∠AOB.图（2）（3）的证明方法与图（1）不同，但可以转化成（1）的基本图形进行证明，证明过程请学生们讨论完成.得出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半.注意：①定理应用的条件是“同圆或等圆中”，而且必须是“同弧或等弧”，如下图（1）.②若将定理中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立了.因为一条弦所对的圆周角有两种情况，它们一般不相等（而是互补）.如下图（2）.3.圆周角定理的推论议一议（1）特殊的弧——半圆，它所对的圆周角是多少度呢？（2）如果一条弧所对的圆周角是90°，那么这条弧所对的圆心角是多少呢？结论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.（圆周角定理的推论）4.圆内接四边形定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形.⊙O是四边形ABCD的外接圆.连接OB、OD，由圆周角定理可知：∠A=1/2∠1，∠C=1/2∠2而∠1+∠2=360°，∴∠A+∠C=∴∠A与∠C互补，同理可得∠ADC+∠ABC=180°.由此可知在⊙O的内接四边形ABCD中，对角∠A与∠C，∠ADC与∠ABC互补.若延长BC至E，使得四边形ABCD有一个外角∠DCE，则∠DCE+∠BCD=180°.∴∠A=∠DCE.即：外角∠DCE与内对角∠A相等.由此可知圆内接四边形有如下性质：圆内接四边形的对角互补，外角等于内对角.三、典例精析，获取新知例1如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D.求BC、AD、BD的长.分析：由直径AB可知△ACB和△ADB为直角三角形，进而可用勾股定理求BC，又由CD平分∠ACB可知∠1=∠2，从而得到AD、BD.再次用勾股定理求出AD、BD的长.解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，∴△ACB和△ADB为直角三角形.在Rt△ABC中，BC==8（cm）.∵CD平分∠ACB，∴∠1=∠2，∴AD=BD，∴.又在Rt△ABD中，AD=BD=/2AB=5（cm）例2如图.AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠AOD=30°.求∠BCD的度数.分析：这题有两种解答思路，可用圆周角定理，∠C=（180°+∠AOD）×1/2，也可由圆内接四边形的对角互补知：∠C+∠A=180°.而∠A=∠D，是等腰△OAD的两底角，从而可求出∠C.两种方法都不难求出∠C=105°.四、运用新知，深化理解1.如图（1）所示，⊙O的直径AE=10cm.∠B=∠EAC，求AC的长.2.如图（2）所示，AB是⊙O的直径，以AO为直径的⊙C与⊙O的弦AD相交于点E.（1）你认为图中有哪些相等的线段？（2）连接OE、BD.你认为OE与BD之间的关系是怎样的？3.如图（3）所示，两圆相交于A、B两点，小圆经过大圆的圆心O，点C、D分别在两圆上，若∠ADB=100°，求∠ACB的度数.【答案】1.5cm2.(1)OA=OB，AC=OC，AE=DE(2)OE=1/2BD且OE∥BD3.40°五、师生互动，课堂小结师生共同回顾本节所学的知识点有哪些？常见的辅助线有哪些？【教学说明】学生自主交流小结，教师加以补充和点评，营造轻松愉悦的氛围.课后作业1.布置作业：从教材“习题24.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.教学反思
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