三角函数平面向量综合题九种类型

TheStandardizationOfficewasrevisedontheafternoonofDecember13,2020三角函数平面向量综合题九种类型三角函数与平面向量综合题的九种类型题型一：三角函数与平面向量平行(共线)的综合【例1】　已知A、B、C为三个锐角，且A＋B＋C＝π.若向量eq\o(→,p)＝(2－2sinA，cosA＋sinA)与向量eq\o(→,q)＝(sinA－cosA，1＋sinA)是共线向量.（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）求函数y＝2sin2B＋coseq\f(C－3B,2)的最大值.题型二.　三角函数与平面向量垂直的综合已知向量eq\o(→,a)＝(3sinα,cosα)，eq\o(→,b)＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(eq\f(3,2)，2π)，且eq\o(→,a)⊥eq\o(→,b)．（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求cos(eq\f(α,2)＋eq\f(,3))的值．题型三.　三角函数与平面向量的模的综合【例3】　已知向量eq\o(→,a)＝(cosα,sinα)，eq\o(→,b)＝(cosβ,sinβ)，|eq\o(→,a)－eq\o(→,b)|＝eq\f(2,5)eq\r(5).(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ)若－eq\f(,2)＜β＜0＜α＜eq\f(,2)，且sinβ＝－eq\f(5,13)，求sinα的值.题型四：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值【例4】（2010年高考安徽卷）已知，为的最小正周期，，求的值．练习：设函数f(x)＝eq\o(→,a)·eq\o(→,b).其中向量eq\o(→,a)＝(m，cosx)，eq\o(→,b)＝(1＋sinx，1)，x∈R，且f(eq\f(,2))＝2.（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值.　题型五：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题　【例5】（浙江卷）如图，函数（其中）的图像与轴交于点（0，1）。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设是图像上的最高点，M、N是图像与轴的交点，求与的夹角。题型六：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算【例6】（山东卷）在中，角的对边分别为，．（1）求；（2）若，且，求．题型七：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算【例7】（陕西卷），其中向量，，，且函数的图象经过点．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求函数的最小值及此时值的集合。题型八：结合向量平移问题，考查三角函数解析式的求法【例8】（湖北卷）将的图象向左平移π/4,向下平移2个单位，则平移后所得图象的解析式为Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．题型九：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题【例9】（湖北卷）设向量，函数.（Ⅰ）求函数的最大值与最小正周期；（Ⅱ）求使不等式成立的的取值集.【专题训练】一、选择题1．已知eq\o(→,a)＝(cos40，sin40)，eq\o(→,b)＝(cos20，sin20)，则eq\o(→,a)·eq\o(→,b)＝（）A．1B．eq\f(eq\r(3),2)C．eq\f(1,2)D．eq\f(eq\r(2),2)2．将函数y＝2sin2x－EQ\f(π,2)的图象按向量(EQ\f(π,2)，EQ\f(π,2))平移后得到图象对应的解析式是（）A．2cos2xB．－2cos2xC．2sin2xD．－2sin2x3．已知△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(b,\s\up6(→))，若eq\o(a,\s\up6(→))·eq\o(b,\s\up6(→))＜0，则△ABC是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．任意三角形4．设eq\o(→,a)＝(eq\f(3,2),sin)，eq\o(→,b)＝(cos,eq\f(1,3))，且eq\o(→,a)∥eq\o(→,b)，则锐角为（）A．30B．45C．60D．755．已知eq\o(→,a)＝(sinθ，eq\r(1＋cosθ))，eq\o(→,b)＝(1，eq\r(1－cosθ))，其中θ∈(π，eq\f(3,2))，则一定有（）A．eq\o(→,a)∥eq\o(→,b)B．eq\o(→,a)⊥eq\o(→,b)C．eq\o(→,a)与eq\o(→,b)夹角为45°D．|eq\o(→,a)|＝|eq\o(→,b)|6．已知向量eq\o(a,→)＝(6，－4)，eq\o(b,→)＝(0，2),eq\o(c,→)＝eq\o(a,→)＋eq\o(b,→)，若C点在函数y＝sineq\f(π,12)x的图象上,实数＝A．eq\f(5,2)B．eq\f(3,2)C．－eq\f(5,2)D．－eq\f(3,2)7．设0≤θ≤2π时，已知两个向量eq\o(OP1,\s\up6(→))＝(cosθ，sinθ)，eq\o(OP2,\s\up6(→))＝(2＋sinθ，2－cosθ)，则向量eq\o(P1P2,\s\up6(→))长度的最大值是（）A．eq\r(2)B．eq\r(3)C．3eq\r(2)D．2eq\r(3)8．若向量eq\o(→,a)＝(cos,sin)，eq\o(→,b)＝(cos,sin)，则eq\o(→,a)与eq\o(→,b)一定满足（）A．eq\o(→,a)与eq\o(→,b)的夹角等于－B．eq\o(→,a)⊥eq\o(→,b)C．eq\o(→,a)∥eq\o(→,b)D．(eq\o(→,a)＋eq\o(→,b))⊥(eq\o(→,a)－eq\o(→,b))9．已知向量eq\o(→,a)＝(cos25,sin25)，eq\o(→,b)＝(sin20,cos20)，若t是实数，且eq\o(→,u)＝eq\o(→,a)＋teq\o(→,b)，则|eq\o(→,u)|的最小值为（）A．eq\r(2)B．1C．eq\f(eq\r(2),2)D．eq\f(1,2)10．O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：eq\o(→,OP)＝eq\o(→,OA)＋(eq\o(→,AB)＋eq\o(→,AC))，∈(0,＋∞)，则直线AP一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心二、填空题11．已知向量eq\o(→,m)＝(sin，2cos)，eq\o(→,n)＝(eq\r(3),－eq\f(1,2)).若eq\o(→,m)∥eq\o(→,n)，则sin2的值为____________．12．已知在△OAB(O为原点)中，eq\o(→,OA)＝(2cos，2sin)，eq\o(→,OB)＝(5cos，5sin)，若eq\o(→,OA)·eq\o(→,OB)＝－5，则S△AOB的值为_____________.13．已知向量eq\o(\s\up6(→),m)＝(1，1)向量eq\o(\s\up6(→),n)与向量eq\o(\s\up6(→),m)夹角为eq\f(3π,4)，且eq\o(\s\up6(→),m)·eq\o(\s\up6(→),n)＝－1.则向量eq\o(\s\up6(→),n)＝__________．三、解答题14．已知向量eq\o(→,m)＝(sinA,cosA)，eq\o(→,n)＝(eq\r(3),－1)，eq\o(→,m)·eq\o(→,n)＝1，且为锐角.(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)求函数f(x)＝cos2x＋4cosAsinx(x∈R)的值域．15．在△ABC中，A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量eq\o(→,m)＝(1，2sinA)，eq\o(→,n)＝(sinA，1＋cosA)，满足eq\o(→,m)∥eq\o(→,n)，b＋c＝eq\r(3)a.(Ⅰ)求A的大小；(Ⅱ)求sin(B＋eq\f(,6))的值．16．△ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，eq\o(→,m)＝(2b－c，a)，eq\o(→,n)＝(cosA，－cosC)，且eq\o(→,m)⊥eq\o(→,n)．(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)当y＝2sin2B＋sin(2B＋eq\f(,6))取最大值时，求角的大小.17．已知eq\o(→,a)＝(cosx＋sinx，sinx)，eq\o(→,b)＝(cosx－sinx，2cosx)，（Ⅰ）求证：向量eq\o(→,a)与向量eq\o(→,b)不可能平行；（Ⅱ）若f(x)＝eq\o(→,a)·eq\o(→,b)，且x∈[－eq\f(,4),eq\f(,4)]时，求函数f(x)的最大值及最小值．18．设函数，其中向量，．（Ⅰ）求函数的最大值和最小正周期；（Ⅱ）将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的．19．已知向量．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）求的最大值．【参考答案】三角函数与平面向量综合题的九种类型【例1】【解】（Ⅰ）∵eq\o(→,p)、eq\o(→,q)共线，∴(2－2sinA)(1＋sinA)＝(cosA＋sinA)(cosA－sinA)，则sin2A＝eq\f(3,4)，又A为锐角，所以sinA＝eq\f(eq\r(3),2)，则A＝eq\f(,3).（Ⅱ）y＝2sin2B＋coseq\f(C－3B,2)＝2sin2B＋coseq\f((π－eq\f(,3)－B)－3B,2)＝2sin2B＋cos(eq\f(,3)－2B)＝1－cos2B＋eq\f(1,2)cos2B＋eq\f(eq\r(3),2)sin2B＝eq\f(eq\r(3),2)sin2B－eq\f(1,2)cos2B＋1＝sin(2B－eq\f(,6))＋1.∵B∈(0，eq\f(,2))，∴2B－eq\f(,6)∈(－eq\f(,6)，eq\f(5,6))，∴2B－eq\f(,6)＝eq\f(,2)，解得B＝eq\f(,3)，ymax＝2.2、【解】　（Ⅰ）∵eq\o(→,a)⊥eq\o(→,b)，∴eq\o(→,a)·eq\o(→,b)＝0．而eq\o(→,a)＝（3sinα，cosα），eq\o(→,b)＝(2sinα,5sinα－4cosα)，故eq\o(→,a)·eq\o(→,b)＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0．由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0．解之，得tanα＝－eq\f(4,3)，或tanα＝eq\f(1,2)．∵α∈（eq\f(3,2)，2π），tanα＜0，故tanα＝eq\f(1,2)（舍去）．∴tanα＝－eq\f(4,3)．（Ⅱ）∵α∈（eq\f(3,2)，2π），∴eq\f(α,2)∈（eq\f(3,4)，π）．由tanα＝－eq\f(4,3)，求得taneq\f(α,2)＝－eq\f(1,2)，taneq\f(α,2)＝2（舍去）．∴sineq\f(α,2)＝eq\f(eq\r(5),5)，coseq\f(α,2)＝－eq\f(2eq\r(5),5)，∴cos(eq\f(α,2)＋eq\f(,3))＝coseq\f(α,2)coseq\f(,3)－sineq\f(α,2)sineq\f(,3)＝－eq\f(2eq\r(5),5)×eq\f(1,2)－eq\f(eq\r(5),5)×eq\f(eq\r(3),2)＝－eq\f(2eq\r(5)＋eq\r(15),10)3、【解】　(Ⅰ)∵|eq\o(→,a)－eq\o(→,b)|＝eq\f(2,5)eq\r(5)，∴eq\o(→,a)2－2eq\o(→,a)·eq\o(→,b)＋eq\o(→,b)2＝eq\f(4,5)，将向量eq\o(→,a)＝(cosα,sinα)，eq\o(→,b)＝(cosβ,sinβ)代入上式得12－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＋12＝eq\f(4,5)，∴cos(α－β)＝eq\f(3,5).(Ⅱ)∵－eq\f(,2)＜β＜0＜α＜eq\f(,2)，∴0＜α－β＜π，由cos(α－β)＝－eq\f(3,5)，得sin(α－β)＝eq\f(4,5)，又sinβ＝－eq\f(5,13)，∴cosβ＝eq\f(12,13)，∴sinα＝sin［(α－β)＋β］＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝eq\f(33,65).4、【解答】因为为的最小正周期，故．因为，又，故．由于，所以．练习解：（Ⅰ）f(x)＝eq\o(→,a)·eq\o(→,b)＝m(1＋sinx)＋cosx，由f(eq\f(,2))＝2，得m(1＋sineq\f(,2))＋coseq\f(,2)＝2，解得m＝1.(Ⅱ)由（Ⅰ）得f(x)＝sinx＋cosx＋1＝eq\r(2)sin(x＋eq\f(,4))＋1，当sin(x＋eq\f(,4))＝－1时，f(x)的最小值为1－eq\r(2).5、【解答】（=1\*ROMANI）因为函数图像过点，所以即因为，所以.（=2\*ROMANII）由函数及其图像，得所以从而，故.6、【解答】（1），,又，解得：，，是锐角，．（2），，，又，，，，．7、【解答】（Ⅰ）由已知，得．（Ⅱ）由（Ⅰ）得∴当时，的最小值为，由，得值的集合为．8、【解答】∵，∴平移后的解析式为，选．9、【解答】（Ⅰ）∵∴的最大值为，最小正周期是（Ⅱ）要使成立，当且仅当，即,即成立的的取值集合是．【专题训练】参考答案一、选择题1．B　解析：由数量积的坐标 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示知eq\o(→,a)·eq\o(→,b)＝cos40sin20＋sin40cos20＝sin60＝eq\f(\r(3),2).2．D【解析】y＝2sin2x－EQ\f(π,2)→y＝2sin2（x＋eq\f(,2)）－EQ\f(π,2)＋EQ\f(π,2)，即y＝－2sin2x.3．A【解析】因为cos∠BAC＝eq\f(eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→)),|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(eq\o(a,\s\up6(→))·eq\o(b,\s\up6(→)),|eq\o(a,\s\up6(→))|·|eq\o(b,\s\up6(→))|)＜0，∴∠BAC为钝角.4．B【解析】由平行的充要条件得eq\f(3,2)×eq\f(1,3)－sincos＝0，sin2＝1，2＝90，＝45.5．B【解析】eq\o(→,a)·eq\o(→,b)＝sinθ＋|sinθ|，∵θ∈(π，eq\f(3,2))，∴|sinθ|＝－sinθ，∴eq\o(→,a)·eq\o(→,b)＝0，∴eq\o(→,a)⊥eq\o(→,b)．6．Aeq\o(c,→)＝eq\o(a,→)＋eq\o(b,→)＝(6，－4＋2)，代入y＝sineq\f(π,12)x得，－4＋2＝sineq\f(,2)＝1，解得＝eq\f(5,2).7．C【解析】|eq\o(P1P2,\s\up6(→))|＝eq\r((2＋sinθ－cosθ)2＋(2－cosθ－sinθ)2)＝eq\r(10－8cosθ)≤3eq\r(2).8．D【解析】eq\o(→,a)＋eq\o(→,b)＝(cos＋cos,sin＋sin)，eq\o(→,a)－eq\o(→,b)＝(cos＋cos,sin－sin)，∴(eq\o(→,a)＋eq\o(→,b))·(eq\o(→,a)－eq\o(→,b))＝cos2－cos2＋sin2－sin2＝0，∴(eq\o(→,a)＋eq\o(→,b))⊥(eq\o(→,a)－eq\o(→,b))．9．C【解析】|eq\o(→,u)|2＝|eq\o(→,a)|2＋t2|eq\o(→,b)|2＋2teq\o(→,a)·eq\o(→,b)＝1＋t2＋2t(sin20cos25＋cos20sin25)＝t2＋eq\r(2)t＋1＝(t＋eq\f(eq\r(2),2))2＋eq\f(1,2)，|eq\o(→,u)|eq\o(2,min)＝eq\f(1,2)，∴|eq\o(→,u)|min＝eq\f(eq\r(2),2).10．C【解析】设BC的中点为D，则eq\o(→,AB)＋eq\o(→,AC)＝2eq\o(→,AD)，又由eq\o(→,OP)＝eq\o(→,OA)＋(eq\o(→,AB)＋eq\o(→,AC))，eq\o(→,AP)＝2eq\o(→,AD)，所以eq\o(→,AP)与eq\o(→,AD)共线，即有直线AP与直线AD重合，即直线AP一定通过△ABC的重心．二、填空题11．－eq\f(8eq\r(3),49)【解析】由eq\o(→,m)∥eq\o(→,n)，得－eq\f(1,2)sin＝2eq\r(3)cos,∴tan＝－4eq\r(3)，∴sin2＝eq\f(2sincos,sin2＋cos2)＝eq\f(2tan,tan2＋1)＝－eq\f(8eq\r(3),49)．12．eq\f(5eq\r(3),2)【解析】eq\o(→,OA)·eq\o(→,OB)＝－510coscos＋10sinsin＝－510cos(－)＝－5cos(－)＝－eq\f(1,2)，∴sin∠AOB＝eq\f(eq\r(3),2)，又|eq\o(→,OA)|＝2，|eq\o(→,OB)|＝5，∴S△AOB＝eq\f(1,2)×2×5×eq\f(eq\r(3),2)＝eq\f(5eq\r(3),2)．13．(－1，0)或(0，－1)【解析】设eq\o(\s\up6(→),n)＝(x，y)，由eq\o(\s\up6(→),m)·eq\o(\s\up6(→),n)＝－1，有x＋y＝－1①，由eq\o(\s\up6(→),m)与eq\o(\s\up6(→),n)夹角为eq\f(3π,4)，有eq\o(\s\up6(→),m)·eq\o(\s\up6(→),n)＝|eq\o(\s\up6(→),m)|·|eq\o(\s\up6(→),n)|coseq\f(3π,4)，∴|eq\o(\s\up6(→),n)|＝1，则x2＋y2＝1②，由①②解得eq\b\lc\{(\s(,))eq\s(x=﹣1,y=0)或eq\b\lc\{(\s(,))eq\s(x＝0,y＝－1)∴即eq\o(\s\up6(→),n)＝(－1，0)或eq\o(\s\up6(→),n)＝(0，－1)．三、解答题14．【解】(Ⅰ)由题意得eq\o(→,m)·eq\o(→,n)＝eq\r(3)sinA－cosA＝1，2sin(A－eq\f(,6))＝1，sin(A－eq\f(,6))＝eq\f(1,2)，由A为锐角得A－eq\f(,6)＝eq\f(,6)，A＝eq\f(,3).(Ⅱ)由（Ⅰ）知cosA＝eq\f(1,2)，所以f(x)＝cos2x＋2sinx＝1－2sin2x＋2sinx＝－2(sinx－eq\f(1,2))2＋eq\f(3,2)，因为x∈R，所以sinx∈[－1,1]，因此，当sinx＝eq\f(1,2)时，f(x)有最大值eq\f(3,2)．当sinx＝－1时，f(x)有最小值－3，所以所求函数f(x)的值域是[－3，eq\f(3,2)]．15．【解】(Ⅰ)由eq\o(→,m)∥eq\o(→,n)，得2sin2A－1－cosA＝0，即2cos2A＋cosA－1＝0，∴cosA＝eq\f(1,2)或cosA＝－1.∵A是△ABC内角，cosA＝－1舍去，∴A＝eq\f(,3).(Ⅱ)∵b＋c＝eq\r(3)a，由正弦定理，sinB＋sinC＝eq\r(3)sinA＝eq\f(3,2)，∵B＋C＝eq\f(2,3)，sinB＋sin(eq\f(2,3)－B)＝eq\f(3,2)，∴eq\f(eq\r(3),2)cosB＋eq\f(3,2)sinB＝eq\f(3,2)，即sin(B＋eq\f(,6))＝eq\f(eq\r(3),2)．16．【解】(Ⅰ)由eq\o(→,m)⊥eq\o(→,n)，得eq\o(→,m)·eq\o(→,n)＝0，从而(2b－c)cosA－acosC＝0，由正弦定理得2sinBcosA－sinCcosA－sinAcosC＝0∴2sinBcosA－sin(A＋C)＝0，2sinBcosA－sinB＝0，∵A、B∈(0，π)，∴sinB≠0，cosA＝eq\f(1,2)，故A＝eq\f(,3).(Ⅱ)y＝2sin2B＋2sin(2B＋eq\f(,6))＝(1－cos2B)＋sin2Bcoseq\f(,6)＋cos2Bsineq\f(,6)＝1＋eq\f(eq\r(3),2)sin2B－eq\f(1,2)cos2B＝1＋sin(2B－eq\f(,6)).由(Ⅰ)得，0＜B＜eq\f(2,3)，－eq\f(,6)＜2B－eq\f(,6)＜eq\f(7,6)，∴当2B－eq\f(,6)＝eq\f(,2)，即B＝eq\f(,3)时，y取最大值2.17．【解】（Ⅰ）假设eq\o(→,a)∥eq\o(→,b)，则2cosx(cosx＋sinx)－sinx(cosx－sinx)＝0，∴2cos2x＋sinxcosx＋sin2x＝0，2·eq\f(1＋cos2x,2)＋eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(1－cos2x,2)＝0，即sin2x＋cos2x＝－3，∴eq\r(2)(sin2x＋eq\f(,4))＝－3，与|eq\r(2)(sin2x＋eq\f(,4))|≤eq\r(2)矛盾，故向量eq\o(→,a)与向量eq\o(→,b)不可能平行．（Ⅱ）∵f(x)＝eq\o(→,a)·eq\o(→,b)＝(cosx＋sinx)·(cosx－sinx)＋sinx·2cosx＝cos2x－sin2x＋2sinxcosx＝cos2x＋sin2x＝eq\r(2)(eq\f(eq\r(2),2)cos2x＋eq\f(eq\r(2),2)sin2x)＝eq\r(2)(sin2x＋eq\f(,4))，∵－eq\f(,4)≤x≤eq\f(,4)，∴－eq\f(,4)≤2x＋eq\f(,4)≤eq\f(3,4)，∴当2x＋eq\f(,4)＝eq\f(,2)，即x＝eq\f(,8)时，f(x)有最大值eq\r(2)；当2x＋eq\f(,4)＝－eq\f(,4)，即x＝－eq\f(,4)时，f(x)有最小值－1．18．解：(Ⅰ)由题意得，，所以，的最大值为，最小正周期是.（Ⅱ）由得，即，于是，．因为为整数，要使最小，则只有，此时即为所求．19．解：（Ⅰ）若，则，由此得：，所以，．（Ⅱ）由得：当时，取得最大值，即当时，的最大值为．