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浅谈函数奇偶性的判定及其应用

浅谈函数奇偶性的判定及其应用浅谈函数奇偶性的判定及其应用　　奇函数和偶函数是函数的一种特殊性质，也可以说是一种特殊的函数，我们可以利用函数的这一特性解决生产、生活中很多实际问题。　　一、奇函数和偶函数的定义与图像特征　　1.奇、偶函数的定义：设函数Y=f（x），x∈M，若定义域M是以原点为中心的对称区间，则有对一切x∈M，①有f（-x）=-f（x），则称函数f（x）是奇函数；②有f（-x）=f（x），则称函数f（x）是偶函数。③函数的定义M不关于原点对称，则这个函数既不是奇函数也不是偶函数。　　2.奇、偶函数的图像特征　　奇函数的图像特征是关...

浅谈函数奇偶性的判定及其应用　　奇函数和偶函数是函数的一种特殊性质，也可以说是一种特殊的函数，我们可以利用函数的这一特性解决生产、生活中很多实际问题。　　一、奇函数和偶函数的定义与图像特征　　1.奇、偶函数的定义：设函数Y=f（x），x∈M，若定义域M是以原点为中心的对称区间，则有对一切x∈M，①有f（-x）=-f（x），则称函数f（x）是奇函数；②有f（-x）=f（x），则称函数f（x）是偶函数。③函数的定义M不关于原点对称，则这个函数既不是奇函数也不是偶函数。　　2.奇、偶函数的图像特征　　奇函数的图像特征是关于原点对称；偶函数的图像特征是关于Y轴对称。　　二、判断函数奇、偶性的方法　　1.利用奇、偶函数的定义判断　　先检查函数的定义域是否以原点对称，若不是，则函数为非奇非偶函数；若是，再由定义判断其是否是奇、偶函数。　　例1：判断下列函数的奇偶性　　①f（x）=-3x+x-3②f（x）=|x-1|　　解：①f（x）的定义域为R关于原点为称　　f（-x）=-3（-x）+（-x）-3=-（-3x+x-3）　　∴f（-x）=-f（x）∴f（x）奇函数　　②f（x）的定义域为（-∞，+∞），关于原点对称　　f（-x）=|-x-1=|x+1|　　∴f（-x）≠f（x），f（-x）≠-f（x），∴f（x）是非奇非偶函数　　2.利用奇、偶函数的图像特性判断　　例2：根据下列图像判断函数奇、偶性　　图1　　图2　　图3　　图4　　解：（1）函数的定义域为（-5，5），关于原点对称，图像也关于原点对称，　　∴函数是奇函数。　　（2）函数的定义域为[-5，5]，关于原点对称，但图像不关于原点中心对称，如f（1）≠-f（-1）；也不关于Y轴对称，如f（-5）≠f（5）　　∴函数是非奇非偶函数　　（3）函数的定义域为[-5，5]，关于原点对称，图像关于Y轴对称，∴函数是偶函数。　　（4）函数的定义域为[-5，5]，关于原点对称，但图像不关于原点中心对称，如f（1）≠-f（-1）；也不关于Y轴对称，如f（-3）≠f（3）　　∴函数是非奇非偶函数　　由此可知，奇函数的图像关于原点对称，反之也成立；偶函数的图像关于Y轴对称，反之也成立。　　3.复合函数的奇、偶性判断　　我们可以利用复合函数形成的原理，把复合函数拆分成几个初等函数相加、减、或乘就行了。　　例3：己知y=f（x）在定义域上R上是偶函数，y=g（x）在定义域上是偶函数，　　求证：F（x）=f（x）.g（x）是偶函数　　证明：任取x∈R，则-x∈R　　∵f（x）、g（x）是偶函数　　∴f（-x）=f（x），g（-x）=g（x）　　∴F（-x）=f（-x）.g（-x）=F（x）　　∴F（x）在R上是偶函数　　同理可证：①奇函数与奇函数之和为奇函数；偶函数与偶函数之和为偶函数；奇　　偶函数之和为非奇非偶函数。②奇函数之积为偶函数；偶函数之积为偶函数；奇偶函数之积为奇函数。　　例4：判断下列函数的奇偶性　　①f（x）=x5+sinx②f（x）=x5sinx　　解：①∵x5是奇函数，sin（-x）=sinx是奇函数，∴f（x）是奇函数　　②∵x5是奇函数，sinx也是奇函数，∴f（x）是偶函数。　　4.分段函数奇偶性的判断　　例5：己知函数f（x）=判断函数f（x）的奇偶性并证明　　证明：①当x>0，f（x）=4x-x2则-x<0　　∴f（-x）=-（4x-x2）∴f（-x）=-f（x）　　②当x0　　∴f（-x）=-（4x+x2）∴f（-x）=-f（x）　　③当x=0时，f（0）=0，f（-0）=0=-f（0）　　综上所述，对x∈R总会有f（-x）=-f（x）所以f（x）是奇函数。　　由本题可知，分段函数判断奇偶性的过程很复杂，首先要特别注意，x与-x的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，f（x）与f（-x）对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较；另外要就x>0、x=0、x<0三种情况分别证明都满足奇、偶函数的定义，才算全面证完。　　三、奇、偶函数的应用　　1.利用函数的奇偶性求函数值　　例6：设f（x）是R上的偶函数，若f（3）=2，则f（3）=2　　设f（x）是R上的奇函数，若f（1）=7，则f（-1）=-7　　2.利用函数奇偶性求函数的单调性　　例7：己知偶函数f（x）在[0，+∞）上是减函数，比较f（-π）、f（3）、f（-）的大小　　解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上是减函数　　∴f（-π）=f（π），f（-）=f（）　　而π>3>∴f（π）总结判断和应用函数奇偶性的技巧，从而提高学生的学习兴趣，将复杂的问题简单化。更重要的是能学以致用，将来走向社会能将所学的知识用于生产、生活中解决更多的实际性的问题，从而提高工作效率，为社会做出贡献。　　【参考文献】　　[1]袁成荣.关于奇函数和偶函数.大庆高等专科学校学报.　　[2]马秀虹.判断函数奇偶性的技巧和应用.现代阅读.　　【作者简介】江赛?n，湖南，女，1968年生，工作于江苏城市职业学院南通校区（南通广播电视大学），长期从事数学教学工作。

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