PAGE\*MERGEFORMAT#/7四边形中的旋转、折叠问题例题：如图，在直角坐标系中放入一个边长0C为9的矩形纸片ABC0将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B',折痕为CE已知tan/0B(1)求B'点的坐标;(2)求折痕CE所在直线的解析式.例题：（1）如图①，厂ABCD的对角线AC0分别交ADBC于点E、F设FB交CD于点G,ABi分别交CDDE于点HI。BD交于点0。EF过点0的直线EF折叠，点A落在点Ai处，点B落在点B处。求证：EI=FG。C国②例题：（2012?德州）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H,折痕为EF,连接BP、BH.（1）求证：/APB2BPH（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化并证明你的结论；（3）设AP为x,四边形EFGP的面积为S,求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由.（备屈图）(2012?南宁)如图，已知矩形纸片ABCDAD=2AB=4.将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB,CD交于点GF,AE与FG交于点0.如图1，求证：A,G,E,F四点围成的四边形是菱形；如图2，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点；如图2，在(2)的条件下，求折痕FG的长.解：(1)由折叠的性质可得，GA=GE/AGFMEGF,•••DC/AB•••/EFGMAGF•••/EFGMEGF•EF=EG=AG•四边形AGEF是平行四边形(EF/AGEF=AG,又•AG=GE•四边形AGEF是菱形.(2)连接ON图2△AED是直角三角形，AE是斜边，点0是AE的中点，△AED的外接圆与BC相切于点N,ONLBC•点0是AE的中点，ON是梯形ABCE的中位线，•••点N是线段BC的中点.(3)作OMLAD在矩形ABCD中，/C=ZD=90,故AE为厶AED的外接圆的直径.延长MO交BC于点N,贝UONCD•••四边形MNC是矩形，•••MN=CD=4•••ON=MNMOV_x,2•••△AED的外接圆与BC相切，•0”是厶AED的外接圆的半径,••0E=0N=4—x,AE=8-x,2在Rt△AED中，AD+dE=A占,c222•2+x=(8-x),得x=DE冷,0E=4-的位置，则点B'C'B'的坐标为（•丄」II•」解得：2,•FG=2F0」.15故折痕FG的长是「.15对应练习1.（2012?泰安）如图，在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,对角线AC的垂直平分线分别交ADAC于点E、0,连接CE,则CE的长为（）顶点A在x轴上，/B=120,0A=2将菱形0ABCPAGE\*MERGEFORMAT#/73.（2012?泰安）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB=2,BC=3则厶FCB与厶B'DG的面积之比为（）4.如图，矩形ABC呼，E是AD的中点,将厶ABE沿BE折叠后得到△GBE延长BG交CD于F点，若CF=1,FD=2,则BC的长为5.矩形纸片ABCD勺边长AB=4,AD=2将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为（）（
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82页）（2010山东潍坊）如图，直角梯形ABCDKAB丄BC,AD//BC,BOAD,AD=2,AB=4,点E在AB上，将△CBE沿CE翻折，使B点与D点重合，则/BCE的正切值是.（89页）梯形中的对角线（88页）8..如图，将正方形对折后展开（图④是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形，且它的一条直角边等于斜边的一半.这样的图形有【】(B)3个(C)2个(D)1个(A)4个9如图所示，把一长方形纸片沿,C'的位置.若/AMD=36则/NMI等于(A)144°(B)126°MN折叠后，点D,C分别落在D(C)108(第10(D)7210.一副三角板按图1所示的位置摆放•将厶DEF绕点A（F）逆时针旋转60°后（图2）,测得则两个三角形重叠（阴影）部分的面积为E2（A）75cmCGIOcm,(2525.3)cm?25l2(25一J3)cm350l(25一3)cm3EB(F)如图（1），易证EG=CG且EGLCG.（第8题）例题：在正方形ABCD的边AB上任取一点图,1作EF丄AB交BD于点F,|图FD的中点G连结EGCQ（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°,如图（2）,则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系请直接写出你的猜想（2）将厶BEF绕点B逆时针旋转180°,如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系请写出你的猜想，并加以证明.(2(2解(1)EG=CGEGLCG(2)EG=CGEGLCG证明：延长FE交DC延长线于M连MG•••/AEM=90，/EBC=90，/BCM=90•••四边形BEMC1矩形.•••BE=CIMZEMC=90又•••BE=EF•EF=CM•••/EMC=90,FG=DGFD=FG•••MG=•/BC=EM,BC=CDEM=CD•/EF=CMFM=DM•••/F=45°又FG=DG•••/CMG=/EMC=45•••/F=ZGMC•△GFE^AGMC•EG=CG,/FGE=ZMGC(2分）•••/FMC=90,MF=MDFG=DG•MGLFD•••/FGE+ZEGM=9°0•••/MGC乂EGM=90即/EGC=90EG丄PAGE\*MERGEFORMAT#/7CG（2分）
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