比例、黄金分割、平行线分线段成比例定理

黄金分割及平行线分线段成比例一、黄金分割黄金分割ACBC如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果ABAC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点.AC与AB的比叫做黄金比.黄金比黄金比值的求法：ACBCACABAC因为ABAC,且BC=AB—AC,所以ABAC~AB竺4解得AC=2，或ACP.618AB，即得黄金比AB2或0.618求作黄金分割点求已知线段AB的黄金分割点。方法一：如图-AB21、经过点B作BD丄AB，且BD=2、连接AD，在DA上截取DE=DB.3、在AB上截取AC=AE,所以点C是线段AB的黄金分割点.、、5、•5135理由：设AB=1，贝VBD=1/2,AD=2,AC=2,BC=2ACBC1所以ABAC2，所以点C是线段AB的黄金分割点.方法二：如图1、在线段AB上作正方形ADCB2、取AD的中点E,连接EB.3、延长DA至F，使EF=EB.以线段AF为边作正方形AFGH.所以点H是线段AB的黄金分割点.理由：设AB=1,则AE=2，所以BE513、5tAF2=AH,BH=2AHHB所以ABAH•512，所以点H是线段AB割点.方法三：如图的黄金分1、以AB为腰作等腰△ABD，使/A=362、作ZADB的角平分线交AB于点C所以，点C是线段AB的黄金分割点.理由：作图的理由在本章学完就知道，对这一基本图形我们将会非常熟悉，此等腰三角形叫做黄金三角形AB•51例1:如图所示，矩形ABCD是黄金矩形（即BC=2~0.618）,如果在其内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE，试问矩形ABFE是否也是黄金矩形?例2:以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P,连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，如图所示,(1)求AM,DM的长，(2)试说明AM2=ADDM(3)根据(2)的结论，你能找出图中的黄金分割点吗?练习题一、请你填一填III(1)如图，若点P是AB的黄金分割点，则线段AP、PB、AB满足关系式即AP是与■勺比例中项.(2)黄金矩形的宽与长的比大约为(精确到0.001).(3)如果线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中a=2cm,b=4cm,c=5cm,贝Ud=cm.(4)已知O点是正方形ABCD的两条对角线的交点，贝UAO:AB:AC=.二、认真选一选1、有以下命题：①如果线段d是线段a,b,c的第四比例项，则有旦-bd如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB、BC的比例中项如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC,那么AC是AB与BC的比例中项如果点C是线段AB的黄金分割点，AC>BC，且AB=2，则AC=、5—1其中正确的判断有()A.1个B.2个C.3个D.4个2、已知P为线段AB的黄金分割点，且APVPB,^U()A、AP2ABPB；B、AB2APPB；C、PB2APAB；D、AP2BP2AB23、•已知点M将线段AB黄金分割(AM>BM),则下列各式中不正确的是()A.AM:BM=AB:AMB.AM=..512ABC.BM=D.AM~0.618ABA.1个B.2个C.3个D.4个4、已知P、Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB=10cm，贝UPQ长为()A、5(.51)B、5(，51)C、10(.52)D、5(35)三、好好想一想1、已知点C是线段AB的黄金分割点AC=555，且AC>BC,求线段AB与BC的长。2、E、F为线段AB的黄金分割点，已知AB=10cm，求EF的长度.AABv'513、如果一个矩形ABCD(ABvBC)中，~0.618，那么这个BC2矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感.在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF,得到一个小矩形ABFE(如图1)，请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性.二、平行线分线段成比例知识梳理平行线分线段成比例定理及其推论平行线分线段成比例定理如下图，如果h//l2//I3，则BCEFABDEABACDF，DEDF平行线分线段成比例定理的推论:如图，在三角形中，如果DE〃BC，则ABAEACDEBC平行的判定定理：如上图，如果有JAD生，那么de//BCABACBC专题讲解专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】如图，DE//BC，且DBAE若AB5，AC10，求AE的长。A111【例2】如图，已知AB//EF//CD，若ABa，CDb，EFc，求证：——cab【巩固】如图，ABBD，CDEFBD，垂足分别为B、D，AC和BD相交于点E，BD，垂足为F.证明:11ABCD1EF【巩固】如图，找出Sabd、Sbed、Sbcd之间的关系，并证明你的结论FD【例3】如图，在梯形ABCD中，AB//CD,AB12,CD9，过对角线交点0作EF//CD交AD,BC于E,F，求EF的长。【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，ADa，BCb，E，F分别是AD，BC的中点，AF交BE于P，CE交DF于Q，求PQ的长。C1—AB4连接EM并延长，交BC的延长线于D，则BCCD（2）如图（2），已知ABC中，AE:EB1:3，BD:DCEFAF，亠则FCfd的值为（5A.22:1，AD与CE相交于F，B.13C.2专题二、定理及推论与中点有关的问题【例4】（2007年北师大附中期末试题）（1）如图（1），在ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，且AE【例5】（2001年河北省中考试题）如图，在ABC中,D为BC边的中点，E为AC边上的任意一点,BE交AD于点O.(1)当AEAC-时，求A0的值。（2）当生-、丄时，求A0的值;2ADAC34AD（3）试猜想ACn^时A0的值，并证明你的猜想【例6】（2003年湖北恩施中考题）如图，AD是ABC的中线，点E在AD上,是BE延长线与AC的交点.（1）如果E是AD的中点，求证:AFFC（2）由（1）知，当E是AD中点时,AFFCilf成立，若E是AD上任意一点（E与A、D不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由A【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BEAC，延长BE交AC于F。求证：AFEF。【例7】（宁德市中考题）如图,ABC中，d为BC边的中点，延长AD至E，延长AB交CE的延长线于P。若AD2DE，求证：AP3ABA【巩固】（济南市中考题；安徽省中考题）如图,A别是AB,AC的中点，贝UD1E1—a；2ABC中，BCa，若D—，E—分Aaa-21』若DjE2分别是D—B、E—C的中点，贝UD2E2若D3、E3分别是D2B、E2C的中点'则D3E3昇…8a；若Dn、En分别是Dn-iB、En“C的中点，贝UQ巳专题三、利用平行线转化比例【例8】如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点0，直线I平行于BD，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P.求证：PMPNPRPS【巩固】已知，如图，四边形ABCD，两组对边延长后交于E、F，对角线BDIIEF，AC的延长线交EF于G.求证：EGGF.【例9】已知：P为ABC的中位线MN上任意一点,边AC、AB于D、E，求证:ADDCEBBP、CP的延长线分别交对MEDN【例10】在ABC中，底边BC上的两点E、F把BC三等分，BM是AC上的中线，AE、AF分别交BM于G、H两点，求证：BG:GH:HM5:3:2【例11】如图，M、N为ABC边BC上的两点，且满足BMMNNC，一条平行于AC的直线分别交AB、AM和AN的延长线于点D、E和F.求证：EF3DE.【例12】已知：如图，在梯形ABCD中，AB//CD，M是AB的中点，分别连接AC、BD、MD、MC，且AC与MD交于点E，DB与MC交于F.（1）求证：EF//CD（2）若ABa,CDb，求EF的长【巩固】如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AD3，BC9，AB6,CD4，若EF//BC，且梯形AEFD与梯形EBCF的周长相等，求EF的长【例13】（山东省竞赛题）如图，YABCD的对角线相交于点0，在AB的延长线上任取一点E，连接0E交BC于点F，若ABa，ADc，BEb,求BF的值。DC【例14】已知等腰直角ABC中，E、D分别为直角边BC、AC上的点，且CECD，过e、D分别作AE的垂线，交斜边AB于L，K.求证：BLLK.【习题1】如已知DEIIAB，OA2OCOE，求证：AD//BC.【习题2】在ABC中，BDCE，DE的延长线交BC的延长线于P，A求证：ADBPAECP.【习题3】如图，在ABC的边AB上取一点D，在AC取一点E，使ADAE,直线DE和BC的延长线相交于P,求证：C|BE