高中数学课件_第六章_第四节_《基本不等式》

1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 .1.基本不等式2.几个重要的不等式3.算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的不小于其.算术平均数几何平均数4.利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则：(1)如果积xy是定值P，那么当且仅当时，x＋y有值是(简记：积定和最小).(2)如果和x＋y是定值P，那么当且仅当时，xy有值是(简记：和定积最大).x＝y小x＝y最大[思考探究]　　在利用基本不等式求最值时，应注意哪些方面？提示：利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正、二定、三相等”.“一正”即公式中a、b必须是正数，“二定”即必须有定值(和为定值或积为定值)，“三相等”即公式中的等号必须成立，必要时要合理拆分项或配凑因式，以满足上述三个条件.1.已知ab≠0，a，b∈R，则下列式子总能成立的是(　　)A.≥2　　　　　　B.≥－2C.≤－2D.||≥2解析：选项A、B、C中不能保证为正. 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ：D2.已知f(x)＝x＋－2(x>0)，则f(x)有(　　)A.最大值为0B.最小值为0C.最大值为2D.最小值为2解析：∵x>0，∴f(x)＝x＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝，即x＝1时，“＝”成立.答案：B3.下列函数中，y的最小值为4的是(　　)A.y＝x＋B.y＝(x∈R)C.y＝ex＋4e－xD.y＝sinx＋(0＜x＜π)解析：对于A，当x＜0时，最小值不存在且y＜0；B中y＝＝2≥4，当且仅当x2＋2＝1时等号成立，这样的实数x不存在，故y＝(x∈R)取不到最小值4；同理对于D，等号成立的条件为sin2x＝4，这也是不可能的；只有C，y＝ex＋4e－x≥4，当且仅当ex＝2，即x＝ln2时等号成立，函数有最小值4.答案：C4.若a＞b＞1，P＝，Q＝(lga＋lgb)，R＝lg()，则P，Q，R的大小关系为　　　　.解析：∵a＞b＞1，∴＞，∴lg＞(lga＋lgb)，又∵(lga＋lgb)＞，∴R＞Q＞P.答案：R＞Q＞P5.若直线ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)平分圆x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0，则的最小值为　　　　.解析：由x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0得(x＋4)2＋(y＋1)2＝16，∴设圆的圆心坐标为(－4，－1)，∴－4a－b＋1＝0，即4a＋b＝1，∴由1＝4a＋b≥2＝4，得ab≤，∴≥16，∴的最小值为16.  答案：161.创设应用基本不等式的条件(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值.(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 .2.基本不等式的集中变形公式对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种常见的变形形式及公式的逆运用等.如(1)设0＜x＜2，求函数y＝的最大值；(2)求＋a的取值范围；(3)已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，求的最小值.[思路点拨][课堂笔记]　(1)∵0＜x＜2，∴0＜3x＜6,8－3x＞2＞0，∴y＝≤＝＝4，当且仅当3x＝8－3x，即x＝时，取等号.∴当x＝，y＝的最大值是4.(2)显然a≠4，当a＞4时，a－4＞0，∴＋a＝＋(a－4)＋4≥2＋4＝2＋4，当且仅当＝a－4，即a＝4＋时，取等号；当a＜4时，a－4＜0，∴＋a＝＋(a－4)＋4＝－[＋(4－a)]＋4≤－2＋4＝－2＋4，当且仅当＝(4－a)，即a＝4－时，取等号.∴＋a的取值范围是(－∞，－2＋4]∪[2＋4，＋∞).(3)∵x＞0，y＞0，且x＋y＝1，∴＋＝()(x＋y)＝10＋≥10＋2＝18.当且仅当，即x＝2y时等号成立，∴当x＝，y＝时，有最小值18.若x∈[0,1]，求函数y＝的最大值.解：由例1(1)的解答知，当x∈[0,1]时，函数的最大值不能用基本不等式.∵y＝(x∈[0,1])，∴函数在[0,1]上单调递增.∴ymax＝.　利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，是指从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.[特别警示]　证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，要注意每次等号是否都成立，同时也要注意基本不等式的变形形式的应用.已知a>0，b>0且a＋b＝1.求证：(1)≥4；(2)≤2.[思路点拨][课堂笔记]　(1)∵a>0，b>0，且a＋b＝1.∴≥2＋2＝4.当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立.∴原不等式成立.(2)∵a>0，b>0，且a＋b＝1.∴原不等式⇔≤4⇔a＋b＋1＋2≤4⇔2＋2≤4⇔≤1⇔≤1⇔ab＋(a＋b)＋≤1⇔ab＋×1＋≤1⇔ab≤.∵a>0，b>0，∴1＝a＋b≥2(当且仅当a＝b＝时取等号).∴ab≤.故原不等式成立.应用基本不等式解决实际问题的步骤是：(1)仔细阅读题目，透彻理解题意；(2)分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示其他的变量，把要求最值的变量设为函数；(3)应用基本不等式求出函数的最值；(4)还原实际问题，作出解答.[特别警示]　(1)解应用题时，一定要注意变量的实际意义，即其取值范围.(2)在求函数最值时，除应用基本不等式外，有时会出现基本不等式取不到等号，此时可利用函数的单调性解决.(2009·湖北高考)围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙总费用为y(单位：元).(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.[思路点拨][课堂笔记]　(1)如图，设矩形的另一边长为am，则y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＝225x＋360a－360.由已知xa＝360，得a＝，所以y＝225x＋－360(x＞0).(2)∵x＞0，∴225x＋≥2＝10800.∴y＝225x＋－360≥10440.当且仅当225x＝时，等号成立.即当x＝24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元. 　以选择题或填空题的形式考查基本不等式在求最值中的应用，是高考对本节内容的常规考法.近几年高考中多次出现应用基本不等式求最值的应用题，如09年湖北、江苏高考，符合新课标对学生应用所学知识分析解决实际问题能力的要求，仍是今后高考对本节内容的一个考查方向.　[考题印证](2009·江苏高考)(12分)按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为h1和h2，则他对这两种交易的综合满意度为现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为mA元和mB元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙.(1)求h甲和h乙关于mA、mB的表达式；当mA＝mB时，求证：h甲＝h乙；(2)设mA＝mB，当mA、mB分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为h0，试问能否适当选取mA、mB的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由.【解】　设mA＝x，mB＝y.(1)甲买进产品A的满意度：h1甲＝；甲卖出产品B的满意度：h2甲＝；甲买进产品A和卖出产品B的综合满意度：h甲＝；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(3分)同理，乙卖出产品A和买进产品B的综合满意度：h乙＝┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(4分)当x＝y时，故h甲＝h乙.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(6分)(2)当x＝y时，由(1)知h甲＝h乙＝，因为，且等号成立当且仅当y＝10时成立.当y＝10时，x＝6.因此，当mA＝6，mB＝10时，甲、乙两人的综合满意度均最大，且最大的综合满意度为.┄┄┄(8分)(3)由(2)知h0＝.因为h甲h乙＝＝┄┄┄┄┄(10分)所以，当h甲≥，h乙≥时，有h甲＝h乙＝.因此，不能取到mA，mB的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0同时成立，但等号不同时成立.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(12分)　[自主体验]某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元.(1)求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少？(2)若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时其价格可享受八五折优惠(即为原价的85%).问该厂是否可以考虑利用此优惠条件？请说明理由.解：(1)设该厂应隔x(x∈N＋)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y1.∵饲料的保管与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，∴x天饲料的保管与其他费用共是6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝3x2－3x(元).从而有1y＝(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝＋3x＋357≥417.当且仅当＝3x，即x＝10时，y1有最小值.即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.(2)若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔x天(x≥25)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y2，则y2＝(3x2－3x＋300)＋200×1.8×0.85＝＋3x＋303(x≥25).∵y2′＝－＋3，∴当x≥25时，y2′＞0，即函数y2在[25，＋∞)上是增函数，∴当x＝25时，y2取得最小值为390.而390＜417，∴该厂可以接受此优惠条件.1.下列结论正确的是(　　)A.当x＞0且x≠1时，lgx＋≥2B.当x>0时，＋≥2C.当x≥2时，x＋的最小值为2D.当00，≥2＝2，当且仅当，即x＝1时，等号成立.答案：B2.(2009·天津高考)设x，y∈R，a＞1，b＞1.若ax＝by＝3，a＋b＝2，则的最大值为(　　)A.2　　　　　　　　　　　B.C.1D.解析：∵ax＝by＝3，∴x＝loga3，y＝logb3，∴＝log3a＋log3b＝log3ab≤log3＝log33＝1.答案：C3.已知x>0，y>0，lg2x＋lg8y＝lg2，则的最小值是(　　)A.2B.2C.4D.2解析：因为x>0，y>0，且lg2x＋lg8y＝lg2，所以x＋3y＝1，于是有＝(x＋3y)()＝2＋()≥4.答案：C4.已知0＜x＜，则函数y＝5x(3－4x)的最大值为　　.　解析：因为0＜x＜，所以－x＞0，所以y＝5x(3－4x)＝20x(－x)≤20当且仅当x＝－x，即x＝时等号成立.答案：5.(2010·忻州模拟)设x，y，z为正实数，满足x－2y＋3z＝0，则的最小值是　　　　.解析：由x－2y＋3z＝0得y＝，代入得＝3，当且仅当x＝3z时取“＝”.答案：36.某学校拟建一块周长为400m的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 矩形的长和宽？解：设矩形的长为xm，半圆的直径是d，中间的矩形区域面积为Sm2.由题知：S＝dx，且2x＋πd＝400.∴S＝(πd)(2x)当且仅当πd＝2x＝200，即x＝100时等号成立.此时，d＝答：设计矩形的长为100m，宽约为63.7m时，矩形面积最大.