勾股定理
知识点
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汇总一、基础知识点：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方―I;表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2b2c2•勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4S鼻方形EFGHS正方形abcd，4—ab（ba）2c2，化简可证.方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S1224abc2abc2所以a2b22c大正方形面积为S(ab)2方法三:S弟形22a2abb2（ab）（a叭％形2SADESaBE士*2，化简得证a2b2c2ba•勾股定理的适用围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，和钝角三角形的三边就不具有这一特征。•勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC中,ac^V知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定理解决一些实际问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a,b,c满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时，以a,b,c为三边的三角形是直角三角形；若a2b2c2，时，以三，b，三为三边的三角形是钝角三角形：若a2b2c2，时，以上，卫，上为三边的三角形是锐角三角形；定理中a,b,c及a2b2c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a,b,c满足222acb,那么以a,b,c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边•勾股数满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有：(3,4,5)(5,12,13)(6,8,10)(7,24,25)(8,15,17)(9,12,15)③用含字母的代数式表示n组勾股数：n21,2n,n21（n2,n为正整数）；2n1,2n22n,2n22n1（n为正整数）m2n2,2mn,m2n2（mn,m,n为正整数）勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形,―以便正确使用勾股定理进行求解.8.勾股勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.9•勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决.常见图形：10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。经过证明被确认正确的命题叫做定理如果一个定理的的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理考点剖析考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆.如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系.3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S、S、则它们之间的关系是（）A.S1-S2=S3S1+S2=S3S2+S3
1）,那么它的斜边长是（)22A、2nBn+1C、n—1D、n1A.a已知三角形三边的比为1:3:2,则其最小角为。b2c2B.a2c2b2C.c2b2a2D.以上都有可能TOC\o"1-5"\h\z8、已知Rt△ABC中，/C=90°,若a+b=14cmc=10cm,则Rt△ABC的面积是()2222A、24cmB36cmc、48cmD60cm9、已知x、y为正数，且|x2-4I+(y2-3)2=0,如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为()A、5B、25C7D、15考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高例、如图1所示，等腰中，，是底边上的高，若.求①AD的长；②厶ABC的面积.考点四：勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是A.4,5,6B.2,3,4C.11,12,132、若线段a,b,c组成直角三角形，则它们的比为(A、2:3:4B、3:4:6C、5：12：133、下面的三角形中：①厶ABC中，/C=ZA-ZB;④厶ABC中，三边长分别为8,A.1个B.2个D.8)D),15,17②厶ABC中，/A:ZB:15,17.其中是直角三角形的个数有C.3个D.4个C=1:2:3;③厶ABC中，a:b:c=3:4：5;).若三角形的三边之比为邑:1:1，则这个三角形一定是2V2A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形已知a,b,cABC三边，且满足(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,则它的形状为(A.直角三角形B.等腰三角形将直角三角形的三条边长同时扩一倍数A.钝角三角形B.锐角三角形C.等腰直角三角形,得到的三角形是(C.直角三角形D.不等边三角形)D.等腰三角形或直角三角形D.若厶ABC的三边长a,b,c满足a2b22c20012a16b)等腰三角形20c,试判断△ABC的形状。8、△ABC的两边分别为5,12，另一边为奇数，且a+b+c是3的倍数，贝Uc应为，此三角形为。例3:求若三角形三条边的长分别是7,24,25，则这个三角形的最大角是度。考点五：应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题AB段楼梯所铺地毯的长度应某楼梯的侧面视图如图3所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在为,面积为考点六、利用列方程求线段的长（方程思想）1、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现2、一架长2.5m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将向左滑动米3、如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离1米，（填“大于”，“等于”，或“小于”）4、在一棵树10m高的B处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m处的池塘A处；？另外一只爬到树顶D处后直接跃到A外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？mm计算两圆孔中心A和B5、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位:的距离为6、如图：有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了米.7、如图所示，某人到一个荒岛上去探宝，在A处登陆后，往东走8km,又往北走2km,遇到障碍后又往西走3km,再折向北方走到5km处往东一拐，仅1km?就找到了宝藏，问：登陆点（A处）到宝藏埋藏点（B处）的直线距离是多少？8米8米第6题图考点七：折叠问题1、如图,连接DEA.254有一直角三角形纸片，两直角边AC=6BC=8将厶ABC折叠，使点C落在A边上上的点E,折痕为AD,则CD等于（B.?23)C.7D.342、如图所示，已知△ABC中，/C=90°,AB的垂直平分线交BC?于M,交AB于N,若AC=4,MB=2MC求AB的长.B3、折叠矩形ABCD勺一边AD,点D落在BC边上的点F处，已知AB=8CM,BC=10CM求CF和EG4、如图，在长方形ABCD中,DC=5在DC边上存在一点E,沿直线人丘把厶ABC折叠，使点D恰好在BC边上，设此点为卩，若厶ABF的面积为30,求折叠的厶AED的面积5、如图，矩形纸片ABCD的长AD=9cm,宽AB=3叫将其折叠，使点D与点F重合，那么折叠后DE的长是多少?6、如图，在长方形ABCD中，将ABC沿AC对折至AEC位置，CE与AD交于点F。(1)试说明：AF=FC(2)如果AB=3,BC=4,求AF的长7、如图2所示，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D正好落在BC边上F点处，已知CE=3cmAB=8cm则图中阴影部分面积为.8、如图，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C'的位置上，已知AB=?3,BC=7,重合部分厶EBD的面积为.C点与A点重合，？则折叠后痕迹EF的长为2-59、如图5,将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E,交BC于F,边AB折叠后与BC边交于点G如果M为CD边的中点，求证：DEDMEM=34:5。10、如图2-5，长方形ABCD中,AB=3BC=4若将该矩形折叠，使()A.3.74B.3.75C.3.76D.3.7711、如图1-3-11,有一块塑料矩形模板ABCD长为10cm,宽为4cm,将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上(不与AD重合)，在AD上适当移动三角板顶点P:能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C?若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B,另一直角边PF与DC的延长线交于点Q,与BC交于点E,能否使CE=2cm若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由12、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=ACD是斜边BC的中点，E、F分别是ABAC边上的点，且DELDF,若BE=12CF=5.求线段EF的长。13、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且/QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？考点八：应用勾股定理解决勾股树问题1、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5,则正方形A,B,C,D的面积的和为2、已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD再以Rt△ACD勺斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是.考点九、图形问题1、如图1,求该四边形的面积2、如图2，已知，在△ABC中，/A=45°,AC=2,AB=3+1，则边BC的长为3、某公司的大门如图所示,其中四边形ABCD是长方形，上部是以AD为直径的半圆，其中AE=2.3m,BC=2m,现有一辆装满货物的卡车，高为2.5m,宽为1.6m，问这辆卡车能否通过公司的大门？并说明你的理由4、将一根长24cm的筷子置于地面直径为5cm,高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为hcm,则h的取值围。5、如图，铁路上AB两点相距25kmC、D为两村庄，DA?垂直AB于A,CB垂直AB于B,已知AD=15kmBC=10km现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E,使得C、D两村到E站的距离相等，则E站建在距A站多少千米处？考点十：其他图形与直角三角形如图是一块地，已知AD=8mCD=6m/D=90°,AB=26m考点十一：与展开图有关的计算1、如图，在棱长为1的正方体ABC—A'B'CD'的表面上，求从顶点A到顶点C'的最短距离.2、如图一个圆柱，底圆周长6cm,高4cm,—只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点,则最少要爬行cm3、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点，现
计划
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在四个村庄联合架设一条线路，他们
设计
领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计
了四种架设
方案
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，如图实线部分•请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线.考点十二、航海问题1、一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距海里.2、如图，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上。该货船航行30分钟到达B处，此时又测得该岛在北偏东30。的方向上，已知在C岛周围9海里的区域有暗礁，若继续向正向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。3、如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=100km那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时撤离才可脱离危险？考点十三、网格问题1、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（.31,则厶ABC是（）D.以上答案都不对ABCD勺面积是（）A.0B•1C•2D2、如图，正方形网格中的△ABC若小方格边长为A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形3、如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形A.25B.12.5C.9D.8.54、如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是三角形：1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画使三角形的三边长分别为3、-、8、...5（在图甲中画一个即可）；使三角形为钝角三角形且面积为4（在图乙中画一个即可）.培优题一、选择题1.一等腰三角形底边长为A.12cmB.2.已知直角三角形一个锐角A.52腰长为13cm,则腰上的高为（）D.10cmC.60°,斜边长为B.3C.,3+21，那么此直角三角形的周长是D.品323、下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（A、三个角的比为1:2:3B、三条边满足a2=b2-c2C、三条边的比为1:2:3D、三个角满足关系/4、下列各组数中能作为直角三角形三边长的是（①、9,12,15②、13,12,6③、A、①④B、①②C、③④5、将一根24cm的筷子，置于底面直径为度为hem贝Uh的取值围是（A.h<17cm9,12,14DB=ZC+ZA）④12,16,20、②④15cm,高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长).B.h>8cmC.15cmWhw16cmD.7crni0）,依题意，割补前后图形的面积相等，有x2=5,解得x=5。由此可知新正方形得边长等于两个小正方形组成得矩形对角线得长，于是，画出如图②所示的分割线,拼出如图③所示的新正方形.请你参考小东同学的做法，解决如下问题:[■hlAAB=9,BC=3,。现有10个边长为1的正方形，排列形式如图④，请把它们分割后拼接成一个新的正方形，要求：在图④中画出1）中用实线画出拼接成的新正方形.（说明:分割线，并在图⑤的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为直接画出图形，不要求写分析过程.）17、如图，把长方形纸片ABCD折叠，使顶点A与顶点C重合在一起，EF为折痕。若（1）求BF的长（2）求EF的长18、如图△ABC中，/ACB=90,AC=12BC=5AN=ACBM=BC求MN的长度19、如图所示，在Rt△ABC中，/BAC=90,AC=AB/DAE=45，且BD=3CE=4求DE的长22220、如图，已知：C90,AMCM,MPAB于p.求证：BPAPBC.21、探索与研究（方法1）如图：对任意的符合条件的直角三角形绕其锐角顶点旋转90°所得，所以/BAE=90,且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和.根据图示写出证明勾股定理的过程；（方法2）如图是任意的符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根据图示再写一种证明勾股定理的方法吗？22、已知△ABC中，a2+b2+c2=10a+24b+26c—338,试判定△ABC的形状，并说明你的理由.已知a、b、c是厶ABC的三边，且a^2—bfa4—b4,试判断三角形的形状.24、如图，A市气象站测得台风中心在A市正向300千米的B处，以10.._7千米向移动，距台风中心200?千米围是受台风影响的区域.A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长?25、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=ACD是斜边BC的中点，E、F分别是ABAC边上的点，且DELDF,若BE=12,CF=5.求线段EF的长。26、已知：正方形ABCD勺边长为1,正方形ABCD勺边长为1,正方形EFGF接于ABCDAE=a,AF=b,2且S正方形EFGH一。求：ba的值。3(1)说明:BE2CF2EF2）若BE=12,CF=5,试求DEF的面积。27、在等腰直角三角形中,AB=AC点D是斜边BC的中点，点E、F分别为ABAC边上的点，且DEIDF。28、如图，长方形ABCD中,AD=8cm,CD=4cm.⑴若点P是边AD上的一个动点，当P在什么位置时PA=PC?⑵在⑴中,当点P在点P/时，有P'AQP'与P'C垂直吗?P'C,Q是AB边上的一个动点，若AQ15时,4为什么?29、已知：如图，DE=m,BC=n,EBC与DCB互余，求bD+CE?的值30、如图，在△ABC中，/ACB=90,AC=BCP是厶ABC的一点，且PB=1,PC=2PA=3,求/BPC的度数.31、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米围形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30o方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响（1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
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