第二节不定积分的换元积分教学目的：使学生掌握不定积分的第一换元积分法以及第二换元积分法教学重点：不定积分的第一换元积分法以及第二换元积分法教学过程：一、第一类换元法(2课时)设f(u)有原
函
关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函
数F(u).u=(x).且(x)可微•那么.根据复合函数微分法.有dF[(x)]PF(u)=F(u)du=F[(x)]d(x)=F[(x)](x)dx.所以F[(x)](x)dx二F[(x)]d(x)-F(u)du-dF(u)二dF[(x)].因此F[「(x)]：(x)dx二F[(x)]d(x)二F(u)du二dF(u)=dF[:(x)]=F[(x)]C.即f[(x)]「(x)dx=f[(x)]d:(x)二[f(u)du]u=(x)二[F(u)C]u二(x)二F[(x)]C定理1设f(u)具有原函数U二(x)可导•则有换元公式f[：(x)P：(x)d^.f[(x)]d(x^f(u)du=F(u)C=F[「(x)]C-被积表达式中的dx可当作变量x的微分来对待•从而微分等式(x)dx二du可以应用到被积表达式中‘在求积分g(x)dx时•如果函数g(x)可以化为g(x)二f[(x)](x)的形式•那么g(x)dx「f[「(x)「(x)dx=[.f(u)du]u=(x)■例1.2cos2xdx=cos2x(2x)dx=cos2xd(2x)=cosudu=sinuC=sin2XC例2.3訣=232x11(32x)d^232x1id(32x)例3.例4.例5.tanxdx=dx=-'cosxdcosxcosx1111=2.「dxpln|u|C=qln|32x|C■2xeX'dx=eX2(x2)dx=eX'd(x2)=eudux、1-x2dx=*!_:：1-x2(x2)dx=*、1-x2dx2=一1l?..；1-x2d(1-x2)--1!u^du-」u^C223二-】du二-1n|u|Cu-In|cosx|Ctanxdx-ln|cos|C■类似地可得cotxdxTn|sinx「C■熟练之后•变量代换就不必再写出了1——dxa「1百2a-—dx=1arctan^+C•a1(X)2aaaa7例7.~2-—x=—arctanC■ch'dx=ach—d~=ashxC■aaaa例8.1dx=X\21d~=arcsinxC■aa卄)2例9.x2】a2例10.例11.dx=arcs*nCa如!a(xla1"x-a)dX!a[xla1dx-x^x]2a[x-a1d(x-a)d(xa)]*■x十a1[In|x-a|-In|xa|]C2a12aIn戸xajdxx(121nx)dlnx1d(12lnx)121nx一7121nx=》n|12Inx|Cx=2e3xd、x=£e3'Xd3、，x含三角函数的积分例12.Jsin3xdx=Jsin2xsinxdx=-J(1-cos2x)dcosx=-dcosx亠icos2xdcosx--cosx亠cos3xC■例13..sin2xcos5xdx=Jsin2xcos4xdsinx=sin2x(1-sin2x)2dsinx二(sin2x-2sin4xsin6x)dsinxin3x-2sin5x】sin7xC■357例14./cos2xdx=J1+c；s2xdx=2(Jdx十Jcos2xdx)=1dx1cos2xd2x」sin2xC■2424例15.cos4xdx二(cos2x)2dx=[f(1cos2x)]2dx=寸(12cos2xcos22x)dx谆2cos2x2冷(|xsMx8sin4x)C311=8x4sin2x32sin4xC'116.Jcos3xcos2xdx=2J(cosx十cos5x)dx4sinx11osin5xC.17.cscxdx二—$'sinxdx2sin^cosZ22xd2dxx=ln|tan号|4C=ln|CSCX-cotX|+C,cscdxln|cscx-cotx|C18.isecxdx二csc(x—)dx=ln|csc(x—)-cot(^—)|C=ln|secxtanx|Csexdxln|secxtanx|C练习：求下列各积分:1cos(4x-7)dx；dx_.求a2x2；3.求—2=2—2「(a>°，b>0)；.a-bx25.求xexdx,;dx6■x(12lnx)'dx7.,xlnxlnInx、第二类换元法（2课时）定理2设x二（t）是单调的、可导的函数•并且（t尸0•又设f[⑴](t)具有原函数F(t)•则有换元公式f(x)dx二f[:(t)b(t)dt=F(t)二F[:」(x)]C■其中t=(X)是X二(t)的反函数这是因为{F[：妝)]八F(t)齐f[(t)]「(t)存f[(t)]=f(xTd?例19.求、a2-x2dx(a>0厂解：设X=asint：t<—-那么、、a2-x2=、、a2_a2sin2t=acost.dx二acostdt于是a2-x2dx=acostacostdt—a2cos2tdt=a2(1-4sin2t)C■因为t二arcsin^,sin2t=2sintcost二2上」—所以aaaa2「x2dx=a2(^t】sin2t)C=—arcsin^丄x.a2「x2C■」242a2解：设x=asint-才：：：t：：：亍.那么arcs叱討a2-x2Ci\a2-x2dx=acostacostdt二a2cos2tdt=a2(1tfsin2t)C提示：、a2-x2=•••a2-a2sin2t=acost・dx二aCOStdt提示:t二arcsin^,sin2t=2sintcost=2^〜—-aaa例20.求dx2（a>0）Jx+a解法一:设x=atant廿讥透.那么、x2a2=：；a2a2tan2t二a、.1tan2t=asect.dx=asec2tdt于是匚dx2=FseCtdt=jsectdt=In|sect+tant|+C，.x2a2asect因为sect二仝匕2.tant»•所以aaJ?x2=In|sect+tant|+C=In(Z+^^)+C=1n(x+Jx2+a2)+Ci■"a2aa解法一:设x=atant一亍:::t：冷.那么_dxaseXtdt=sectdt=ln|sect+tant|+Cx2a2asect=ln(x—£)C=ln(x-x2a2)Ci•aa其中Ci二CTna-提示:.x2a2ha2a2tan2t二asectdx=asec2tdt提示:sect二丘宣atant=x解法二：设x=asht-那么/I5s吟C_x
0)\x-a解:当x>a时•设x=asect(0：：仁：亍)•那么*x2-a2=：.a2se(?t—a2=^„sec2^1=atant.于是dxasecttantdt二sectdt二In|secttant|CAx2-a2atant11因为tant=泌—sect•所以aai~r===In|sect+tant|+C=inp+^^|4c=in(x+Jx2_a2)+C-、、x-a2aa其中Ci二CTna-当xa・于是—2^—d°--In(u\u2-a2)C..X2-a2」2-a2-一ln(-x*ix2_a2)C=In(-x-1x2-a2)■G-=lx^2C=ln(-x-\x2-a2)C,.a2其中C广C~2lna-综合起来有仃？x2=ln|x+Jx2-a2|乜“、x-a2解:当x>a时•设x二asect(o：：t访)那么dx厂嗨如dt=sectdt、x2-a2atant=1n|secttant|C=ln(———)Caa=ln(x、一x2-a2)C.其中C—CTna-当x<-a时.令x_-u.贝Hu>a■于是dxx2_a2Jj纠2=—ln(u+Ju2—a2)4C其中C1=C~2lna-(_x、..x2—a2)C=l门一护。a2=ln(一x—?x2-a2)C1.提示：、x2「a2=.a2secft-a2=a、sec2t-1二atant■提示:9心盲.sect詣综合起来有J』2mn|x+Jx2—a21^C、-x2-a补充公式(16)tanxdx二Tn|cosx|Ccotxdx=In|sinx|C(18)secxdx=ln|secxtanx|C(19)cscxdx=In|cscx-cotx|C(20)-y1_dx二丄arctan^Ca2x2aa(21)(22)(24)右心汗C1d^arcsin-C、、a2—x2ax^O^Fn|x、x2—a2|C■练习:.求'X1dx，令u-x-1;x.求J—3d^——，令u==x+2;‘1+打x+23求f'(2x)dx;4设f(x)=e」，求丄如凶dxx
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