【最后一搏】第五讲：分式

2013年中考数学专题复习第五讲：分式【基础知识回顾】分式的概念若A，B 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示两个整式，且B中含有那么式子就叫做公式【名师提醒：①：若则分式无意义②：若分式=0，则应且】分式的基本性质分式的分子分母都乘以（或除以）同一个的整式，分式的值不变。1、==（m≠0）2、分式的变号法则=3、约分：根据把一个分式分子和分母的约去叫做分式的约分。约分的关键是确保分式的分子和分母中的约分的结果必须是分式4、通分：根据把几个异分母的分式化为分母分式的过程叫做分式的通分通分的关键是确定各分母的【名师提醒：①最简分式是指②约分时确定公因式的方法：当分子、分母是多项式时，公因式应取系数的应用字母的当分母、分母是多项式时应先再进行约分③通分时确定最简公分母的方法，取各分母系数的相同字母分母中有多项式时仍然要先通分中有整式的应将整式看成是分母为的式子④约分通分时一定注意“都”和“同时”避免漏乘和漏除项】分式的运算：1、分式的乘除①分式的乘法：.=②分式的除法：==2、分式的加减①用分母分式相加减：±=②异分母分式相加减：±==【名师提醒：①分式乘除运算时一般都化为法来做，其实质是的过程②异分母分式加减过程的关键是】3、分式的乘方：应把分子分母各自乘方：即()m=分式的混合运算：应先算再算最后算有括号的先算括号里面的。分式求值：①先化简，再求值。②由值的形式直接化成所求整式的值③式中字母表示的数隐含在方程的题目条件中【名师提醒：①实数的各种运算律也符合公式②分式运算的结果，一定要化成③分式求值不管哪种情况必须先此类题目解决过程中要注意整体代入】【重点考点例析】考点一：分式有意义的条件例1（2012•宜昌）若分式有意义，则a的取值范围是（　　）A．a=0B．a=1C．a≠-1D．a≠0思路分析：根据分母不等于0列式即可得解．解：∵分式有意义，∴a+1≠0，∴a≠-1．故选C．点评：本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．对应训练1．（2012•湖州）要使分式有意义，x的取值范围满足（　　）A．x=0B．x≠0C．x＞0D．x＜01．B考点二：分式的基本性质运用例2（2012•杭州）化简得；当m=-1时，原式的值为．思路分析：先把分式的分子和分母分解因式得出，约分后得出，把m=-1代入上式即可求出答案．解：==。当m=-1时，原式==1，故答案为：，1．点评：本题主要考查了分式的约分，关键是找出分式的分子和分母的公因式，题目比较典型，难度适中．对应训练2．（2011•遂宁）下列分式是最简分式的（　　）A．B．C．D．2．C考点三：分式的化简与求值例3（2012•南昌）化简：．思路分析：将分式的分子、分母因式分解为，再把分式的除法变为乘法进行计算即可．解：原式===-1．点评：本题考查的是分式的乘除法，即分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．例4（2012•安徽）化简的结果是（　　）A．x+1B．x-1C．-xD．x思路分析：将分母化为同分母，通分，再将分子因式分解，约分．解：=x，故选D．点评：本题考查了分式的加减运算．分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．例5（2012•天门）化简的结果是（　　）A．B．C．D．思路分析：将原式括号中的两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，分子合并，同时将除式的分母利用平方差公式分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分后即可得到最简结果．解：===．故选D。点评：此题考查了分式的化简混合运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，同时注意最后结果必须为最简分式．例6（2012•遵义）化简分式，并从-1≤x≤3中选一个你认为合适的整数x代入求值．思路分析：先将括号内的分式通分，再按照分式的除法法则，将除法转化为乘法进行计算．解：原式===，由于当x=-1或x=1时，分式的分母为0，故取x的值时，不可取x=-1或x=1，不妨取x=2，此时原式=．点评：此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应先将多项式分解因式后再约分．对应训练3．（2012•河北）化简的结果是（　　）A．B．C．D．2（x+1）3．C4．（2012•绍兴）化简可得（　　）A．B．C．D．4．B5．（2012•泰安）化简=．5．m-66．（2012•资阳）先化简，再求值：，其中a是方程x2-x=6的根．6．解：原式====．∵a是方程x2-x=6的根，∴a2-a=6，∴原式=．考点四：分式创新型题目例7（2012•凉山州）对于正数x，规定，例如：，，则．思路分析：当x=1时，；当x=2时，，当时，；当x=3时，，当时，…，故，…，所以，由此规律即可得出结论．解：∵当x=1时，；当x=2时，，当时，；当x=3时，，当时，…，∴，…，∴，∴．故答案为：2011.5．点评：本题考查的是分式的加减法，根据题意得出是解答此题的关键．对应训练7．（2012•临沂）读一读：式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“∑”是求和符号，通过对以上材料的阅读，计算．7．解：由题意得，．故答案为：．【聚焦山东中考】一、选择题1．（2012•潍坊）计算：2-2=（　　）A．B．C．D．41．A．2．（2012•德州）下列运算正确的是（　　）A．B．（-3）2=-9C．2-3=8D．20=02．A3．（2012•临沂）化简的结果是（　　）A．B．C．D．3．A4．（2012•威海）化简的结果是（　　）　A．B．C．D．考点：分式的加减法。专题：计算题。分析：先把x2﹣9因式分解得到最简公分母为（x+3）（x﹣3），然后通分得到，再把分子化简后约分即可．解答：解：原式=﹣===．故选B．点评：本题考查了分式的加减法：先把各分母因式分解，确定最简公分母，然后进行通分化为同分母的分式，再把分母不变，分子相加减，然后进行约分化为最简分式或整式．二、填空题5．（2012•聊城）计算：．5．6．（2011•泰安）化简：的结果为．6．x-6三、解答题7．（2012·济南）化简：．7．解：原式==．8．（2012•烟台）化简：．8．解：原式===。9．（2012•青岛）化简：。9．解：原式=。10．（2012•东营）先化简，再求代数式的值，其中x是不等式组的整数解．10．解：原式==，解不等式组得2＜x＜，因为x是整数，所以x=3，当x=3时，原式=．11．（2012•德州）已知：，求的值．11．解：原式==，当时，原式=．12．（2012•莱芜）先化简，再求值：÷，其中a=﹣3．考点：分式的化简求值。专题：计算题。分析：将原式被除式括号中的两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，除式分母利用平方差公式分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将a=﹣3代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值．解答：解：原式=（﹣）÷=•=，∵a=﹣3，∴原式==﹣．点评：此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时，分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．　【备考真题过关】一、选择题1．（2012•嘉兴）（-2）0等于（　　）A．1B．2C．0D．-21．A．2．（2012•云南）下列运算正确的是（　　）A．x2•x3=6B．3-2=-6C．（x3）2=x5D．40=12．D3．（2012•泰州）3-1等于（　　）A．3B．C．-3D．3．D4．（2012•嘉兴）若分式的值为0，则（　　）A．x=-2B．x=0C．x=1或2D．x=14．D4．解：∵分式的值为0，∴，解得x=1．故选D．6．（2012•义乌市）下列计算错误的是（　　）A．B．C．D．6．A7．（2012•仙桃天门潜江江汉）化简的结果是（　　）　A．B．C．（x+1）2D．（x﹣1）2考点：分式的混合运算。专题：计算题。分析：将原式括号中的两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，分子合并，同时将除式的分母利用平方差公式分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分后即可得到最简结果．解答：解：（1﹣）÷=÷=•（x+1）（x﹣1）=（x﹣1）2．故选D点评：此题考查了分式的化简混合运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，同时注意最后结果必须为最简分式．8．（2012•钦州）如果把的x与y都扩大10倍，那么这个代数式的值（　　）　A．不变B．扩大50倍C．扩大10倍D．缩小到原来的考点：分式的基本性质。专题：计算题。分析：依题意分别用10x和10y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．K]解答：解：分别用10x和10y去代换原分式中的x和y，得==，可见新分式与原分式的值相等；故选A．点评：本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．二、填空题9．（2012•宁夏）当a时，分式有意义．9．≠-210．（2012•台州）计算的结果是．10．11．（2012•天津）化简的结果是．11．12．（2012•山西）化简的结果是．12．13．（2012•内江）已知三个数x，y，z，满足则．13．-4解：∵，∴，∴，整理得，①，②，③，①+②+③得，，则，∴，于是故答案为-4．14．（2012•镇江）若，则的值为　　．考点：分式的加减法。专题：计算题。分析：先根据分式的加法求出（m+n）2的值，再代入所求代数式进行计算即可．解答：解：∵+=，∴=，∴（m+n）2=7mn，∴原式====5．故答案为：5．点评：本题考查的是分式的加减法，先根据分式的加减法则求出（m+n）2的值是解答此题的关键．　15．（2012•温州）若代数式的值为零，则x=　　．考点：分式的值为零的条件；解分式方程。专题：计算题。分析：由题意得=0，解分式方程即可得出答案．解答：解：由题意得，=0，解得：x=3，经检验的x=3是原方程的根．故答案为：3．点评：此题考查了分式值为0的条件，属于基础题，注意分式方程需要检验．　16．（2012•赤峰）化简=　　．考点：分式的乘除法；因式分解-运用公式法；约分。专题：计算题。分析：先把分式的分母分解因式，同时把除法变成乘法，再进行约分即可．解答：解：圆式=×，=1，故答案为：1．点评：本题考查了约分，分解因式，分式的乘除法的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度适中．　三、解答题17．（2012•泰州）化简：．17．解：====．18．（2012•淮安）计算：．18．解：==x-1+3x+1=4x．19．（2012•珠海）先化简，再求值：，其中x=．19．解：原式===，当x=时，原式==．21．（2012•益阳）计算代数式的值，其中a=1，b=2，c=3．21．解：原式===c．当a=1、b=2、c=3时，原式=3．22．（2012•孝感）先化简，再求值：，其中，．22．解：原式===。当，时，原式=。23．（2012•绥化）先化简，再求值：．其中m是方程x2+3x-1=0的根．23．解：原式====；∵m是方程x2+3x-1=0的根．∴m2+3m-1=0，即m2+3m=1，∴原式=．24．（2012•南京）化简代数式，并判断当x满足不等式组时该代数式的符号．24．解：===，，解不等式①，得x＜-1．解不等式②，得x＞-2．所以，不等式组的解集是-2＜x＜-1．当-2＜x＜-1时，x+1＜0，x+2＞0，所以＜0，即该代数式的符号为负号．25．（2012•重庆）先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解．考点：分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解。专题：计算题。分析：将原式括号中的第一项分母利用平方差公式分解因式，然后找出两分母的最简公分母，通分并利用同分母分式的减法法则计算，分子进行合并整理，同时将除式的分母利用完全平方公式分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分后即可得到结果，分别求出x满足的不等式组两个一元一次不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，在解集中找出整数解，即为x的值，将x的值代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值．解答：解：（﹣）÷=[﹣]•=•=•=，又，由①解得：x＞﹣4，由②解得：x＜﹣2，∴不等式组的解集为﹣4＜x＜﹣2，其整数解为﹣3，当x=﹣3时，原式==2．点评：此题考查了分式的化简求值，以及一元一次不等式的解法，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母是多项式，应先将多项式分解因式后再约分．　26．（2012•铁岭）先化简，在求值：，其中x=3tan30°+1．考点：分式的化简求值；特殊角的三角函数值。专题：计算题。分析：将原式除式的第一项分子分母同时乘以x+3，然后利用同分母分式的减法法则计算，将被除式分母利用平方差公式分解因式，除式分母利用平方差公式分解因式，分子利用完全平方公式分解因式，再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，然后利用特殊角的三角函数值求出x的值，将x的值代入化简后的式子中计算，即可求出原式的值．解答：解：÷（﹣）=÷[﹣]=÷=•=，当x=3tan30°+1=3×+1=+1时，原式===．点评：此题考查了分式的化简求值，以及特殊角的三角函数值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时若分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．27．（2012•本溪）先化简，再求值：，其中x=2sin60°﹣（）﹣2．考点：分式的化简求值；负整数指数幂；特殊角的三角函数值。专题：计算题。分析：将原式第二项中被除式的分子利用完全平方公式分解因式，除式的分子利用平方差公式分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分后再利用同分母分式的减法运算计算，得到最简结果，接着利用特殊角的三角函数值及负指数公式化简，求出x的值，将x的值代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值．解答：解：﹣÷=﹣÷=﹣•=﹣=﹣，当x=2sin60°﹣（）﹣2=2×﹣4=﹣4时，原式=﹣=﹣．点评：此题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，以及负指数公式，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．　28．（2012•北京）已知，求代数式的值．考点：分式的化简求值。专题：计算题。分析：将所求式子第一个因式的分母利用平方差公式分解因式，约分后得到最简结果，然后由已知的等式用b表示出a，将表示出的a代入化简后的式子中计算，即可得到所求式子的值．解答：解：•（a﹣2b）=•（a﹣2b）=，∵=≠0，∴a=b，∴原式====．点评：此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．