函数的切线问题

第三章第14炼函数的切线问题导数函数的切线问题第14炼函数的切线问题、基础知识：（一）与切线相关的定义1、切线的定义：在曲线的某点A附近取点B,并使B沿曲线不断接近A。这样直线AB的极限1）此为切线的确切定义,一方面在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰,另一方面也可理解为一个动态的过程,让切点A附近的点向A不断接近，当与A距离非常小时，观察直线AB是否稳定在一个位置上（2）判断一条直线是否为曲线的切线,不再能用公共点的个数来判定。例如函数y=心在处的切线,与曲线有两个公共点。（3）在定义中，点B不断接近A包含两个方向，A点右边的点向左接近，左边的点向右接近，只有无论从哪个方向接近，直线AB的极限位置唯一时，这个极限位置才能够成为在点A处的切线。对于一个函数，并不能保证在每一个点处均有切线。例如y=闰在（0,0）处，通过观察图像可知，当x=0左边的点向其无限接近时，割线的极限位置为而当x二。右边的点向其无限接近时，割线的极限位置为yx，两个不同的方向极限位置不y=x相同，故y=闰在(。,。)处不含切线由于点B沿函数曲线不断向A接近，所以若f(x)在A处有切线，那么必须在A点及其附近有定义(包括左边与右边)2、切线与导数：设函数y=f(x)上点A(x,f(x)),f(x)在00A附近有定义且附近的点BQgf(x+Ax))，则割线00AB斜率为：f(x+Ax)—f(x)f(x+Ax)—f(x)k=00=00-AB(x+Ax)—xAx00当B无限接近A时，即Ax接近于零，...直线AB到达极限位置时的斜率 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为：k=limfg+心)-fg),TOC\o"1-5"\h\zAxtOAx即切线斜率，由导数定义可知：00k=limf(x+Ax)—f(xj=广(x)o处Axt0Ax0000切线的斜率。这是导数的几何意义。3、从导数的几何意义中可通过数形结合解释几类不含导数的点：(1)函数的边界点：此类点左侧(或右侧)的点不在定义域中，从而某一侧不含割线，也就无从谈起极限位置。故切线不存在，导数不存在；与此类似还有分段函数如果不连续，则断开处的边界值也不存在导数2）已知点与左右附近点的割线极限位置不相同，则不存在切线，故不存在导数。例如前面例子y=|x在（°,。）处不存在导数。此类情况多出现在单调区间变化的分界处，判断时只需选点向已知点左右靠近，观察极限位置是否相同即可（3）若在已知点处存在切线，但切线垂直轴，X则其斜率不存在，在该点处导数也不存在。例如：y=3X在（0,0）处不可导综上所述：（1）-（3）所谈的点均不存在导数，而（1）（2）所谈的点不存在切线，（3）中的点存在切线，但没有导数。由此可见：某点有导数则必有切线，有切线则未必有导数。（二） 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 与技巧：1、求切线方程的方法：一点一方向可确定一条直线，在求切线时可考虑先求出切线的斜率（切点导数）与切点，在利用点斜式写出直线方程2、若函数的导函数可求，则求切线方程的核心要素为切点A的横坐标x，因为x可“一点两代”代入到原函数，即可得到切点的纵坐标f（x），代入到导函数中可得到切线的斜率f（x）=k,从而一0点一斜率，切线即可求。所以在解切线问题时一定要盯住切点横坐标，千方百计的把它求解出来。3、求切线的问题主要分为两大类，一类是切点已知，那么只需将切点横坐标代入到原函数与导函数中求出切点与斜率即可，另一类是切点未知，那么先要设出切点坐标（x,y），再考虑利用条00件解出核心要素，进而转化成第一类问题X4、在解析几何中0也学习了求切线的方法，即先设出切线方程，再与二次方程联立利用“0求出 参数 转速和进给参数表a氧化沟运行参数高温蒸汽处理医疗废物pid参数自整定算法口腔医院集中消毒供应 值进而解出切线方程。解析几何中的曲线与函数同在坐标系下，所以两个方法可以互通。若某函数的图像为圆锥曲线，二次曲线的一部分则在求切线时可用解析的方法求解，例如：y=□（图像为圆的一部分）在t日处的切线方程，则可考虑利用圆的切线的求法进行解决。若圆锥曲线可用函数解析式表示，像焦点在y轴的抛物线，可看作y关于的函数，则在求切线时可yx利用导数进行快速求解（此方法也为解析几何中处理焦点在y轴的抛物线切线问题的重要方法）5、在处理切线问题时要注意审清所给已知点是否为切点。“在某点处的切线”意味着该点即为切点，而“过某点的切线”则意味着该点有可能是切点，有可能不是切点。如果该点恰好在曲线上那就需要进行分类讨论了。二、典型例题例1：求函数f(丄ex(3x-2)在x=1处的切线方程思路：本题切点已知，代入原函数求得函数值，代入导函数中求得切线斜率，进而利用点斜式求出切线方程解：f(I)...切点坐标为Qf'(x)=3ex+(3x-2)ex=(3x+1)ex:.f、(1)=4e...切线方程为：y-e=4e(x-1)ny=4ex-3e小炼有话说：切点已知时求切线方程是切线问题中较简单的一类问题，体会切点分别代入到函数与导函数中所起到的作用，体会切点横坐标在切线问题中的关键作用例2：已知函数f(x)=x+2x，则：在曲线f(x)上是否存在一点，在该点处的切线与直线4x-y-2=0平行在曲线f(x)上是否存在一点，在该点处的切线与直线30垂直x-y-3=0解：(1)思路：切点未知，考虑设切点坐标为(x,y”再利用平行条件求出x，进而求出切线方000程设切点坐标为(x,y)00f'(x)=丄+20x0由切线与f'(x)=丄+2=4nx=—0x020.切线方程为=ln2+1y—2=0平行可得:(1Ay一1+In2=4x一一ny=4x一In2—1k2丿2)思路：与(1)类似，切点未知，考虑设切点坐标为(xy),有垂直关系可得切线斜率与已知00直线斜率互为负倒数，列出方程求出x，进而求x0出切线方程设切点坐标(x,y)00fx)=丄+2，直线x—y—3=0的斜0x率为10130x0而xe(0,+小0x1不在定义域中，舍去03•不存在一点，使得该点处的切线与直线xx垂直小炼有话说：(1)求切线的关键要素为切点，进而若切点已知便直接使用，切线未知则需先设再求。两直线平行与垂直关系与直线的斜率密切相关，进而成为解出切点横坐标的关键条件（2）在考虑函数问题时首先要找到函数的定义域。在解出自变量的值或范围时也要验证其是否在定义域内例3：函数f（宀alnx-bx2上一点P（2,f（2））处的切线方程为y=_3x+2ln2+2，求a,b的值思路：本题中求b的值，考虑寻找两个等量条件a,b进行求解，P在直线y——3x+2ln2+2上，y——3-2+2ln2+2—2ln2—49即f(2)=2ln2—4，得到a,b的一个等量关系，在从切线斜率中得到x—2的导数值，x—2进而得到b的另一个等量关系，从而求出a,ba,b解：y——3x+2ln2+2上，.f(2)——3-2+2ln2+2—2ln2—4.f(2)—aln2—4b—2ln2—4又因为p处的切线斜率为—3f(x)—上—2bxx:.f'（2）—a-4b——32aln2-4b—2ln2—4fa-2I—4b——3—1小炼有话说：（1）本题中切线体现了两个作用：①切点在切线上，进而可间接求出函数值；②切线的斜率即为切点导数值（2）一般来说，在求未知量的值题目中，未知第三章第14炼函数的切线问题导数第三章第14炼函数的切线问题导数量的个数与所用条件的个数相等。在本题中确定b两个未知量，从而想到寻找两个条件来解决问a,b题。例4：曲线y+在点G,丿处的切线与坐标轴所围角形的面积为()A.e2B.2e2C.4e2D.e2~2思路：广(x)=ex由图像可得三角形的面积可用切线的横纵截距计算，进而先利用求出切线方程f'(2)=e2所以切线方程为:y—e2=e2(x—2)即e2x—y—e2=0与两坐标轴的交点坐标为(1,0)(0,—e2) 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ：D小炼有话说：在平面直角坐标系中，我们研究的问题不仅有函数，还有解析几何。所以在求面积等问题时也会用到解析几何的一些理念与方法。例如求三角形面积要寻底找高，而选择底和高以计算简便为原则，优先使用点的坐标表示。在本题中选择横纵截距来刻画三角形的两条直角边有助于简化计算。例5：一点P在曲线y=亠x+2上移动，设点p处切y3线的倾斜角为a，则角a的取值范围是（A.AmB卞mU）．C・「3j—兀，兀L4丿D.厂兀3兀_12?T一思路：倾斜角的正切值即为切线的斜率，进而与导数联系起来。y=3x2_1,对于曲线上任意一点p,斜率的范围即为导函数的值域：y'=3x2_1亠+g）,所以倾斜角的范围是「答案：B小炼有话说：（1）对于切线而言，其倾斜角，斜率，切点处的导数联系紧密：倾斜角的正切值为斜率，斜率即为切点的导数值。（2）斜率范围到倾斜角范围的转化要注意一下两点：①斜率化倾斜角时尽量用图像进行辅助,观察斜率变化时，倾斜角的变化程度。②直线倾斜角的范围为％）例6：求过点Aa），且与曲线f（x）=x3相切的直线方程思路：A（2,8）满足f（x），但题目并没有说明A是否为切点，所以要分A是否为切点进行分类讨论。当A是切点时，易于求出切线方程，当A不是切点时,第三章第14炼函数的切线问题导数第三章第14炼函数的切线问题导数切点未知，从而先设再求，设切点6y”切线斜00率为k，三个未知量需用三个条件求解：①y=f(x)，②k=f'(x”③k=yo-yA000x一x0A解：⑴当aa)为切点时f(x)=3x2.f'(2)=12.•切线方程为：y-8=12(x亠y=12x-16⑵当a(2,8)不是切点时，设切点p(x,y)(x’2)，切000总，消去k,y可得:00k=gx—20线斜率为kx3一83x2=0x一20■2+2x+4)00而x3-8=(x-2)C00.方程等价于：3x2=x2+2x+4»2-x-2=0亠00T000解得：x=20(舍)，1x=-1.y=-1,k=3...切线方程为y+1=3(x+1)ny=3x+20综上所述：切线方程为y=12x一16或y=3x+2小炼有话说：(1)由于在导数中利用极限的思想对切线进行了严格定义，即割线的极限位置是切线，从而不能局限的认为切线与曲线的公共点一定就是切点，存在一条直线与曲线相切于一点，并与曲线的另一部分相交于一点的情况，本题便是一个典型的例子(2)在已知一点求切线方程时，要注意切线斜率不仅可用切点的导数值来表示，也可以用已知点与切点来进行表示，进而增加可以使用的条件。例7：设函数f(x)=x3-ax2-9x-l(a<0)，若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线i2x+y=6平行，求a的值思路：切线斜率最小值即为导函数的最小值，已知直线的斜率为_12进而可得导函数的最小值为-12，便可求出a的值^解：f'(x)=3x2—2ax—9=3(21\11)x2——a十—a2——a2—9—3x——a139J33丿21——a2—93直线12x+y=6的斜率为—12，依f'(x)=f2amin13题意可得a2—9=—12na3.a=3例8:若存在过点=±3(1,0)的直线与曲线3和y=x315y=ax2+x一94A.,或25—164都相切，则a等于()B.1或21—14C.7—4D.或2564思路：本题两条曲线上的切点均不知道，且曲线y=ax2+15x9含有参数，所以考虑先从常系数的曲4线=入手求出切线方程，再考虑在利用切线与y=x3曲线y=ax2+15x-9求出a的值。设过的直线与曲4y一x3=3x2(x-x)，即000=0或x=00.当切点(0,0)时，由线y=x3切于点C,x3)，切线方程为0000y=3x2x一2x3，因为(1,0)在切线上，所以解得：00=3，即切点坐标为(00)或(327x0=2'[25T丿y=0与y=ax2+15x-9相切可得4A=[15f一4a(-9)=0na=-兰，同理，切点为戸]解得a=-1I4丿64128丿答案：A小炼有话说：(1)涉及到多个函数公切线的问题时，这条切线是链接多个函数的桥梁。所以可以考虑先从常系数的函数入手，将切线求出来，再考虑切线与其他函数的关系(2)在利用切线与y=ax2+£一9求a的过程中，由4于曲线+159为抛物线，所以并没有利用导y=ax2+—x—94数的手段处理，而是使用解析几何的方法，切线即联立方程后的A=0来求解，减少了运算量。通A=0过例7，例8可以体会到导数与解析几何之间的联系：一方面，求有关导数的问题时可以用到解析的思想，而有些在解析中涉及到切线问题时，第三章第14炼函数的切线问题导数第三章第14炼函数的切线问题导数若曲线可写成函数的形式，那么也可以用导数来进行处理，（尤其是抛物线）例9：（2014,北京）已知函数f（x）=2x3_3x，若过点P（”）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取EJ00思路：由于并不知道3条切线中是否存在以p为切点的切线，所以考虑先设切点（x,y”切线斜率00y=2x3一3x000一300为。，则满足Jy0=2x0一3x0，所以切线方程为kSU/0、01k=f'*）=6x0（）即y一y=k（x一x丿,00y一（2x3一3x）=（6x2-3）（x一x），代入P（1,t）化简可得:0000t=一乜+6叮一3，所以若存在3条切线，则等价于方程t=++6x2-3有三个解，即y=t与g（x）=-4x3十6x2一3有00三个不同交点，数形结合即可解决解：设切点坐标（x,y），切线斜率为k，则有：00y=2x3-3x<0/0、0k=f'(x)=6x2一300y一(2x3一3x)=(6x2一3)(x一x)0000因为切线过p(制，所以将p(制代入直线方程可得:t一(2x3一3x)=(6x2一3)(1一x)0000nt=(6x2-3)(1-x)+Gx3一3x)0000=6x2—3—6x3+3x+2x3—3x=-4x3+6x2—30000000所以问题等价于方程t=—4x3+6x2—3，令g(x)=—4x3+6x2—300切线方程为：即直线y=t与g(x)=_4x3+6x2-3有三个不同交点g'(x)=-12x2+12x=-12x(x-1)令g'(x)>0解得0 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 。点P(!,!)，则可求出PQ:y=应-k+1，从而与抛物线方程联立可解得Q(-],(k-]Q,以及M点坐标，从而可写出QN的方程，再与抛物线联立得到N点坐标。如果从M,N坐标入手得到MN方程，再根据相切(A=0)求k，方法可以但计算量较大。此时可以着眼于N为切点，考虑抛物线乂2=y本身也可视为函数y=，从而可以N为入手点先求出切线，再利用切线过M代入M点坐标求k，计算量会相对小些。・•・M解:由P在抛物线上，且P的横坐标为1可解得P(1;1).•设PQ:y-1=k(x—1)化简可得：y=女—k+1x2—kx+k—1=0、=x2消去yy=kx—k+1x=1,x=k—112・•・Q(-1,(k-1)2)设直线QN:y—(k—1)2二1[x—(k—1)]即y=(k—1)2k[x-(k-叨联立方程：y=x2y=(k—1)2—k[x—(k—叨/.x•x=—(k—1)(k—1+—QNIk丿ff1\fN—k—1+—：.Ik丿I由y=x2可得2x...切线mn的斜率k=y'IMNx=xN・MN:y—代入Mf学,0］得^(1\2-k-1+_Ik丿=-2(k-1+-Ik丿k-1+-=2knk2+k-1=0k.k--1±弱2小炼有话说：（1）如果曲线的方程可以视为一个函数（比如开口向上或向下的抛物线，椭圆双曲线的一部分），则处理切线问题时可以考虑使用导数的方法，在计算量上有时要比联立方程计算简便（2）本题在求N点坐标时，并没有对方程进行因式分解，而是利用韦达定理，已知Q的横坐标求出N的横坐标。这种利用韦达定理求点坐标的方法在解析几何中常解决已知一交点求另一交点的问题。三、近年好题精选：J设函数f（x）=g（x）+x2，曲线y=g（x）在点（!,g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点G,f（1））处的切线方程为与曲线y=x3+ax+b切于点（1,3），则2、已知直线y=kx+1存在公切线，则b的值为3、若曲线C:y=x2与曲线C:y=aex12的最值情况为（）第三章第14炼函数的切线问题导数第三章第14炼函数的切线问题导数A・最大值为2e2B・最大值为兰e2C・最小值为£D•最小值为土e2e24、（2015,新课标II文）已知曲线y二x+lnx在点（打处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=——-5、（2015,陕西理）设曲线y+在点（°」）处的切线与曲线y二i（x>°）上点P处的切线垂直，则P的坐标x为6、（2014,广东）曲线y…+2在点（°,3）处的切线方程为7、（2014,江西）若曲线ye上点P处的切线平y=e-xp行于直线2x+y+]=°，贝U点P的坐标为8、已知函数『（x）=inx，则过原点且与函数f（x）图像x相切的直线方程为9、已知函数f（丄ex-1x2-ax（aeR），若函数f（x）的图2像在x=°处的切线方程为y=2x+b，则第三章第14炼函数的切线问题导数第三章第14炼函数的切线问题导数习题答案：1、答案：解析：由切线过cga））可得^g(1)=3，所以f(1)=g(1)+12=4，另方面，g'(1)=2，且f'(x)=g'(x)+2x9所以f'(1)=g'(1)+2=4，从而切线方程为：y-4=4(x-1)ny=4x2、答案：b=3解析：代入g可得：k=2，f'(x)=3x2+a，所以有f(1)=a+b+1=3，解得|a=-1jf'(1)=3+a=2\b=33、答案:B解析：设公切线与曲线C切于点C,x2)，与曲线C切1112aex2-x22x=aex2=11x-x21y'=aex于点C,aex2)，由1y'=2x可得：2x=aex=aex2-x12，所以有222x=空」tnx=2x-2，所以，即4(x-1),<1x-x12'八ae*2=4x-4a=2212ex?2x=aex21设f(x)=4(x-】)，则f(x)=4(2-x)。可知f(x)在(1,2)单调递增，在（十）单调递减，所以a=f（2）=兰amaxe24、答案：8解析：y'=1+丄，x所以y-1=2(x-I)ny=2x-1y'|x=1=2联切线方程为()nax2+ax+2=0y=ax2+(a+2)x+1，从而由相切可得：A=a2—8a=0na=85、答案：(1,1)解析：y=ex的导数y'=ex，所以k=y.|=1，故P处的x=0第三章第14炼函数的切线问题导数第三章第14炼函数的切线问题导数第三章第14炼函数的切线问题导数1x1,y'=-■x2切线斜率为-1，设切点P(x,y)，由y」的导数x丄=-l~X=1，则y=丄=1，即P点坐标(1,1)x200x00可得：006、答案：53y=-5x+3解析：y'=-5e-5x，所以y'|=-5，则切线方程为x=0y—3=—5xy=—5x+37、答案：(-ln2,2)解析：y'=—e—x，因切点坐标未知，故设P(x,y)，由00y'|x=x0=—e—x0=—2，解得切线与2x+y+1=0平行可知切线斜率为—2，即x=—ln2，所以y=e—(—In2)=2，即p00点坐标(—ln2,2)8、答案：x2e解析：设切点坐标为(x,y)，切线的斜率为k，因00为f(x)=比x21—lnxk=&x20y=kx00lnxy=&0x0k=丄2e了1—lnxk=&x2=S07lnxk=&x20lnxn&x2&1—lnx&nxx2&&所以切线方程为：2e9、答案：a=—1,b=1解析：将x=0代入到直线方程可得切点坐标为(0,b)b=f(0)=1..直线方程为y=2x+if'(x)=ex—x—a.f(0)=1—a=2na=—1a=—1,b=1