第二节单纯形法SimplexMethod一、单纯形法原理及步骤二、用向量矩阵描述单纯形法原理三、单纯形
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四、两阶段法和大M法五、退化和循环两阶段法和大M法?当不能通过转化
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形式使约束方程系数矩阵中出现单位矩阵时,此时可以通过添加人工变量的方法,人为地使系数矩阵中出现一个单位矩阵,以它作为初始可行基。?例如:设一线性规划问题的约束为?人工变量法有两种方法:两阶段法和大M法。引进变量X4,X5基中不包含单位矩阵,因此无法直接获得初始可行基。两阶段法和大M法X=(x1,x2,…,xn)T引进人工变量Xa=(xn+1,xn+2,…,xn+m)T基础可行解X=0,Xa=b两阶段法和大M法基本思想:人造解X0不是原LP问题的基本可行解。但若能通过单纯形法的迭代步骤,将虚拟的人工变量都替换出去,都变为非基变量(即人工变量xn+1=xn+2=…=xn+m=0),则X0的前n个分量就构成原LP问题的一个基本可行解。反之,若经过迭代,不能把人工变量都变为非基变量,则表明原LP问题无可行解。两阶段法和大M法两阶段法阶段Ⅰ求解辅助问题构造辅助问题(1)若辅助问题的最优基B全部在A中,即Xa全部是非基变量(minz'=0),则B为原问题的一个可行基。转阶段Ⅱ;(2)若辅助问题的最优目标函数值minz'>0,则至少有一个人工变量留在第一阶段问题最优解的基变量中,这时原问题无可行解。两阶段法和大M法阶段Ⅱ求解原问题以阶段Ⅰ的最优基B作为原问题的初始可行基,求解原问题,得到原问题的最优基和最优解。例1求解以下线性规划问题。两阶段法和大M法引进松弛变量x3,x4,x5?0,得到增加人工变量x6,x7≥0,构造辅助问题,并进入第一阶段求解。两阶段法和大M法标准化并写出辅助问题的系数矩阵表:消去目标函数中基变量x6、x7的系数,得到初始单纯形表并进行单纯形变换:x2进基21/11/[]X7离基31/Cj?0000011两阶段法和大M法x1进基12/??[]X6离基21/第一阶段最优,z''=0Cj?0000011--两阶段法和大M法在第一阶段最优单纯形表换入原问题的目标函数,去掉人工变量x6、x7以及相应的列,得到第二阶段的系数矩阵表:消去基变量x1、x2在目标函数中的系数,得到第二阶段问题的单纯形表:x4进基1212//??[]X1离基3212//Cj?-12000两阶段法和大M法x3进基????[]X5离基11/问题的最优解为X=(x1,x2,x3,x4,x5)T=(0,3,1,2,0)T,maxz'=6,即minz=-6。Cj?-12000两阶段法和大M法OABCD012123x1x2第一阶段:在原问题的可行域外部进行基变换,第一阶段结束后进入可行域第二阶段:从可行域内部的的一个极点B(原问题的一个可行基)开始,在可行域内部进行基变换基迭代路线两阶段法和大M法大M法的基本步骤如下:(1)引进松弛变量,使约束条件成为等式;(2)如果约束条件的系数矩阵中不存在一个单位矩阵,则引进人工变量;(3)在原目标函数中,加上人工变量,每个人工变量的系数为一个充分大的正数M;(4)用单纯形表求解以上问题,如果这个问题的最优解中有人工变量是基变量,则原问题无可行解。如果最优解中所有人工变量都离基,则得到原问题的最优解。两阶段法和大M法例2求解以下线性规划问题。引进松弛变量x4,x5并标准化两阶段法和大M法引进人工变量x6,x7?0,在目标函数中增加人工变量列出系数矩阵表两阶段法和大M法消去基变量x6、x7在目标函数中的系数x1进基[]X6离基164/241/x3进基[]X7离基??2054/Cj?-2-3-100-M-M两阶段法和大M法已获得最优解,最优解为:(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=(8,0,16,0,0,0,0),maxz'=-32,即minz=32Cj?-2-3-100-M-M退化和循环定义2-6设B是线性规划的一个可行基,XB=B-1b=(xB1,xB2,…,xBi,…,xBm)T是这个基础解中的基变量。如果其中至少有一个分量xBi=0(i=1,2,…,m),则称此基础可行解是退化的。退化的结构对单纯形迭代会有不利的影响。当迭代进入一个退化极点时,可能出现以下情况:(1)进行进基、离基变换后,虽然改变了基,但没有改变极点,目标函数当然也不会改进。进行若干次基变换后,才脱离退化极点,进入其他极点。这种情况会增加叠代次数,使单纯形法收敛的速度减慢。(2)在十分特殊的情况下,退化会出现基的循环,一旦出现这样的情况,单纯形叠代将永远停留在同一极点上,因而无法求得最优解。退化和循环对此,Bland提出了一个避免循环的方法,在选择进基变量和离基变量时作了以下
规定
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:(1)在选择进基变量时,在所有检验数zj-cj>0的非基变量中选取下标最小的进基;(2)当有多个变量同时可作为离基变量时,选择下标最小的那个变量离基。这样就可以避免出现循环。当然,用Bland的方法,由于选取进基变量时不再考虑检验数zj-cj绝对值的大小,将会导致收敛速度的降低。需要掌握的
知识点
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法求解LP问题第二节单纯形法总结下周见!