同济大学第五版高等数学下课件D125全微分方程全微分方程机动目录上页下页返回结束第五节一、全微分方程二、积分因子法第十二章判别:P,Q在某单连通域D内有连续一阶偏导数,①为全微分方程则求解步骤:方法1凑微分法;方法2利用积分与路径无关的条件.1.求原函数u(x,y)2.由du=0知通解为u(x,y)=C.一、全微分方程使若存在),(yxuyyxQxyxPyxud),(d),(),(d??则称0d),(d),(??yyxQxyxP为全微分方程(又叫做恰当方程).①机动目录上页下页返回结束),(yxyxo例1.求解0d)33(d)35(222324??????yy...
全微分方程机动目录上页下页返回结束第五节一、全微分方程二、积分因子法第十二章判别:P,Q在某单连通域D内有连续一阶偏导数,①为全微分方程则求解步骤:方法1凑微分法;方法2利用积分与路径无关的条件.1.求原函数u(x,y)2.由du=0知通解为u(x,y)=C.一、全微分方程使若存在),(yxuyyxQxyxPyxud),(d),(),(d??则称0d),(d),(??yyxQxyxP为全微分方程(又叫做恰当方程).①机动目录上页下页返回结束),(yxyxo例1.求解0d)33(d)35(222324??????yyyxyxxyyxx解:因为???yP236yyx?,xQ???故这是全微分方程.,0,000??yx取则有xxyxuxd5),(04??yyyxyxyd)33(0222????5x?2223yx?3yx?331y?因此方程的通解为Cyyxyxx????332253123)0,(x机动目录上页下页返回结束例2.求解解:21xyP????∴这是一个全微分方程.用凑微分法求通解.将方程改写为0ddd2???xxyyxxx即????,0d21d2??xyx故原方程的通解为??021d2??xyx或Cxyx??221,xQ???机动目录上页下页返回结束二、积分因子法思考:如何解方程这不是一个全微分方程,,12x就化成例2的方程.,0),(??yx??使为全微分方程,),(yx?则称在简单情况下,可凭观察和经验根据微分倒推式得到为原方程的积分因子.但若在方程两边同乘若存在连续可微函数积分因子.例2目录上页下页返回结束常用微分倒推公式:)(ddd)1??yxyx?)(ddd)2??xyyxyx)(ddd)3??yyxx)(2221yx?)(ddd)42??yyxxyyx)(ddd)52??xyxxyxy?)(ddd)6??yxyxxyyxln)(ddd)722???yxyxxyyxarctan)(ddd)822???yxyyxx22yx?积分因子不一定唯一.0dd??yxxy例如,对可取机动目录上页下页返回结束例3.求解解:分项组合得)dd(yxxy?即0)dd()(d22???yyxxyxyx选择积分因子,),(221yxyx??同乘方程两边,得0dd)()d(2???yyxxyxyx即??0)lnd()lnd(1d????yxyx因此通解为,lnln1Cyxyx???即yxeCyx1?因x=0也是方程的解,故C为任意常数.0)dd(???yxxyyx机动目录上页下页返回结束作业P2851(2),(4),(7);2(2),(5);4习题课1目录上页下页返回结束备用题解方程解法1积分因子法.原方程变形为取积分因子21y??故通解为此外,y=0也是方程的解.机动目录上页下页返回结束解法2化为齐次方程.原方程变形为积分得将xyu?代入,得通解此外,y=0也是方程的解.机动目录上页下页返回结束解法3化为线性方程.原方程变形为其通解为?y??xxPed)(??CxexQxxP???d)(d)(即此外,y=0也是方程的解.机动目录上页下页返回结束
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